Funktion

Wenn ein Kind älter wird, dann ändert sich seine Körpergröße - mal mehr, mal weniger. Mein ältester Sohn zum Beispiel war 54cm lang als er geboren wurde, nach einem Jahr war er bereits 76cm groß, mit 16 Jahren hatte er eine Körperlänge von 176cm, und heute (mit mehr als 20 Jahren) ist er 183cm groß und wächst gar nicht mehr.
Die Abhängigkeit der Körperlänge vom Alter lässt sich mit einem Schaubild darstellen:

Zu jedem Lebensalter gehört genau eine bestimmte Körperlänge. In mathematischer Sprache heißt dies: Die Körperlänge lässt sich darstellen als Funktion vom Lebensalter. Die umgekehrte Aussage ("Zu jeder Körperlänge gehört genau ein bestimmtes Lebensalter") ist falsch! Zum Körperlängenwert 183cm lassen sich beliebig viele Lebensalterwerte finden (18, 18½, 19, ... und unendlich viele Zwischenwerte); zum Körperlängenwert 20cm gehört gar kein Lebensalterwert.

Der Umfang eines Kreises (U) lässt sich darstellen als Funktion vom Radius r. Kurz geschrieben lautet diese Aussage so:

Das Verhältnis des Kreisumfangs zum Kreisradius ist konstant. Das bedeutet: Wenn der Radius eines Kreises doppelt so groß ist wie der Radius eines anderen Kreises, dann ist der Umfang des ersten Kreises genau doppelt so groß wie der Umfang des kleineren Kreises. Allgemeiner: Wird der Radius eines Kreises ver-n-facht, dann wird der Umfang dieses Kreises auch n-mal so groß. Man sagt in diesem Fall: Der Kreisumfang U ist proportional zum Kreisradius r.

Die Kreiszahl π ist ungefähr gleich 3,14. Das heißt, der Umfang eines Kreises ist stets ungefähr 6,3mal so groß wie sein Radius.

Der Anhalteweg in Abhängigkeit von der Fahrgeschwindigkeit

Viele wissen es garnicht, und die, die es wissen, kümmern sich nicht immer darum. Dabei geht es hier oft um Leben oder Tod von Menschen im Straßenverkehr: Die Abhängigkeit des Anhalteweges (s in Metern) von der Fahrgeschwindigkeit (v in km/h). Diese Abhängigkeit wird auf Grund physikalischer Gesetze durch eine quadratische Funktion beschrieben. Die Funktionsgleichung dieser Funktion lautet folgendermaßen:

Hierbei ist t_R die Reaktionszeit der Autofahrerin oder des Autofahrers. t_R kann sehr unterschiedlich sein und unter Umständen einige Sekunden betragen! Der Faktor k hängt von der Bremsverzögerung des Autos (a in m/s²) ab:

Auch a ist wie t_R keine Konstante, sondern hängt ab von der Beschaffenheit der Reifen, dem momentanen Zustand der Bremsen und den Eigenschaften der Straße.

Das folgende Diagramm zeigt Schaubilder der Funktion f für verschiedene Werte von t_R bzw. von a:

Die törichte Regel "Sicherheitsabstand = halber Tachostand in Metern" gilt selbst unter günstigsten Bedingungen (Reaktionszeit 0,7 Sekunden, Bremsverzögerung 8m/s²) allenfalls bei Geschwindigkeiten von unter 50 km/h.

Die Masse eines radioaktiven Präparats in Abhängigkeit von der Zeit

Am 26. April 1986 wurden durch die Explosion im vierten Reaktorblock des Kernkraftwerks Tschernobyl große Mengen radioaktiven Materials freigesetzt und über weite Teile Europas verteilt. Ein radioaktiver Stoff, dem unter anderem in diesem Zusammenhang eine große Bedeutung zukommt, ist Cäsium-137.

Cäsium-137 besitzt eine Halbwertszeit von etwa 30,2 Jahren. Das heißt, dass nach dieser Zeit die Hälfte einer bestimmten Menge Cäsium zerfallen ist; nach abermals 30,2 Jahren gibt es noch ein Viertel der ursprünglich vorhandenen und radioaktiven Cäsiummenge; nach weiteren 30,2 Jahren noch ein Achtel u.s.w.

