Vektor

Um zu entscheiden, ob man das in festem Karton zusammengeschnürte Geschenk noch als Päckchen versenden kann, braucht man unter anderem die Angabe des Gewichts: Ein Päckchen darf höchstens 2 Kilogramm wiegen. Wird diese umgangssprachlich formulierte Aussage physikalisch korrekt formuliert, dann wird daraus: Die Masse eines Päckchens beträgt höchstens 2 Kilogramm.

Interessiert man sich für den Aggregatzustand von Wasser, so ist die Temperatur des Wassers entscheidend. Bei normalem Druck schmilzt Wasser bei 0 Grad Celsius; bei 100 Grad Celsius siedet es.

Wenn ein Monitor mit einer Leistung von 130 Watt durchschnittlich jeden Tag 3 Stunden lang eingeschaltet ist, dann "verbraucht" allein dieses Gerät pro Jahr die elektrische Energie von etwa 142 Kilowattstunden. Diese Energie kostet Geld, und zwar etwa 17 Euro, wenn man einen Preis von 12 Cent pro Kilowattstunde zugrunde legt.

Alle diese Größen (Masse, Temperatur, Leistung, Energie, Geld, Zeit und etliche andere) haben eine gemeinsame Eigenschaft: Wenn man eine solche Größe misst, dann wird das Messergebnis immer durch eine Zahl ausgedrückt (natürlich in Verbindung mit der Einheit, in der die betreffende Größe gemessen wird). Diese Größen heißen skalare Größen.

Wird mit einer solchen skalaren Größe der Zustand irgendeines Körpers beschrieben, dann ändert sich der Wert dieser Größe nicht, wenn man den Körper dreht.

Es gibt Größen, bei denen es im Allgemeinen nicht ausreichend ist, als Messergebnis nur eine Zahl anzugeben. Ist man zum Beispiel mit dem Auto unterwegs, dann ist es im Hinblick auf das Fahrziel nicht nur wichtig zu wissen, wie schnell, sondern auch in welche Richtung man fährt. Gewicht eines Päckchens (gerichtete Größe)

Gewicht eines Päckchens (gerichtete Größe)

Solche Größen, die charakterisiert sind durch Betrag und Richtung, heißen gerichtete Größen. Beispiele hierfür sind: Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, Impuls, Strom. Die Gewichtskraft eines 2 Kilogramm schweren Päckchens zum Beispiel beträgt etwa 20 Newton und ist senkrecht zur Erdoberfläche gerichtet.

Gerichtete Größen stellt man am besten mit Hilfe von Pfeilen dar. Die Pfeillänge gibt - in einem bestimmten, frei gewählten Maßstab - den Betrag der jeweiligen Größe an.

Beispiel 1:
Das Auto fährt von A nach B mit konstanter Geschwindigkeit.

Die in der Abbildung eingezeichneten Orte A und B sollen 50 Meter voneinander entfernt sein. Das Auto ist am Ort A momentan 10 Meter pro Sekunde schnell und wird deswegen B innerhalb von 5 Sekunden erreichen, sofern die Geschwindigkeit des Autos konstant beibehalten wird.

Beispiel 2:
Die Wurfbewegung eines Körpers lässt sich auffassen als Überlagerung zweier unabhängig voneinander ablaufender Einzelbewegungen: eine gleichförmige Bewegung (mit konstanter Geschwindigkeit) in Abwurfrichtung und zweitens eine gleichmäßig beschleunigte Fallbewegung nach "unten". Zur ersten Bewegung gehört eine Geschwindigkeit v₀, bei der sich weder die Richtung noch der Betrag ändert. Zur zweiten Bewegung gehört die Fallgeschwindigkeit v_y, deren Betrag linear mit der Zeit t wächst. Die Addition beider Geschwindigkeiten liefert zu jedem Zeitpunkt die resultierende Geschwindigkeit v des Körpers, die stets tangential zur Bahnkurve des Körpers gerichtet ist.

Der hier beschriebene Sachverhalt, der durch Experimente bestätigt werden kann, wird durch die folgende Konstruktion veranschaulicht. Dargestellt ist der geworfene Körper samt Geschwindigkeitspfeilen zu vier verschiedenen Zeitpunkten. Zur Zeit t = 0 gilt v = v₀. Befindet sich der Körper zur Zeit t = 0, also beim Abwurf, im Ursprung eines Koordinatensystems mit waagerechter x-Achse und vertikaler y-Achse, dann hat man die Position des Körpers zur Zeit t mit

Diese Konstruktion steht hier als GEONExT-Applet in einem Extra-Fenster zur Verfügung. Die Lage der rot markierten Punkte kann dort verändert werden.

Die Benutzung von Pfeilen ist nicht nur bei der Analyse zusammengesetzter Bewegungen von Körpern hilfreich, sondern in der gesamten Physik grundlegend wichtig.

