Zahlenmengen

Jedes Kind lernt mehr oder weniger selbstständig das Zählen:
ein Finger, zwei Finger, drei Finger ... oder: ..., drei Bonbons, zwei Bonbons, ein Bonbon, kein Bonbon.
Irgendwann lernt das Kind, dass das Zählen irgendwelcher Dinge immer auf die gleiche Weise funktioniert und fängt an, so zu zählen: eins, zwei, drei, vier, ... Ich habe unseren Nachbarsjungen, als er fünf Jahre alt war, gefragt, wie weit das geht. Er antwortete: "Ich kann schon bis acht zählen!" Ein Jahr später habe ich ihm die gleiche Frage gestellt und er hat geantwortet: "Das geht immer so weiter ... oder etwa nicht?"

(1) 0 ist eine natürliche Zahl.
(2) Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger und dieser ist wieder eine natürliche Zahl.
(3) Enthält eine Menge S die Zahl 0 und mit jeder natürlichen Zahl auch stets deren Nachfolger, so enthält S alle natürlichen Zahlen.
(4) Sind die Nachfolger zweier natürlicher Zahlen a und b einander gleich, so gilt a = b.
(5) Kein Nachfolger einer natürlichen Zahl ist gleich der Zahl 0.

Wenn man mit null die "erste" natürliche Zahl bezeichnet, dann ist eins der Nachfolger von null, zwei ist wiederum der Nachfolger von eins, und so geht es tatsächlich "immer weiter"...

Mit ℕ* wird die Menge aller natürlichen Zahlen bezeichnet, die von 0 verschieden sind: ℕ*= ℕ \ { 0 }.

Auf der Grundlage der fünf Peano'schen Axiome lassen sich die Rechengesetze, die innerhalb der Menge der natürlichen Zahlen gelten, beweisen (→ Vollständige Induktion).

Kurz nachdem unser Nachbarsjunge eingeschult wurde, hat er mir stolz berichtet: "Ich kann jetzt schon bis 20 rechnen!" Meine Frage: "Wieviel sind 7 plus 12?" Seine Antwort: "19." "Wieviel sind denn 12 plus 7?" Er dachte noch einmal nach und gab die Antwort: "19". "Fällt dir was auf?" Das Gespräch ging noch eine kleine Weile weiter und dann stellte ich ihm die Frage: "Wieviel sind 5 minus 7?" Er sah mich entrüstet an: "Die Aufgabe geht doch gar nicht!" "Du hast Recht", antwortete ich, "ich habe nicht aufgepaßt, ich habe dir eine falsche Aufgabe gegeben."

Inzwischen hat er gelernt, dass es doch geht. Wenn die Außentemperatur, die gestern noch 3°C betrug, inzwischen um 5 Grad gefallen ist, dann haben wir heute nicht keine Temperatur, sondern messen −2°C.
Verallgemeinert heißt das: man kann die Menge der natürlichen Zahlen erweitern auf die Menge der ganzen Zahlen ℤ = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... }, anders ausgedrückt: die Menge der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der ganzen Zahlen.

Mit ℤ hat man nicht nur positive, sondern auch negative Zahlen und man kann nach Herzenslust addieren und subtrahieren, wenn man ein paar Rechenregeln beachtet: −(−a) = +a und −a + (−b) = −(a + b) und ein paar andere. Allerdings kann man weder innerhalb von ℕ noch innerhalb von ℤ uneingeschränkt dividieren! Die Aufgabe "Wieviel ist 7 geteilt durch 3?" zum Beispiel geht nicht auf, es bleibt ein Rest. Die Lösung dieses Problems führt auf die Menge der rationalen Zahlen ℚ, das ist die Menge aller Bruchzahlen und die Lösung der Aufgabe "7:3 = ?" wird plötzlich ganz einfach: das Ergebnis ist 7/3 (gesprochen: "Sieben Drittel").

Ein Bruch r = z/n besteht aus einem Zähler z ∈ ℤ und einem von 0 verschiedenen Nenner n ∈ ℤ* . Wenn man die ganzen Zahlen mit den Brüchen identifiziert, die den Nenner 1 haben, so gilt:

Man kommt mit der Bruchrechnung sehr weit. Wenn man bedenkt, dass man solche Zahlen wie 2,78 auch als Bruch schreiben kann, nämlich als 278/100, dann möchte man meinen, es gäbe außer den ganzen und den rationalen Zahlen weiter keine Zahlen auf der Welt.

