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Mathematik
 

Mathematische Begriffe

So wie Handwerker gepflegte Werkzeuge benötigen, um sinnvoll arbeiten zu können, brauchen Mathematiker sorgfältig definierte Begriffe, mit denen es möglich ist, mathematische Aussagen präzise zu formulieren und danach neue Gesetzmäßigkeiten herzuleiten.

Anhand ausgewählter Begriffe kann man auf diesen Seiten mathematische Arbeits- und Denkweisen studieren und insbesondere grundlegende mathematische Beweisverfahren kennenlernen. Alle Kapitel beginnen mit einer anschaulich gehaltenen Einführung in das jeweilige Thema. Der Schwierigkeitsgrad der einzelnen Seiten ist sehr unterschiedlich: das Kapitel Wahrscheinlichkeit ist vielleicht das anschaulichste von allen, das Kapitel Zahlenmengen sicherlich das anspruchsvollste. Im zuletzt genannten Kapitel werden Dinge abgehandelt, die in der Regel auch Gegenstand einführender Vorlesungen im Mathematikstudium sind. Die Kapitel können unabhängig voneinander gelesen werden.

Alle Herleitungen und Beweise sind kleinschrittig ausformuliert, so dass auch AnfängerInnen der Mathematik - Geduld und Hartnäckigkeit vorausgesetzt - alles gut nachvollziehen und verstehen können. Wo es sich anbietet, finden sich historische Bezüge und es gibt an den entsprechenden Stellen Verweise auf mathematische Originalliteratur.

Wenn die unten stehende Liste von Zeichen und Abkürzungen lesbar dargestellt wird, dann werden auch alle anderen Seiten korrekt am Bildschirm wiedergegeben. Die mathematischen Zeichen und Symbole werden am besten dargestellt, wenn client-seitig der Zeichensatz Arial Unicode MS (arialuni.ttf) installiert ist.

Algorithmus Algorithmus

Stichworte: Abakus, Schickard’sche Rechenmaschine, Darstellung von Zahlen, Stellenwertsystem, imperatives Programmieren, Turingmaschine

Änderungsrate Änderungsrate

Stichworte: Steigungsfaktor, momentane Änderungsrate, Tangentenproblem, Differentialquotient, Rechnen mit Beträgen, Folgen, Stetigkeit, Differenzierbarkeit

Äquivalenzrelation Äquivalenzrelation

Stichworte: Transitivität, Symmetrie, Reflexivität, Zerlegung, Quotientenmenge, Äquivalenzklasse, Repräsentant, Restklasse

Funktion Funktion

Stichworte: Schaubild, Proportionalität, Funktionsgleichung, quadratische Funktion, exponentielle Funktion, Parameter, Polarkoordinaten, Relation, Abbildung

Menge Menge

zur Zeit in Bearbeitung.
 

Rückkopplung Rückkopplung

Stichworte: Selbstähnlichkeit, Folge, Konvergenz, Iteration
 

Vektor Vektor

Stichworte: Skalare und gerichtete Größen, Pfeilklassen, K-Vektorräume, Ortsvektoren, Skalarprodukt, Normalenvektoren, Euklidische Vektorräume, Kreuzprodukt

Verhältnis Verhältnis

Stichworte: Säulendiagramme, Prozentrechnung, Brechung,  harmonische Punkte, musikalische Intervalle, Proportionen, der goldene Schnitt, Pentagramm, Lucas-Folgen

Vollständige Induktion Vollständige Induktion

Stichworte: Peano’sche Axiome, geordnete Menge, Ordnungsrelation, 2-stellige Operation, Addition, Multiplikation, Dezimalzahlen

Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit

Stichworte: Ereignis, Häufigkeit, Zufallsexperiment, Venn-Diagramm, Kolmogorow'sche Axiome, Additionssatz, Multiplikationssatz, Kombinatorik, Binomialkoeffizient, Lotto

Zahlenmengen Zahlenmengen

Stichworte: Zählen, irrationale Zahlen, algebraische Struktur, Trichotomie, Cauchyfolge, metrischer Raum, Vollständigkeit, Intervallschachtelung



Zeichen und Abkürzungen

Symbol 

Bedeutung

Beispiel
     
  Menge der natürlichen Zahlen: {0,1,2, ...}  
  Menge der ganzen Zahlen: {...,-1,0,1,2, ...}  
  Menge der rationalen Zahlen  
  Menge der reellen Zahlen  
  Menge der komplexen Zahlen  
     
 {x: E(x)}  Menge aller x, für die E(x) gilt {x  : x > 0} = +
  ist Element von 0 ∈ ℕ
  ist kein Element von 1/2 ∉ ℤ
  ist eine echte Teilmenge von {0,1,2}
  vereinigt mit {0,1}{1,2} = {0,1,2}
  geschnitten mit {a,b,c}{b,d} = {b}
 \ ohne \ {0} = *
     
 = gleich 3! = 1·2·3 = 6
 ǂ ungleich 1/3 ǂ 0,3
  ungefähr gleich π 355/113
 < kleiner als 1/5 < 1/4
 > größer als 0 > −1
  kleiner als oder gleich (−, 0] = {x  : x  0}
  größer als oder gleich [0, ) = {x  : x  0}
 | ist Teiler von 2 | 6
  ist kein Teiler von 2 7
     
  und  
  oder  
  daraus folgt x < −2    x2 > 4
  ist äquivalent zu |x| = 1 (x = 1 x = −1)
     
  strebt gegen 1/n 0 (n )
  wird abgebildet auf x f(x)

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