Unter der Voraussetzung, dass wir in einem dreidimensionalen euklidischen Raum arbeiten, der aus Punkten besteht, die wir in jedem Fall paarweise miteinander durch eine (jeweils eindeutig bestimmte) Strecke verbinden sowie deren Abstände wir mit den Längen dieser Strecken messen können und der die Eigenschaft hat, dass zwei zueinander parallele Geraden stets den gleichen Abstand behalten, egal wie weit wir entlang dieser Geraden laufen mögen, kann man folgende Definitionen formulieren:

Repräsentanten einer Pfeilklasse a Ein Pfeil ist definiert durch seinen Anfangspunkt, seine Richtung und seine Länge. Die Menge aller Pfeile, die (i) dieselbe Richtung und (ii) dieselbe Länge haben, heißt Pfeilklasse. Jeder Pfeil aus einer Pfeilklasse a heißt Repräsentant von a. Der Betrag einer Pfeilklasse a ist gleich der Länge eines ihrer Repräsentanten. Der Betrag von a wird mit |a| oder mit a bezeichnet.

Sei mit M_Pf die Menge aller Pfeile bezeichnet und seien p, q ∈ M_Pf, dann hat man mit

eine Äquivalenzrelation auf M_Pf definiert. Die Pfeilklassen sind die Äquivalenzklassen bezüglich "~".

Will man eine Pfeilklasse darstellen, so zeichnet man in der Regel nur einen Repräsentanten dieser Pfeilklasse und schreibt den Namen dieser Pfeilklasse daneben.

Wird eine Pfeilklasse a durch den Pfeil repräsentiert, der den Anfangspunkt P und den Zielpunkt A hat, so soll dieser Sachverhalt kurz wie folgt ausgedrückt werden: a = >PA>.
Der Betrag von a ist gleich dem Abstand zwischen P und A, das heißt: |a| = |PA|.

Seien a und b zwei Pfeilklassen. Dann wird die Summe von a und b wie folgt erklärt:

Summe zweier Pfeilklassen

Mit zwei beliebigen Punkten P und A und a = >PA> folgt a + a* = >PP>, mit anderen Worten: |a + a*| = 0.

Für jede Pfeilklasse a gilt somit a + a* = o. Ferner gilt a + o = a für alle a.

Sei nun a irgendeine Pfeilklasse und r eine beliebige positive reelle Zahl. Dann soll ra diejenige Pfeilklasse sein, die durch einen Pfeil repräsentiert wird, der r-mal so lang ist wie ein Repräsentant von a und in die gleiche Richtung zeigt. ra kann interpretiert werden als Produkt der Zahl r und der Pfeilklasse a. Diese so genannte skalare Multiplikation (oder S-Multiplikation) einer Pfeilklasse a mit einer Zahl r funktioniert mit folgenden Definitionen sogar für alle reellen Zahlen:

dann gilt für alle Pfeilklassen a und b: a − b = a + (-1)b = a + 1b* = a + b*
und es gilt insbesondere a − a = o.

Für alle Pfeilklassen a, b und c gelten bezüglich der Addition das Kommutativgesetz

Beweis:
zum Beweis der Kommutativität Seien P, A und B beliebige Punkte.
a = >PA> und b = >AB>.
Wähle Punkt P' so, dass >P'B> = a und >PP'> = b.
Anschaulich bedeutet dies, dass PP'BA ein Parallelogramm darstellt. Dann gilt
a + b = >PA> + >AB> = >PB> = >PP'> + >P'B> = b + a.

Die Idee zum Beweis der Assoziativität ist ganz ähnlich:

zum Beweis der Assoziativität

Alle bisherigen Überlegungen und Definitionen waren völlig unabhängig davon, ob unsere Pfeilklassen in einer (nicht gekrümmten) Ebene repräsentiert werden oder in einem (nicht gekrümmten) Raum. Dies ist auch beim Beweis des Assoziativgesetzes so; aber es ist vielleicht anschaulicher, sich unter der hier abgebildeten Figur ein Parallelepiped vorzustellen, also eine räumliche Figur mit acht Eckpunkten und zwölf Kanten, von denen jeweils vier gleich lang und zueinander parallel sind.

Das gemischt-assoziative Gesetz s(ta) = (s·t)a und das erste Distributivgesetz (s + t)a = sa + ta folgen im Wesentlichen aufgrund der Rechenregeln in ℝ. Das zweite Distributivgesetz folgt aus dem ersten Strahlensatz. Der erste Strahlensatz besagt, dass für zwei Strahlen, die den gleichen Anfangspunkt haben und von zwei Parallelen geschnitten werden, das Verhältnis der Abschnitte auf dem einen Strahl gleich dem entsprechenden Verhältnis der Abschnitte auf dem anderen Strahl ist.

Strahlensatzfigur

Die Menge aller Pfeilklassen im so genannten Anschauungsraum soll mit ℙ bezeichnet werden.
Dann lässt sich die Struktur von ℙ im Hinblick auf die Pfeilklassenaddition zusammenfassend wie folgt beschreiben:

Die Menge aller Pfeilklassen ist bezüglich der in ℙ definierten Addition "+" aufgrund der Eigenschaften (i)₊, (ii)₊ und (iii)₊ eine Gruppe. Wegen der Gültigkeit des Kommutativgesetzes (Regel (iv)₊) ist ℙ sogar eine Abel'sche Gruppe. Das zu jedem a ∈ ℙ existierende a* mit a* + a = o ist eindeutig bestimmt und heißt das "zu a inverse Element". Das Inverse zu a wird üblicherweise mit (−a) bezeichnet.