Behauptung: Die Lösung der Gleichung x² = 2 ist keine rationale Zahl.
Beweis: Wir suchen die Kantenlänge desjenigen Quadrats, dessen Flächeninhalt die Maßzahl 2 hat.
Angenommen, die Kantenlänge k dieses Quadrates ist doch darstellbar als rationale Zahl. Dann gibt es positive ganze Zahlen m* und n* mit k =m*/n*. Sollte der Nenner n* und der Zähler m* gemeinsame Teiler haben, dann kürzt man den Bruch solange, bis wir k = m/n schreiben können, wo m und n teilerfremde Zahlen darstellen.
Aus k = m/n folgt, dass k·n = m. Quadrieren dieser Gleichung liefert k²·n² = m²und wegen k²= 2 bedeutet dies, dass m²eine gerade Zahl sein muss. Da das Quadrat einer ungeraden Zahl immer ungerade ist, muss mit m²auch m eine gerade Zahl sein. Daraus folgt, dass es irgendeine positive ganze Zahl p geben muss mit m = 2·p. Wenn man nun 2·p für m in der Gleichung 2·n² = m² einsetzt, dann haben wir 2·n² = 4·p². Hieraus folgt, dass n² = 2·p². Also ist n² und damit auch n gerade. Insgesamt folgt also, dass 2 sowohl m als auch n teilt. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme und damit ist die Behauptung richtig.

k lässt sich - wie alle anderen "Quadratwurzeln" auch - näherungsweise berechnen, und zwar mit Hilfe des Heronverfahrens (benannt nach dem Mathematiker Heron, der im 1. Jahrhundert n.Chr. vermutlich in Alexandria lebte). Das Verfahren beruht auf einer einfachen Idee.

Gegeben sei ein Quadrat und die Maßzahl des Flächeninhalts des Quadrates sei gleich a. Dann gilt für die Kantenlänge k dieses Quadrates

Sei die rationale Zahl k₀ der erste Näherungswert für k, dann gibt es zwei Möglichkeiten: entweder ist k₀ kleiner oder aber größer als k. Im letzten Fall gilt a < k₀²und damit hat man (a/k₀²)·a < a. Im ersten Fall gilt a > k₀²und damit hat man (a/k₀²)·a > a. Es folgt also (a/k₀)² < a < k₀² oder k₀² < a < (a/k₀)². Radizieren dieser Ungleichungen liefert

In jedem Fall liegt k also zwischen a/k₀und k₀. Nun geht es darum, einen Näherungswert für k zu bekommen, der besser ist als k₀, das heißt, dessen Abstand zu k kleiner ist als der Abstand zwischen k₀und k. Diese Forderung wird erfüllt von der Zahl, die genau in der Mitte zwischen a/k₀und k₀ liegt (arithmetisches Mittel).
Daraus folgt k₁ = 0,5·(k₀+ a/k₀) und es gilt analog zu eben a/k₁ < k < k₁ oder k₁ < k < a/k₁. Der zweite Näherungswert k₂ ist dann das arithmetische Mittel von a/k₁und k₁ und so fort.
Allgemein ergibt dies die Iterationsgleichung

Unter Benutzung dieser Iterationsgleichung kann im Folgenden die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl a berechnet werden. Der Startwert k₀muss positiv sein und ist ansonsten frei wählbar. Sobald sich zwei aufeinander folgende Iterationswerte k_n und k_n+1um nicht mehr als 0,000000001 unterscheiden, wird im folgenden mit JavaScript geschriebenen Programm die Iteration bei i = n abgebrochen (-> Quelltext).

Die Idee, wie man zweckmäßigerweise die Menge der reellen Zahlen (das ist die Menge aller rationalen Zahlen und aller irrationaler Zahlen) konstruieren kann, ist damit geboren: ℝ, die Menge der reellen Zahlen, besteht aus allen konvergenten rationalen Zahlenfolgen, repräsentiert durch ihre Grenzwerte. Wie diese Idee Schritt für Schritt mathematisch umgesetzt werden kann, lässt sich im Abschnitt "Die Menge der reellen Zahlen" nachlesen.

Wenn die rationalen Zahlen mit den konstanten Folgen rationaler Zahlen identifiziert werden, so gilt

Ist hiermit das Ende erreicht? Nein! Es gibt Gleichungen, die in ℝ formulierbar, aber nicht in ℝ lösbar sind, zum Beispiel: x² = −1.