So ein radioaktiver Zerfallsprozess lässt sich mit Hilfe einer Exponentialfunktion beschreiben. Wenn man zu Beginn beispielsweise 100g Cäsium-137 zur Verfügung hat, dann hat man zur Zeit t noch

Cäsium-137. Hierbei wird t in Jahren gemessen. Das zugehörige Schaubild sieht danach so aus:

Die Bewegung eines Punktes auf einer Kurve

Wenn sich auf einem mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Koordinatenursprung rotierenden Radialstrahl ein Punkt P befindet, dessen Abstand zum Koordinatenursprung sich gleichzeitig gleichförmig vergrößert, dann durchläuft dieser Punkt eine sogenannte Archimedische Spirale. Die formale Beschreibung einer solchen Bewegung und damit auch gleichzeitig die der Bewegungskurve ist recht einfach, wenn man hierfür einen Parameter benutzt. Im hier dargestellten Beispiel dient die Zeit t als Parameter. Der Punkt P befindet sich zur Zeit t = 0 in seiner Startposition, also im Koordinatenursprung.

Gibt man die jeweilige Position des Punktes P mit Hilfe von Polarkoordinaten (r,φ) an, dann lauten die Bewegungsgleichungen

a und b sind Konstanten, die angeben, wie schnell der Radialstrahl rotiert bzw. wie schnell sich der Punkt P vom Koordinatenursprung entfernt.

Entwicklung des Funktionsbegriffs

Leonhard Euler (1707 - 1783) verstand in seinem 1748 erschienenen Werk "INTRODUCTIO IN ANALTSIN INFINITORUM" unter einer Funktion einer veränderlichen Größe einen analytischen Ausdruck, der irgendwie aus der veränderlichen Göße und aus Zahlen oder konstanten Größen zusammengesetzt ist. Wenn man dieses in die heutige mathematische Sprache übersetzt, denkt man am ehesten an Funktionsterme wie 3·x², 5·x−7 oder etwa an ρ·V als Ausdruck für die Masse eines Körpers, der multiplikativ zusammengesetzt ist aus der konstanten Dichte ρ und dem Körpervolumen V als veränderlicher Größe. Eine ganz ähnliche Definition hatte bereits 30 Jahre zuvor Johann Bernoulli (1667 - 1748) gegeben.

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 - 1859) gab die Vorstellung von zwei unbedingt gesetzmäßig miteinander verknüpften Größen y und x ganz auf und sprach von einer Funktion bereits dann, wenn zu jedem Wert einer veränderlichen Größe x innerhalb eines bestimmten Intervalls genau ein endlicher Wert von y gehört. Bei dieser Auffassung spielt es grundsätzlich keine Rolle, auf welche Art y und x miteinander verknüpft sind. Damit man von einer Funktion y von x sprechen kann, ist es allein entscheidend, dass die Werte von y den Werten von x jeweils eindeutig zugeordnet sind. Die Idee zu dieser radikalen Änderung des Funktionsbegriffs stammt von Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830) und hatte wesentlich damit zu tun, dass es zum Beispiel in der Physik reale Abhängigkeiten gibt, die sich nicht mit Hilfe eines Funktionsterms beschreiben lassen (es gibt sogar Funktionen mit realem Bezug, die man überhaupt nicht explizit mit Hilfe von Termen darstellen kann).

An der Dirichlet'schen Auffassung des Funktionsbegriffs hat sich von der Idee her nichts geändert, allerdings ist der Begriff der Funktion heute derselben Forderung unterworfen, wie sie für alle grundlegenden Begriffe der Mathematik gilt: diese sind unter Benutzung mengentheoretischer Begriffe zu definieren. Für die Funktion geht das auf Grundlage der Arbeiten von Felix Hausdorff (1868 - 1942) etwa so:

Seien X und Y irgendwelche Mengen und

R ⊂ X x Y = { (x;y): x ∈ X und y ∈ Y }

eine Relation zwischen X und Y mit den folgenden Eigenschaften:

(1) Zu jedem x ∈ X gibt es ein y ∈ Y, so dass (x;y) ∈ R gilt (Linksvollständigkeit von R).
(2) Aus x = x* folgt y = y* für alle (x;y), (x*,y*) ∈ R (Rechtseindeutigkeit von R).