Im Hinblick auf die Addition gelten in der Menge ℙ dieselben Rechengesetze wie in ℤ, ℚ oder ℝ. Das bedeutet insbesondere, dass alle weiteren Gesetze, die die Addition betreffen und im Bereich der Zahlen bereits bewiesen worden sind, automatisch auch in ℙ Gültigkeit haben. Umgekehrt gilt natürlich das Gleiche.
Hierzu gehören beispielsweise die Rechenregeln −(−a) = a oder −(a + b) = −a − b oder so etwas wie a + b = a + c ⇒ b = c und so weiter.

In einem beliebigen Dreieck ABC schneiden sich die drei Seitenhalbierenden in einem Punkt (S), die drei Höhen schneiden sich ebenfalls in einem Punkt (H), das Gleiche gilt für die Mittelsenkrechten mit dem Schnittpunkt U und die Winkelhalbierenden mit dem Schnittpunkt I. Die Punkte U, S und H liegen immer auf einer Geraden, der so genannten Eulergerade (-> Beweis).

Diese Konstruktion steht hier als GEONExT-Applet in einem Extra-Fenster zur Verfügung. Die Lage der rot markierten Eckpunkte des Dreiecks kann dort verändert werden.

Alle oben genannten Aussagen (und viele andere) lassen sich elementargeometrisch oder aber mit Hilfe von Pfeilklassen beweisen. Als Beispiel soll der folgende Satz dienen:

Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt S.
S teilt jede der Seitenhalbierenden im Verhältnis 1:2.

Beweis:
Gegeben sei ein beliebiges Dreieck ABC. Dann hat man mit c = >AB> und b = >AC> zwei nicht kollineare Pfeilklassen, das heißt, dass aus der Gleichung rb + sc = o mit r, s ∈ ℝ folgt, dass beide Zahlen r und s gleich 0 sein müssen.

Dreieck mit Seitenhalbierenden Die nebenstehende Zeichnung liefert die Pfeilklassengleichung
c − b = mv − nw mit zunächst unbekannten Zahlen m und n.
Diese Zahlen m und n existieren, denn irgendwo schneiden sich die betrachteten Seitenhalbierenden sicherlich.
Zusammen mit v = −b + ½c und w = −c + ½b ergibt sich durch Einsetzen c − b = m(−b + ½c) − n(−c + ½b) und hieraus folgt
(−m − ½n + 1)b + (½m + n − 1)c = o.

Da b und c nicht kollinear sind (anschaulich gesprochen: b, c und c* haben unterschiedliche Richtungen), gilt −m − ½n + 1 = 0 und ½m + n − 1 = 0.
Dieses Gleichungssystem wird gelöst durch n = 2/3 und m = 2/3.

Dieses Resultat ist unabhängig davon, welche zwei Seitenhalbierenden von den drei vorhandenen für die Rechnung ausgewählt werden. Hieraus folgt die Behauptung.

Die strukturellen Eigenschaften der Menge aller Pfeilklassen im Anschauungsraum sind charakteristisch für eine ganze Klasse von Mengen, die die gleichen Eigenschaften besitzen. Dies gibt Anlaß zur Verallgemeinerung der oben vorgestellten Dinge.

Sei (K,+,·) ein Körper mit 0 als Nullelement und 1 als Einselement, das heißt:
(G) (K,+) und (K\{0},·) sind Abel'sche Gruppen.
(D) r·(s + t) = r·s + r·t für alle r, s, t ∈ K.
(N) 0·r = 0 für alle r ∈ K.

Sei ferner (V,+) eine Abel'sche Gruppe und "·": KxV → V eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften:
(GD) s·(t·a) = (s·t)·a
(D1) (s + t)·a = s·a + t·a
(D2) t·(a + b) = t·a + t·b
(U) 1·a = a
für alle s, t ∈ K und alle a, b ∈ V.

Dann heißt (V,K,·) ein K-Vektorraum, die Elemente von V heißen Vektoren, die Elemente von K nennt man Skalare.

Die Bezeichnungen "Vektor" und "Skalar" stammen vom irischen Mathematiker Sir William Rowan Hamilton (1805 - 1865).

Bemerkenswert ist das Axiom (U) (unitäres Gesetz). Im Hinblick auf die Menge aller Pfeilklassen zum Beispiel mag dieses Gesetz selbstverständlich erscheinen. Tatsächlich folgt aber die Aussage von (U) nicht aus den anderen Axiomen und muss deshalb als gültig vorausgesetzt werden.

Das Nullelement 0 ∈ K, das Einselement 1 ∈ K sowie das Nullelement o ∈ V sind eindeutig bestimmt.

Beispiel 1:
Jeder Körper K ist infolge der Körperaxiome ein Vektorraum über sich selbst.
Beispielsweise ist ℝ ein ℝ-Vektorraum.
In diesen speziellen Fällen bedeuten die Operatoren "+" und "+" bzw. "·" und "·" dasselbe.

Beispiel 2:
ℙ, die Menge aller Pfeilklassen im Anschauungsraum ist ein ℝ-Vektorraum.
Man beachte, dass in diesem Raum vor allem die Begriffe Punkt, Richtung und Länge nicht weiter hinterfragt und explizit definiert, sondern eben anschaulich als gegeben vorausgesetzt wurden!

