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Mathematische Begriffe
 

Rückkopplung


Eine Figur wird verkleinert nach oben

Man nimmt eine Figur, steckt sie in eine Verkleinerungsmaschine und erhält eine um den Faktor k verkleinerte Figur; man nimmt die um den Faktor k verkleinerte Figur, steckt sie in dieselbe Verkleinerungsmaschine und erhält ....

Figur 1 Figur 2 Figur 3 Figur 4 Figur 5 Figur 6 Figur 7 Figur 8 Figur 9 Figur 10 Figur 11

... durch eine einfache  Rückkopplung  ein recht einfaches und eher langweiliges Resultat: eine Folge von gleichmäßig kleiner werdenden  selbstähnlichen  Figuren.

Hieraus kann jedoch nicht der Schluß gezogen werden, dass ein einfacher Rückkopplungsprozess („was hinten rauskommt, wird vorn wieder hineingesteckt“) immer einfache Ergebnisse liefert (siehe unten).

Ob das Ergebnis einer solchen Rückkopplung langweilig, interessant, aufregend oder schön empfunden wird, ist vor allem abhängig von der Art der „Rückkopplungsmaschine“, die für den Rückkopplungsprozess benutzt wird.


Schritt für Schritt der Zahl 1 entgegen nach oben

Man nimmt eine Zahl, sagen wir 81, zieht daraus die Quadratwurzel, und erhält dadurch 9 (denn 92 = 81);  man nimmt die Zahl 9, zieht daraus die Quadratwurzel, und erhält dadurch 3; man nimmt die Zahl 3, zieht daraus die Quadratwurzel, und erhält dadurch ...

81
Wurzel 81
Wurzel (Wurzel 81)
Wurzel (Wurzel (Wurzel 81))
Wurzel (Wurzel (Wurzel (Wurzel 81)))

... eine Folge von Zahlen, nämlich:

 81,00000   9,00000   3,00000   1,73205   1,31607   1,14720  1,07108  ...

(mit einer gewissen Genauigkeit hingeschrieben, nämlich mit jeweils fünf Ziffern nach dem Komma.)

Formelmäßig lässt sich das Ganze wie folgt schreiben: Ist xn irgendeine Zahl der Folge, so erhält man die nächste Folgenzahl xn+1, indem man die Quadratwurzel aus xn zieht.


  xn+1 = f(xn)    mit  f(xn)  = Wurzel xn


n durchläuft hierbei die natürlichen Zahlen.   x0 = 81,  x1 = 9,  x2 = 3, u.s.w.  
Die Zahlenfolge   x0, x1, x2, ...  konvergiert gegen die Zahl 1.


Chaos im Reellen nach oben

Eines der sehr bekannten Beispiele von Rückkopplungsgleichungen der Form  "xn+1 = f(xn)"  ist die folgende Gleichung:

xn+1 = k (1 − xn) xn

k ist hierbei eine Konstante, das heißt eine beliebige, aber fest gewählte Zahl. Je nachdem wie die Startbedingungen gewählt werden, ergeben sich völlig verschiedene Resultate:

Beispiel a):  k = -2;  x0 = 2. Dann erhält man mit dem ersten Iterationsschritt  den zweiten Folgenwert  x= 4. Der zweite Iterationsschritt liefert  x2 = 24.  x3 = 1104. Es ist offensichtlich, dass die Werte dieser Folge immer größer werden: die Folge  x0, x1, x2, ...  mit  k = -2  und  x0 = 2  konvergiert nicht. Es ist eine divergierende Folge.

Beispiel b):  k = -2;  x0 = 0,2. Jetzt ergibt sich eine Zahlenfolge, die weder konvergent, noch divergent ist: Die Zahlen springen wirr hin und her, ohne dass irgendein Zusammenhang erkennbar wäre.

Beispiel c):  k = 2,5; x0 = 0,2. Die hierzu gehörende Zahlenfolge ist konvergent. Der Grenzwert der Folge ist etwa gleich 0,6153846 und ist völlig unabhängig vom Startwert x0, sofern x0 positiv und kleiner als 1 ist. Genau das gleiche Verhalten zeigen die entsprechenden Folgen , falls nur die Konstante k größer als 1 und kleiner als 3 gewählt wird! Dieses Folgenverhalten ändert sich sprunghaft bei k = 3: Wenn n nur groß genug geworden ist, springen die Folgenwerte zwischen nur zwei Werten („Oszillationswerte“) hin und her. Das bleibt (zunächst) so, auch wenn der Wert für k größer gewählt wird:

Beispiel d):  k = 3,4; x0 = 0,2. Die zwei Werte, zwischen denen die Folgenwerte ab einem gewissen n ständig hin und her springen, lauten 0,4519633 und 0,8421544 (gerundet auf die 7. Nachkommastelle). Vergrößert man k immer weiter, beobachtet man wiederum bei einem ganz bestimmten Wert für k eine plötzliche Änderung: Statt der bisher zwei Oszillationswerte, zwischen denen die Folgenwerte bei genügend großem n hin und her springen, sind es nunmehr vier Werte!

Werden die Oszillationswerte in Abhängigkeit von k in einem Diagramm dargestellt, so ergibt sich alles in allem das folgende Bild (k läuft von 2,5 bis 4).

Feigenbaumdiagramm


Chaos im Komplexen nach oben

Betrachten wir die Gleichung

  zneu = zalt2 + c.

Hierbei sind  zneu, zalt und c  komplexe Zahlen, genauer gesagt:  zneu = (Reneu; Imneu)  und  zalt = (Realt; Imalt), sowie  c = (Rec; Imc).

Wenn nun  (0;0) als Startwert der komplexwertigen Folge  z0, z1, z2, z3, z4, ....  gewählt wird, verhält sich diese Folge völlig unterschiedlich, je nach Wahl der komplexen Zahl c. Da jede komplexe Zahl als Punkt darstellbar ist, gehört zu jeder Zahl c eine bestimmte komplexwertige Folge  z0, z1, z2, z3, z4, .... und zu dieser ein ganz bestimmtes Punktemuster ( Einführung in Maple, Übung Deterministisches Chaos).

Ein Beispiel:   c = (- 0,22; 0,7544)

Remin = -1,0;  Remax = 0,4;  Immin = -0,2;  Immax = 0,9

 Punktfolge

Das zur Zahl (-0,22; 0,7544) gehörende Punktemuster entwickelt sich, bis es bei einem ganz bestimmten Iterationsschritt gleichsam „explodiert“. Genauer gesagt: Diejenigen Punkte, die nach diesem Iterationsschritt gemäß der gegebenen Gleichung  zneu = zalt+ c  fortlaufend berechnet werden, entfernen sich vom Punkt (0;0) immer mehr:

Die zur Zahl c = (-0,22; 0,07544) gehörende Folge divergiert, der zu dieser Zahl gehörende Punkt ist ein Divergenzpunkt.

Wenn ein mit der Gleichung  zneu = zalt+ c  konstruiertes Punktemuster auch nach beliebig vielen Iterationsschritten in einem ganz bestimmten Raumbereich verbleibt, sich sozusagen „stabil“ verhält, dann heißt der zu c gehörende Punkt  Konvergenzpunkt.

Die Menge aller dieser Konvergenzpunkte ist die berühmte Mandelbrotmenge ( Einführung in Maple, Übung Die Mandelbrotmenge).

 Mandelbrotmenge

Daniel Waggoner: Dynamical Systemsexterner Link
Robert Doerner: Nichtlineare Dynamikexterner Link


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