Dann nennt man das Tripel f = (X, Y, R) eine Abbildung von X nach Y und schreibt dafür

f: X → Y

X heißt Definitionsmenge von f, Y Zielmenge von f.
Das für jedes x ∈ X eindeutig bestimmte y ∈ Y wird mit f(x) bezeichnet.
Diese eindeutige Zuordnung wird durch die Zuordnungsvorschrift

x ↦ f(x)

beschrieben. (Gesprochen wird dies: "x wird abgebildet auf f(x).")

f(x) heißt Bild von x.
Imf = { f(x): x ∈ X } heißt Bildmenge (oder Bildbereich) von f.
Statt Imf ist auch die Schreibweise f(X) üblich.

Wenn jedes f(x) ∈ Imf genau ein Urbild x ∈ X hat, dann heißt die Abbildung f injektiv (oder linkseindeutig). Das bedeutet: Eine Abbildung f: X → Y ist genau dann injektiv, wenn für x₁, x₂ ∈ X gilt: x₁ ǂ x₂ ⇒ f(x₁) ǂ f(x₂).

Eine Abbildung f mit Imf = Y heißt surjektiv (oder rechtsvollständig oder rechtstotal).
Man spricht dann von einer Funktion f von X auf Y.

Ist eine Abbildung injektiv und surjektiv, so nennt man diese bijektiv.

Ist nun der Wertebereich einer Abbildung f eine Teilmenge der Menge der reellen Zahlen ℝ oder der komplexen Zahlen ℂ, so wird diese Abbildung Funktion genannt.

Die Bildmenge Imf einer Funktion f: X → Y mit Y ⊂ ℝ wird üblicherweise Wertebereich genannt; manchmal wird allerdings auch die Zielmenge Y so bezeichnet.
f(x) mit x ∈ X heißt Funktionswert von f an der Stelle x. ("f(x)" wird gesprochen: "f von x".)

Beispiel 1:
Die schwarzen Punkte im nebenstehenden Diagramm veranschaulichen einige Elemente der Produktmenge ℕxℕ.
Die roten Punkte gehören zur Relation R = {(x;y): y = x + 1} ⊂ ℕxℕ.
Diese Relation induziert eine Abbildung f: ℕ → ℕ mit der Zuordnungsvorschrift

Diese Abbildung ist injektiv, denn zu jedem Bild f(x) gehört genau ein Urbild x.
Diese Abbildung ist nicht surjektiv, denn 0 ∈ ℕ besitzt kein Urbild.

Beispiel 2:
Die trigonometrische Funktion sin ist eine Funktion von ℝ nach ℝ.
Wenn man die Zielmenge ℝ dieser Funktion einschränkt auf das abgeschlossene Intervall [−1; 1], das aus allen Zahlen zwischen −1 und 1 besteht (einschließlich −1 und 1 selbst), dann erhält man eine rechtsvollständige Funktion von ℝ auf [−1; 1]. Wenn man darüberhinaus auch noch den Definitionsbereich einschränkt auf [−0,5π;0,5π], dann bekommt man sogar eine bijektive und damit umkehrbare Funktion.

Beispiel 3:
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion P ist eine reellwertige Funktion von ℘(S) nach [0; 1], wobei S die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments darstellt. Abkürzend geschrieben:

Beispiel 4:
Die konstante Funktion f_c: ℝ → {c} mit c ∈ ℝ ist eine sehr langweilige Funktion. Sie ordnet jeder reellen Zahl x ∈ ℝ den Wert c zu. Mit anderen Worten: f_c(x) = c für alle x ∈ ℝ.
Die Funktion f_c: ℝ → {c} ist surjektiv, aber natürlich nicht injektiv.

Beispiel 5:
Die babylonische Keilschrifttafel Plimpton 322 (irgendwann zwischen 1900 bis 1600 v.Chr. in Mesopotamien angefertigt, 1920 von George Arthur Plimpton (1855 - 1936) gefunden, vom Mathematikhistoriker Otto Neugebauer (1899 - 1990) und dem Archäologen Abraham Sachs 1945 dechiffriert und heute in der Universität von Columbia aufbewahrt) gilt als die älteste erhaltene Wertetabelle überhaupt.