(x₁, ..., x_n) + (y₁, ..., y_n) =_def (x₁+y₁, ..., x_n+y_n)
t·(x₁, ..., x_n) =_def (t·x₁, ..., t·x_n)

Beispiel 4:
ℱ, die Menge aller reellen Funktionen (also aller Abbildungen von ℝ in sich), bildet ein ℝ-Vektorraum mit folgenden Definitionen:

(f + g)(x) =_def f(x) + g(x) für alle x ∈ ℝ
(t·f)(x) =_def t·f(x) für alle x ∈ ℝ und t ∈ ℝ.

Die Funktion o, definiert durch o(x) = 0 für alle x ∈ ℝ ist das Nullelement von ℱ.

Die folgenden zwei Aussagen gelten für alle K-Vektorräume V:
(i) t·a = o gilt genau dann, wenn t = 0 oder a = o ist.
(ii) (-t)·a = −(t·a) für alle a ∈ V und t ∈ K.

Beweis: (i)
"⇐":
Mit t = 0 folgt für ein beliebiges a ∈ V: 0·a = (0 + 0)·a = 0·a + 0·a.
Wegen (II) und der Tatsache, dass o eindeutig bestimmt ist, folgt 0·a = o.
Mit a = o folgt für ein beliebiges t ∈ K: t·a = t·o = t·(o + o) = t·o + t·o
Also folgt aus demselben Grund wie eben t·o = o.
"⇒":
Sei t·a = o mit a ∈ V und t ∈ K.
Dann ist entweder t = 0 oder t ǂ 0.
Falls t ǂ 0, dann gibt es wegen (iii)_* ein t* ∈ K mit t*·t = 1 und es folgt
a = 1·a = (t*·t)·a = t*·(t·a) = t*·o = o.

(ii)
Sei a ∈ V und t ∈ K. Dann gilt t·a + (-t)·a = (t − t)·a = 0·a = o.
Da das Inverse zu jedem Vektor aus V eindeutig bestimmt ist,
folgt die Behauptung.

Besonders praktisch ist es, mit denjenigen Pfeilen zu arbeiten, die den Ursprung eines 3-dimensionalen kartesischen Koordinatensystems als Anfangspunkt haben. Diese Pfeile werden Ortsvektoren genannt.
Jedem Punkt P(p₁|p₂|p₃) mit p₁, p₂, p₃ ∈ ℝ kann bei gegebenem Koordinatensystem in bijektiver Weise ein solcher Ortsvektor p zugeordnet werden.

Diejenigen Ortsvektoren, die in die Richtung der Koordinatenachsen zeigen und die Länge 1 haben, sollen Basisvektoren heißen und mit e₁, e₂ und e₃ bezeichnet werden. Dann gilt p = p₁·e₁ + p₂·e₂ + p₃·e₃.

p₁, p₂ und p₃ sind die Koordinaten des Punktes P, bzw. die Komponenten des Ortsvektors p.
Zwei Ortsvektoren p und q sind genau dann gleich, wenn für ihre Komponenten unter Verwendung derselben Basis {e₁, e₂, e₃} gilt:

Den Betrag eines Ortsvektors erhält man durch zweimalige Anwendung des "Satzes des Pythagoras":

Diese Konstruktion steht hier als GEONExT-Applet in einem Extra-Fenster zur Verfügung. Die Lage der rot markierten Punkte kann dort verändert werden. Außerdem kann die Richtung der "x₁-Achse" variiert werden.

Ein räumliches Koordinatensystem hat üblicherweise die Eigenschaft, rechtshändig zu sein, das heißt: die Richtungen der "positiven" Achsen werden festgelegt durch Daumen (x₁), Zeigefinger (x₂) und Mittelfinger (x₃) der rechten Hand. Man nennt dies ein Rechtssystem.

Durch die Einführung von Koordinaten gelingt es, geometrische Objekte analytisch zu beschreiben. Dies führt dazu, dass geometrische Probleme auch auf rechnerische Art lösbar werden (analytische Geometrie). Grundlegend in der analytischen Geometrie sind insbesondere folgende Zuordnungen:

t, r und s sind hierbei reelle Parameter; p nennt man sowohl bei Geraden als auch bei Ebenen Stützvektor. Die von o verschiedenen Spannvektoren u und v einer Ebene E müssen immer linear unabhängig sein, das heißt, es gibt keine reelle Zahl k mit u = k·v. Der in der Parametergleichung x = p + t·u verwendete Vektor u, der von o verschieden sein muss, heißt Richtungsvektor.

Addition und S-Multiplikation funktionieren - wie oben bereits definiert - komponentenweise:

Die Aufgaben "Schneiden sich zwei gegebene Geraden, und wenn ja, in welchem Punkt?" oder "Schneiden sich zwei gegebene Ebenen, und wenn ja, wie lautet die Gleichung der Schnittgeraden?" oder "In welchem Punkt durchstößt eine gegebene Gerade eine bestimmte Ebene?" und so weiter, führen im Wesentlichen zur Aufstellung eines linearen Gleichungssystems und dessen Lösung.
→ Einführung in Maple, Übung Lösen linearer Gleichungssysteme.

Es folgt t_D = −6 und damit x₁ = −15 und x₂ = 11.
Der gesuchte Durchstoßpunkt ist also D(−15|11|0).

Die Definition des Skalarprodukts liefert eine Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren. Das Ergebnis des Skalarprodukts zweier Vektoren ist kein Vektor, sondern eine Zahl:

Für 0° ≤ α < 90° und 270° < α ≤ 360° ist a•b positiv;
für 90°< α < 270° ist a•b negativ.

Hiermit lässt sich der geometrische Sachverhalt, dass zwei geometrische Objekte senkrecht zueinander stehen, auch analytisch ausdrücken:

Außerdem folgt direkt aus der Definition des Skalarprodukts a•a = |a|² für alle a ∈ ℙ, kurz geschrieben:

Physikalisch ist das Skalarprodukt überall dort bedeutsam, wo es um die Berechnung von Energiemengen geht und hierbei gerichtete Größen eine Rolle spielen. Zwei Beispiele: Für die Verschiebung eines Körpers um einen gewissen Streckenabschnitt Δs durch eine konstante Kraft F muss insgesamt die Energie ΔW = F•Δs aufgebracht werden. Ändert irgendein sich mit der Geschwindigkeit v gleichförmig bewegtes System seinen Impuls um ΔP, dann nimmt es hierbei den Energiebetrag ΔW = v•ΔP auf.

Elementargeometrisch folgen für alle a, b, c ∈ ℙ und alle t ∈ ℝ die folgenden Rechenregeln:
(S1) a•b = b•a (Kommutativgesetz)
(S2) a•(b + c) = a•b + a•c (Distributivgesetz)
(S3) a•(t·b) = (t·a)•b = t·(a•b) (gemischt assoziatives Gesetz)

Diese Regeln folgen mit den in ℝ gültigen Rechenregeln auch aus der Aussage des folgenden Satzes:

Sind a und b durch ihre Koordinaten a₁, a₂ und a₃ bzw. b₁, b₂ und b₃ in einem 3-dimensionalen kartesischen Koordinatensystem gegeben, dann gilt

Beweis:
Jedes beliebige Dreieck ABC lässt sich unter Benutzung einer der Höhen in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen.
Führt man diese Zerlegung beispielsweise mit der Höhe h_b durch, so folgt mit dem "Satz des Pythagoras"
a² = h_b² + (b−c·cos(α))²
= (c·sin(α))² + (b−c·cos(α))²
= c²(sin²(α) + cos²(α)) + b² − 2bc·cos(α)
= b² + c² − 2bc·cos(α).

Im Fall α > 90° erhält man dasselbe Resultat.

Kosinussatz: In jedem Dreieck ABC gilt
a² = b² + c² − 2bc·cos(α) und, analog hierzu,
b² = c² + a² − 2ca·cos(β) sowie
c² = a² + b² − 2ab·cos(γ).

Vektordreieck Seien nun a und b durch ihre Komponenten gegeben, so folgt mit dem Kosinussatz
a • b
= a·b·cos(γ)
= ½(a² + b² − |a − b|²)
= ½([a₁² + a₂² + a₃²] + [b₁² + b₂² + b₃²] − [(a₁−b₁)² + (a₂−b₂)² + (a₃−b₃)²])
= a₁·b₁ + a₂·b₂ + a₃·b₃.

Mit Hilfe des Skalarproduktes kann man eine Ebene E parameterfrei durch eine Normalengleichung beschreiben: Hat man einen auf der Ebene E senkrecht stehenden Vektor n, so gilt für alle Punkte X auf E:

n heißt Normalenvektor der Ebene E.
Benutzt man speziellerweise einen normierten Normalenvektor n₀, dann gilt definitionsgemäß |n₀| = 1 und

Wendet man den eben bewiesenen Satz auf eine Normalengleichung von E an, so ergibt sich
(x₁−p₁)·n₁ + (x₂−p₂)·n₂ + (x₃−p₃)·n₃ = 0 und damit gilt

Die Koordinatengleichung a·x₁ + b·x₂ + c·x₃ = d mit a, b, c, d ∈ ℝ beschreibt immer eine Ebene und der Vektor mit den Koordinaten a, b und c ist ein Normalenvektor der Ebene.

Beweis:
Gegeben sei die Koordinatengleichung a·x₁ + b·x₂ + c·x₃ = d
mit beliebig gewählten reellen Zahlen a, b, c und d.
Seien e₁, e₂, e₃ die Basisvektoren des Koordinatensystems und
n = a·e₁ + b·e₂ + c·e₃ bzw. x = x₁·e₁ + x₂·e₂ + x₃·e₃,
dann läßt sich die gegebene Gleichung auch so schreiben: n•x = d.

Zum Vektor n und zur Zahl d gibt es immer irgendeinen Vektor p mit n•p = d.
Hieraus folgt n•x = n•p und damit n•x − n•p = n•(x − p) = 0.
Diese Gleichung aber ist die Normalengleichung einer Ebene,
p ist ein zu einem Punkt der Ebene gehörender Ortsvektor
und n ist senkrecht zu dieser Ebene.

Ist (x − p)•n₀ = 0 die zu einer Ebene E gehörende Hesse'sche Normalenform und R(r₁|r₂|r₃) irgendein Punkt, dann gilt für die Länge des Lotes von R auf E

Beweis:
Ebene E mit den Punkten R und R* im Abstand d Sei F der Fußpunkt des Lotes von R auf E und
d der Abstand zwischen R und F.

Dann gilt >PR>•n₀ = |PR|·1·cos(α) = d sowie
>PR*>•n₀ = |PR*|·cos(α*) = |PR*|·cos(180°− α) = −d.

Mit r − p = >PR> folgt die Behauptung.