Aufgrund der Arbeiten von Neugebauer und Sachs wissen wir, dass auf dieser Tontafel Sexagesimalzahlen unter Verwendung von Keilzeichen dargestellt sind. Diese Darstellung beruht auf folgender bijektiver Zuordnung:

Die zwölfte Zeile der Plimptontabelle zum Beispiel sieht im Wesentlichen so aus:

c = 48·60¹ + 49 = 2929
a = 27·60¹ + 59 = 1679
1 + 29/60 + 21/60² + 54/60³ + 0/60⁴ + 2/60⁵ + 15/60⁶ ≈ 1,489417,

dann findet man überraschende Zusammenhänge: 2929 und 1679 bilden zusammen mit 2400 ein pythagoräisches Zahlentripel, und es gilt sec²(a) = c²/2400² = 8579041/2819041 ≈ 1,489417.

Für die anderen Zeilen der Keilschrifttafel lassen sich analoge Aussagen aufstellen (allerdings nur dann, wenn man zuvor fünf anscheinend fehlerhafte Einträge auf der Tafel korrigiert hat). Mit anderen Worten: Die erste Spalte der Plimptontafel beinhaltet ausgewählte Funktionswerte der Funktion sec²; hier aufgefasst als zweistellige Funktion von a und c, wobei c die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks darstellt und a die Gegenkathete des Winkels a bedeutet.

sec heißt Sekansfunktion und es gilt sec(a) = 1/cos(a) und somit sec²(a, c) = c²/(c² − a²).
Mit b² = c² − a² ergibt sich sec²(a, c) = 1 + a²/b².

Dass die Werte für a und c auf der Keilschrifttafel rechts und die aus diesen Werten berechneten sec²(a, c)-Werten links stehen, ist verständlich, wenn man weiß, dass die Babylonier von rechts nach links geschrieben haben.

Interessant ist es zu untersuchen, ob die sec²-Werte auf der Keilschrifttafel irgendwelche besonderen Eigenschaften haben oder ob es sich um zufällig ausgewählte Werte handelt. Besser gefragt: Haben die Urbilder (a, c) der auf der Keilschrifttafel tabellierten sec²-Werte etwas Besonderes an sich?

Jedes dieser Urbilder (a, c) definiert ein pythagoräisches Zahlentripel (a, b, c), das heißt: a, b und c sind natürliche und von 0 verschiedene Zahlen und es gilt c² = a² + b².

Zum Beispiel ist (3, 4, 5) ein primitives pythagoräisches Zahlentripel.
(16, 30, 34) ist ein pythagoräisches Zahlentripel, welches nicht primitiv ist.

Für jedes primitive pythagoräische Zahlentripel (a, b, c) mit a < b gibt es zwei eindeutig bestimmte Zahlen p und q, so dass Folgendes gilt:

p und q sind teilerfremde Zahlen.
Genau eine dieser Zahlen p und q ist gerade, die jeweils andere ist ungerade.

Beweis:
(I) Zunächst ist klar, dass bei p, q ∈ ℕ* mit p > q, aber ansonsten beliebig gewählten natürlichen Zahlen die durch die oben stehenden Gleichungen definierten Zahlen a, b, c immer ein pythagoräisches Zahlentripel bilden, denn es gilt:
(p² − q²)² + (2pq)² = p⁴ − 2p²q² + q⁴ + 4p²q² = p⁴ + 2p²q² + q⁴ = (p² + q²)².

(II) Sei nun (a, b, c) mit a < b < c ein primitives pythagoräisches Zahlentripel. Dann sind insbesondere a und b teilerfremde Zahlen. Das bedeutet: a und b sind nicht beide zugleich gerade.

(III) Angenommen, beide Zahlen a und b sind ungerade. Dann gibt es natürliche Zahlen n und m mit
a = 2n + 1 und b = 2m + 1. Wegen c² = a² + b² folgt, dass
c² = (2n + 1)² + (2m + 1)² = 4(n² + m² + n + m) + 2.
Mit anderen Worten: Teilt man c² durch 4, dann bleibt der Rest 2 übrig.
4 ist demzufolge kein Teiler von c², also muss c ungerade sein, denn das Quadrat einer geraden Zahl ist immer durch 4 teilbar. Wenn aber c ungerade ist, dann existiert eine natürliche Zahl r mit c = 2r + 1 und es folgt
c² = (2r + 1)² = 4(r² + r) + 1.
Mit anderen Worten: Teilt man c² durch 4, dann bleibt der Rest 1 übrig. Widerspruch!