Sei (K,+,·) irgendein Körper und "*": K → K eine bijektive Abbildung mit
(s + t)* = s* + t*; (s·t)* = s*·t* und (t*)* = t für alle s, t ∈ K.
Seien ferner (V,K,·) und (W,K,·) zwei K-Vektorräume.
Dann heißt eine Abbildung f: VxW → K eine Semibilinearform,
wenn für alle v, v' ∈ V; w, w' ∈ W und alle t ∈ K Folgendes gilt:

(i) f(v + v', w) = f(v, w) + f(v', w)
(ii) f(v , w + w') = f(v, w) + f(v, w')
(iii) f(t·v, w) = t·f(v, w)
(iv) f(v, t·w) = t*·f(v, w)

Gilt für alle t ∈ K t = t*, so heißt f Bilinearform.
Im Fall V = W schreibt man dann statt f(v, w) üblicherweise <v, w>.

Beispiel 1:
"*": ℂ → ℂ sei diejenige Abbildung, die jeder komplexen Zahl x+iy die konjugiert komplexe Zahl x−iy zuordnet.
Dann ist die Abbildung f: ℂⁿxℂⁿ → ℂ mit

eine Semibilinearform. Hierbei ist v = (v₁, v₂, ... v_n) ∈ ℂⁿ und w = (w₁, w₂, ... w_n) ∈ ℂⁿ.

ist eine Bilinearform. Hierbei ist x = (x₁, x₂, ... x_n) ∈ ℝⁿ und y = (y₁, y₂, ... y_n) ∈ ℝⁿ.

Eine Semibilinearform f: V² → K heißt genau dann eine symmetrische Form, wenn

f(v, w) = f(w, v) für alle v, w ∈ V.

Eine Semibilinearform f: V² → K heißt genau dann eine Hermite'sche Form, wenn

f(v, w) = (f(w, v))* für alle v, w ∈ V.

Ist V ein K-Vektorraum und f: V² → K eine symmetrische oder eine Hermite'sche Form, dann heißt (V,f) ein metrischer Vektorraum.

Ist K = ℝ oder K = ℂ, dann heißt eine symmetrische oder eine Hermite'sche Form f genau dann positiv definit, wenn

f(x, x) > 0 für alle x ∈ V mit x ǂ o
und f(o, o) = 0.

Sei V ein ℝ-Vektorraum und "<,>": V² → ℝ eine symmetrische und positiv definite Bilinearform, dann heißt diese Bilinearform Skalarprodukt von V.

Ein ℝ-Vektorraum mit einem Skalarprodukt heißt euklidischer Vektorraum.

Mit Hilfe des Skalarproduktes ist es möglich, Längen zu messen. Hierzu wird der Betrag eines Vektors x als Element eines euklidischen Vektorraums wie folgt definiert:

In einem euklidischen Vektorraum (V,<,>) gilt die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung

Beweis:
Sei o das Nullelement von V.

Fall 1: x = y = o.
Es gilt |<o, o>| = 0 und |o|·|o| = 0·0 = 0.

Fall 2: Entweder x = o oder y = o.
Wegen der Symmetrie von <,> reicht es, eine dieser zwei Möglichkeiten zu behandeln.
Sei also beispielsweise x = o und y ∈ V beliebig gewählt. Dann gilt
<o, y> = <o+o, y> = <o, y> + <o, y>.
<o, y> muss also das Nullelement in ℝ sein, mit anderen Worten:
<o, y> = 0. Außerdem gilt |o|·|y| = 0·|y| = 0.

Fall 3: x ǂ o und y ǂ o. Dann gilt für alle t ∈ ℝ:
0 ≤ <x − t·y, x − t·y> = <x, x> − 2·t·<x, y> + t²·<y, y>.
<y, y> ist wegen y ǂ o verschieden von 0.
Setzt man t = <x, y>/<y, y>, so folgt aus
0 ≤ <x, x> − 2·t·<x, y> + t²·<y, y> die Ungleichung
0 ≤ <x, x>·<y, y> − 2·<x, y>·<x, y> + <x, y>·<x, y>, also
0 ≤ <x, x>·<y, y> − <x, y>·<x, y>. Dies ist gleichbedeutend mit
<x, y>² ≤ <x, x>·<y, y> = |x|²·|y|² und hieraus folgt
wegen |x| > 0 und |y| > 0 die Behauptung.

Aus der Cauchy-Schwarz'schen Ungleichung folgt zum Beispiel unmittelbar für alle x_i, y_i ∈ ℝ und n ∈ ℕ*:

(x₁·y₁ + ... + x_n·y_n)² ≤ (x₁²+ ... + x_n²)·(y₁²+ ... + y_n²).

Beweis:
Seien x, y ∈ V beliebig gewählt. Dann gilt
|x + y|²
= <x + y, x + y>
= <x + y, x> + <x + y, y>
= <x, x> + <y, x> + <x , y> + <y, y>
≤ |x|² + 2·|x|·|y| + |y|²
= (|x| + |y|)²
Hieraus folgt die Behauptung.

Sei (V,<,>) ein euklidischer Vektorraum mit o als Nullelement.
Dann heißt eine Abbildung "∥ ∥": V → ℝ mit folgenden Eigenschaften

∥t·x∥ = |t|·∥x∥ für alle x ∈ V und alle t ∈ ℝ
∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ für alle x, y ∈ V
∥x∥ = 0 ⇔ x = o für alle x ∈ V

eine Norm von V.

Bewegt sich eine elektrische Ladung q mit der Geschwindigkeit v senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld, dann wirkt auf sie die Lorentzkraft F.

Diese Kraft F steht sowohl senkrecht auf v, als auch auf dem Vektor B, mit dem die Stärke des Magnetfeldes gemessen wird. Für den Betrag der Lorentzkraft gilt F = |F| = |q|·v·B. Die Richtung von F wird mit der Dreifingerregel ermittelt: Der Daumen gibt die Bewegungsrichtung der Ladung an, der Zeigefinger weist in die Richtung der Magnetfeldlinien, der Mittelfinger zeigt die Richtung der Lorentzkraft an. Bei negativen Ladungen nimmt man die linke Hand (wie zum Beispiel in der Abbildung links), für positive Ladungen ist die rechte Hand zuständig. Die Wirkung der Lorentzkraft erkennt man beim Überfahren der Abbildung mit dem Mauszeiger.

Bewegt sich q schräg zu den B-Feldlinien, dann ist für die Berechnung von F nur diejenige Komponente von v bedeutsam, welche senkrecht zu B steht, das bedeutet: F = |q|·v·B·|sin(α)|, wobei α den Winkel bezeichnet, der von v und B eingeschlossen wird. Kurz geschrieben: F =|q·vxB|. Die hier verwendete Verknüpfung "x" wird wie folgt erklärt:

Gegeben seien zwei von o verschiedene, aber ansonsten beliebige Vektoren a, b ∈ ℙ, die den Winkel α einschließen.
Dann sei axb ∈ ℙ definiert durch folgende Eigenschaften:

Rechtssystem [a, b, axb] (i) axb ⊥ a und axb ⊥ b
(ii) [a, b, axb] ist ein Rechtssystem (siehe Abb.)
(iii) |axb| = |a|·|b|·|sin(α)|

axb heißt Kreuzprodukt (oder Vektorprodukt) von a und b.

Ist a = o oder b = o, dann setzt man axb = o.

Nach dieser Definition ist axb ein Normalenvektor der durch a und b festgelegten Ebene und der Betrag von axb entspricht dem Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms. So wie Orthogonalität mit Hilfe des Skalarproduktes analytisch beschreibbar ist, läßt sich mit Hilfe des Kreuzproduktes Parallelität analytisch beschreiben, denn es gilt nach Definition wegen (iii)

Ferner gelten für alle a, b, c ∈ ℙ und alle t ∈ ℝ die folgenden Rechenregeln:
(K1) axb = − bxa
(K2) ax(b + c) = axb + axc (Distributivgesetz)
(K3) ax(t·b) = t·(axb) (gemischt assoziatives Gesetz)

Beweis:
(K1) und (K3) folgen direkt aus der Definition.
(K1) bedeutet, dass das Kommutativgesetz bezüglich "x" nicht gilt!

zu (K2):
Falls a = o oder b = o oder c = o, ist nichts zu beweisen.
Seien also im Folgenden a, b und c verschieden von o.

a = >PA>, b = >PB>, c = >PC>.
a x b = a x bE E sei diejenige Ebene durch den Punkt P, die a als Normalenvektor hat.
Seien b_E und c_E die Vektoren, die aus b bzw. c durch Projektion auf E entstehen.
Dann gilt axb = axb_E. (Das aus a und b gebildete Parallelogramm und das aus a und b_E gebildete Parallelogramm sind flächengleich!) Entsprechend gilt
axc = axc_E sowie ax(b+c) = ax(b_E+c_E).

Also ist (K2) äquivalent mit ax(b_E + c_E) = axb_E + axc_E.

Wegen a ⊥ b_E und a ⊥ c_E gilt |axb_E| = a·b_E und |axc_E| = a·c_E.

Parallelogramme in E a·b_E und a·c_E sind die Längen des von axb_E und axc_E aufgespannten und in E liegenden Parallelogramms P_a. b_E und c_E sind die Längen des von b_E und c_E aufgespannten Parallelogramms P₁. Diese beiden Parallelogramme sind ähnlich und die entsprechenden Seiten stehen senkrecht aufeinander.

Auch die Diagonalen beider Parallelogramme stehen aufeinander senkrecht.
Bezeichnet man mit d_a bzw. d₁ die Längen der Diagonalen der entsprechenden Parallelogramme, dann gilt
d_a = a·d₁, mit anderen Worten: |axb_E + axc_E| = a·|b_E + c_E|.
a, b_E+c_E, axb_E+axc_E stehen paarweise aufeinander senkrecht und bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.

Hieraus folgt ax(b_E + c_E) = axb_E + axc_E und damit (K2).

Sind a und b durch ihre Koordinaten a₁, a₂ und a₃ bzw. b₁, b₂ und b₃ in einem 3-dimensionalen kartesischen Koordinatensystem gegeben, dann gilt

a x b = (a₂b₃ − a₃b₂)·e₁ + (a₃b₁ − a₁b₃)·e₂ + (a₁b₂ − a₂b₁)·e₃

Beweis:
Sei a = a₁·e₁ + a₂·e₂ + a₃·e₃ und b = b₁·e₁ + b₂·e₂ + b₃·e₃.