Alles in allem haben wir bis jetzt Folgendes gezeigt: Wenn (a, b, c) ein primitives pythagoräisches Zahlentripel ist, dann muss eine der Zahlen a und b gerade, die andere ungerade sein. Da a, b und c nach Voraussetzung teilerfremd sind, muss c ungerade sein.

(IV) Wegen a < b folgt: b² = c² − a² = (c + a)·(c − a) = 4·((c + a)/2)·((c − a)/2).
Setzt man u = (c + a)/2 und v = (c − a)/2, dann gilt b² = 4·u·v.
Man sieht spätestens jetzt, dass a die ungerade Zahl und b die gerade Zahl sein muss.
(c + a) und (c − a) sind also gerade, folglich sind u und v natürliche Zahlen.
Wegen b² = 4·u·v und der Tatsache, dass b eine natürliche Zahl ist, müssen u und v Quadratzahlen sein.
Es gibt also natürliche Zahlen p und q mit u = p·p und v = q·q, wobei p > q wegen u > v.
Hieraus folgt b = 2pq.
Weiterhin hat man 2p² = c + a und 2q² = c − a.
Die Addition dieser beiden Gleichungen liefert (●) c = p² + q².
Die Subtraktion beider Gleichungen ergibt (●●) a = p² − q².

(V) Sowohl a als auch c sind ungerade.
Dies ist nach diesen Formeln nur dann möglich, wenn genau eine der Zahlen p und q gerade und die andere ungerade ist.

(VI) Angenommen, p und q hätten einen gemeinsamen Teiler t, dann könnte man schreiben:
p = nt und q = mt mit irgendwelchen natürlichen Zahlen n und m.
Einsetzen in (●) und in (●●) ergibt
c = (nt)² + (mt)² = t²(n² + m²) und a = (nt)² − (mt)² = t²(n² − m²)
a und c sind aber nach Voraussetzung teilerfremd. Widerspruch!

Es liegt nahe, jetzt die folgende Relation R_pq als Teilmenge von ℕ*xℕ* zu definieren: (p, q) soll genau dann ein Element von R_pqsein, wenn p ungerade und q gerade oder wenn umgekehrt p gerade und q ungerade und wenn in jedem dieser Fälle p größer als q ist und wenn p und q teilerfremd sind.

Beispielsweise ist (2, 1) ∈ R_pq und das zugehörige primitive pythagoräische Zahlentripel ist (3, 4, 5).
(7, 4) ∈ R_pq und das zugehörige primitive pythagoräische Zahlentripel ist (33, 56, 65).
(4, 7) ∉ R_pq.

dann ist ppz(R_pq) gleich der Menge aller primitiven pythagoräischen Zahlentripel.

Der Algorithmus zur Erzeugung von Elementen der Menge ppz(R_pq) ist nicht schwierig:

Im Zusammenhang mit der Plimptontabelle sind nun folgende Definitionen sinnvoll.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, ... sind reguläre Sexagesimalzahlen, denn 2, 3 und 5 sind die Primteiler von 60.
(320, 27) zum Beispiel ist ein 60-reguläres Tupel, denn 320 ist größer als 27, 320 und 27 sind teilerfremd, 320 ist gerade und 27 ist ungerade, und die Primfaktorzerlegungen beider Zahlen lauten 320 = 2⁶·5 bzw. 27 = 3³, also gibt es außer den Primteilern von 60 keine anderen Primfaktoren. Kurz geschrieben: (320, 27) ∈ R_pq⁶⁰.

Ein von einem 60-regulären Tupel (p, q) erzeugter sec²(a, c)-Wert hat immer eine endliche Sexagesimalbruchentwicklung.

Beweis:
Sei (p, q) ∈ R_pq⁶⁰. Dann ist sowohl p als auch q entweder gleich 1 oder gleich einer Zahl, die durch 2 oder durch 3 oder durch 5 teilbar ist.
Wegen sec(a) = c/b = (p² + q²)/2pq = 1/2·(p/q + q/p) folgt hieraus die Behauptung.

Das folgende, mit JavaScript realisierte Programm berechnet für jedes (p, q) ∈ R_pq⁶⁰ mit p ≤ p_maxdie Werte für a, b, c, sec²(a, c) und den zugehörigen Winkel a. Hierbei werden alle Werte in dezimaler Schreibweise und gerundet angegeben. Diejenigen Zeilen, zu denen Winkel gehören, die größer als 31,5° und kleiner als 45° sind, werden mit einem Sternchen gekennzeichnet. Genau diese Sternchen-Zeilen entsprechen den Zeilen der Plimptontabelle! Dies stimmt nicht ganz, denn erstens hat der Schreiber der Plimptontafel manche der Sternchen-Zeilen entweder nicht gekannt, vergessen oder nicht berücksichtigt und zweitens entspricht die fünfzehnte (und gleichzeitig letzte) Zeile der Plimptontabelle nicht den oben diskutierten Kriterien der Sternchen-Zeilen, weil das dort dargestellte pythagoräische Zahlentripel nicht primitiv ist.

Maximal kann man hier für p_max den Wert 200 eintragen (anschließend auf "Berechnen" klicken):

In der folgenden Tabelle sind alle Sternchen-Zeilen mit p ≤ 500 zusammengestellt und nach c²/b² in absteigender Reihenfolge sortiert. Diejenigen Tabellenzeilen, die die ersten vierzehn Zeilen der Plimptontafel beschreiben, sind entsprechend duchnummeriert und farbig gekennzeichnet.

a	c²/b²	a	b	c	p	q
44.8	1.9834	119	120	169	12	5	1
44.3	1.9492	3367	3456	4825	64	27	2
43.8	1.9188	4601	4800	6649	75	32	3
43.3	1.8862	12709	13500	18541	125	54	4
43.1	1.8742	67319	72000	98569	288	125	*
42.1	1.8150	65	72	97	9	4	5
41.5	1.7852	319	360	481	20	9	6
40.3	1.7200	2291	2700	3541	54	25	7
39.8	1.6927	799	960	1249	32	15	8
39.3	1.6686	14129	17280	22321	135	64	*
38.7	1.6427	481	600	769	25	12	9
38.2	1.6175	190951	243000	309049	500	243	*
37.9	1.6082	49911	64000	81161	256	125	*
37.4	1.5861	4961	6480	8161	81	40	10
36.9	1.5625	3	4	5	2	1	11
36.3	1.5395	19039	25920	32161	160	81	*
35.8	1.5192	11529	16000	19721	125	64	*
35.0	1.4894	1679	2400	2929	48	25	12
34.4	1.4704	42665	62208	75433	243	128	*
34.4	1.4685	47311	69120	83761	256	135	*
33.9	1.4500	161	240	289	15	8	13
33.3	1.4302	1771	2700	3229	50	27	14

Neugebauer hat entdeckt, dass bei der originalen Plimptontafel die c-Spalte mit dem Zeichen für "diagonal" und die a-Spalte mit dem Zeichen für "breit" überschrieben ist. Dieses Faktum könnte nach der Analyse der Plimptontabelle zur Vermutung führen, dass den babylonischen Mathematikern der sogenannte "Satz des Pythagoras" bekannt war und dass sie diesen für die Beschreibung von Winkeln benutzt haben. Hierbei muss ihnen die Primfaktorzerlegung von Zahlen vertraut gewesen sein.

Auf jeden Fall haben sie offensichtlich in tabellarischer Form die funktionale Abhängigkeit zwischen Zahlen darzustellen und für welchen Zweck auch immer anzuwenden gewusst. Die Struktur der Plimptontabelle kann unter Beachtung der oben stehenden Definitionen und unabhängig vom verwendeten Stellenwertsystem zusammenfassend als Verkettung so beschrieben werden:

(p, q) ↦ ppz((p, q)) ↦ (a, c) ↦ sec²(a, c) ↦ a
für alle (p, q) ∈ R_pq⁶⁰.

Beispiel 6:
Die Funktion f: [−4; 5] → ℝ³ mit f(t) = [3·t²; 10·t; 4·t] ordnet jeder reellen Zahl t zwischen −4 und 5 den Punkt P_t(3t²|10t|4t) zu und beschreibt damit eine räumliche Kurve. Nimmt man diese Kurve als Mittellinie eines Schlauches mit kreisrundem Querschnitt (Radius = 15), dann sieht dieser Schlauch wie folgt aus:

([-2;2], [-2;2], R) ist keine Funktion, denn es ist nicht jedem x ∈ [-2;2] ein und nur ein y-Wert zugeordnet.