Es gilt e₁xe₂ = e₃, e₂xe₃ = e₁ und e₃xe₁ = e₂.
Ferner gilt e₁xe₁ = e₂xe₂ = e₃xe₃ = o.

Dann folgt unter Beachtung des Distributivgesetzes (K2):
a x b
= (a₁·e₁ + a₂·e₂ + a₃·e₃) x (b₁·e₁ + b₂·e₂ + b₃·e₃)
= a₁b₂·e₃ − a₁b₃·e₂ − a₂b₁·e₃ + a₂b₃·e₁ + a₃b₁·e₂ − a₃b₂·e₁= (a₂b₃ − a₃b₂)·e₁ + (a₃b₁ − a₁b₃)·e₂ + (a₁b₂ − a₂b₁)·e₃

Gehört zu jedem Punkt x = (x₁,x₂,x₃) eines zusammenhängenden und offenen Raumgebietes G

⊆

ℝ³ ein Wert einer skalaren Funktion f(x) oder ein Wert einer vektoriellen Funktion v(x) = (v₁(x),v₂(x),v₃(x)), so wird hiermit ein skalares Feld bzw. ein Vektorfeld definiert. Die Punktkoordinaten x₁, x₂ und x₃ beziehen sich hierbei auf ein bestimmtes dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem.

Die Temperaturverteilung in der Erdatmosphäre oder die Dichteverteilung in einem Festkörper sind zum Beispiel skalare Felder; Beispiele für Vektorfelder sind E- und B-Felder (elektrische und magnetische Felder), das Gravitationsfeld der Erde oder das Geschwindigkeitsfeld in einer strömenden Flüssigkeit. Ein skalares oder ein vektorielles Feld, das sich mit der Zeit nicht ändert, heißt stationär.

Skalare Felder lassen sich mit Hilfe von Niveauflächen veranschaulichen: für alle Punkte einer Niveaufläche hat die Funktion f einen konstanten Wert.

Ein Vektorfeld kann man mit Hilfe von Feldlinien darstellen: jeder vektorielle Wert der Funktion v ist an jedem Punkt in G tangential zur jeweiligen Feldlinie orientiert. Hat speziellerweise v überall in G denselben Wert, nennt man das zugehörige Feld homogen. Die Feldlinien sind dann zueinander parallele Geraden.

Macht man in einem skalaren Feld von einem Ort x aus einen kleinen Schritt zu irgendeinem dicht benachbarten Ort x+dx mit dx = (dx₁,dx₂,dx₃), so ändert sich der Wert der Funktion f dort um

Die rechte Seite dieser Gleichung kann man als Skalarprodukt zweier Vektoren auffassen:

Sei G ⊆ ℝ³ ein Gebiet und f eine auf G definierte und stetig differenzierbare Funktion. Dann heißt

Gradient von f

der Gradient von f.

grad f ist ein wohldefinierter Vektor, denn unabhängig vom verwendeten Koordinatensystem ergibt sich durch die Formel df = grad f • dx immer dasselbe Resultat für df.

Beweis:
Sei mit e_dx der Einheitsvektor in der durch dx = (dx₁,dx₂,dx₃) gegebenen Richtung bezeichnet.
Schreibt man für den Betrag von dx statt |dx| kurz dx, dann gilt
dx = dx·e_dx und dx_i = dx·cos(e_dx,x_i) für i = 1, 2, 3.
cos(e_dx,x_i) ist der Kosinus des von e_dx und der x_i-Achse eingeschlossenen Winkels.
Aus

folgt dann

Kurz geschrieben: df/dx = grad f • e_dx.

Das Skalar df/dx ist die Änderung von f pro Längeneinheit in einer durch e_dx beliebig vorgegebenen Richtung, und zwar unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems hingeschrieben.
Hieraus folgt die Behauptung.

Bewegt man sich ein wenig entlang einer Niveaufläche, dann ist dx tangential zu dieser Fläche orientiert und es gilt df = 0. Also steht der Gradient von f senkrecht zur Niveaufläche und weist damit stets in die Richtung des größten Anstiegs von f. Der Betrag von grad f ist gerade diese Änderung von f pro Längeneinheit.

ist ein symbolischer oder formaler Vektor, genauer gesagt: ein vektorieller Differentialoperator mit Invariantencharakter. Man kann (und muss) nachrechnen, dass sich die Komponenten von ∇ bei zulässigen Transformationen des verwendeten kartesischen Koordinatensystems sich genauso verhalten wie die Koordinaten x₁, x₂ und x₃.

∇f ist so etwas wie die multiplikative Verknüpfung von ∇ mit der skalaren Größe f.
Entsprechend gibt es die Möglichkeit, das Skalarprodukt bzw. das Vektorprodukt mit ∇ und einer Vektorfunktion v zu definieren:

Sei G ⊆ ℝ³ ein Gebiet und v mit v(x) = (v₁(x),v₂(x),v₃(x)) eine auf G definierte Vektorfunktion.
v₁,v₂ und v₃ seien überall auf G stetig differenzierbar.
Dann heißt div v = ∇•v Divergenz von v und rot v = ∇xv Rotation von v.

Es gilt demnach

Divergenz von v

und

Rotation von v

Hierbei sind e₁, e₂, e₃ die Basisvektoren des verwendeten kartesischen Koordinatensystems.