In der abzählbar unendlichen Menge ℕ = { 0, 1, 2, 3, 4, ... } der natürlichen Zahlen gibt es zwei "natürliche" Operationen: die Addition "+" und die Multiplikation "·".
Sowohl bezüglich "+" als auch bezüglich "·" gilt für alle natürlichen Zahlen k, m und n das Kommutativgesetz:

An alle diese Gesetze haben wir uns so sehr gewöhnt, dass es uns gar nicht in den Sinn kommt, die Gültigkeit dieser Gesetze anzuzweifeln. Nehmen wir als Beispiel das Kommutativgesetz: wenn wir sieben Erbsen in der linken Hand und neun Erbsen in der rechten Hand haben, dann haben wir zusammen sechzehn Erbsen in beiden Händen und derjenige, der uns gegenüber stehen und sagen würde: links hast du neun Erbsen und rechts hast du sieben Erbsen, würde gewiß auf den gleichen Summenwert kommen, vorausgesetzt natürlich, er könnte genauso gut zählen wie wir.

Was ist der Unterschied zwischen einem "normalen" Menschen und einem Mathematiker? Wenn jemand oft genug Erbsen oder sonst irgendwelche Dinge in ihrer Anordnung vertauscht hat und jedes Mal feststellen konnte, dass sich hierbei die Gesamtzahl der beteiligten Dinge nicht geändert hat, sofern nichts weggenommen oder hinzugefügt wurde, dann glaubt er oder sie normalerweise, dass das auch beim nächsten Mal so sein wird. In der Mathematik ist man dagegen erst dann richtig zufrieden, wenn man bewiesen hat, dass etwas immer so sein muss.

Dass der bloße Augenschein oftmals in die Irre führen kann, zeigt folgende Aufgabe: Gegeben sei ein Kreis. Auf der Kreislinie hat man eine gewisse Anzahl an Punkten, wobei alle Punkte paarweise miteinander durch eine Linie verbunden sind. In wieviele Teilflächen wird der Kreis zerlegt?

Die Vermutung liegt nahe, dass sich die Zahl der Teilflächen mit jedem neu dazu kommenden Kreispunkt verdoppelt, bei 4 Kreispunkten wären es dann 8 Teilflächen, bei 5 Kreispunkten 16 Teilflächen, u.s.w. Man kann sich leicht davon überzeugen, dass das vermeintlich entdeckte "Verdoppelungsgesetz" ab 6 Kreispunkten nicht mehr gültig ist. Man benötigt einen Kreis mit sechs Punkten auf der Kreislinie, die paarweise miteinander verbunden sind und dann heißt es einfach: Teilflächen zählen ...

Oftmals ist es wesentlich schwieriger als in diesem Beispiel, einen Irrtum aufzudecken oder zu beweisen, dass etwas nicht richtig ist, was man zuvor nie angezweifelt hat. Zuweilen läuft der Irrtum aber auch genau in die andere Richtung. Man glaubt, ein ungültiges Gesetz muss unter allen Umständen falsch sein. Formulieren wir das in ℕ gültige Distributivgesetz einmal um und schreiben: k + (m·n) = (k+m)·(k+n), dann sieht man mit einem Gegenbeispiel, dass diese Gleichung im Allgemeinen unter Verwendung von natürlichen Zahlen und der in ℕ üblichen Addition bzw. Multiplikation zu einer falschen Aussage führt. 3 + (2·4) ǂ (3 + 2)·(3 + 4). Dies lässt sich mit Erbsen nachzählen:

Nimmt man anstatt der natürlichen Zahlen irgendwelche Mengen gleichartiger Objekte und verwendet statt der Operation "+" die Mengenoperation "∪" und statt der Operation "·" die Mengenoperation "∩", dann sind beide Distributivgesetze gültig!

Seien A und B zwei nichtleere Mengen gleichartiger Objekte. Dann heißt die Menge

A ∪ B = { x: x ∈ A oder y ∈ B }

die Vereinigungsmenge von A und B. Die Schreibweise "x ∈ X" bedeutet: "x ist ein Element der Menge A".

Die Menge

A ∩ B = { x: x ∈ A und y ∈ B }

heißt Schnittmenge von A und B.

A ∩ (B

∪

C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Venn-Diagramme veranschaulichen diese Gesetze.

Fallbeispiel für A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C):


A	B `∪` C	A `∩` (B`∪` C)

A `∩` B	A `∩` C	(A `∩` B`) ∪ (`A `∩` C)

Fallbeispiel für A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C):


A	B `∩` C	A `∪` (B `∩` C)

A `∪` B	A `∪` C	(A `∪` B`) ∩` `(`A`∪` C)

Zurück zu den natürlichen Zahlen. Es ist vielleicht nicht verwunderlich, dass die Beweise der in ℕ gültigen Gesetze auf dem Prozess des Zählens beruhen. Hierbei ist es wichtig zu wissen, dass man tatsächlich nicht alles beweisen kann. Man muss schließlich irgendwo anfangen. Auch die Mathematiker brauchen ein festes Fundament, auf dem sie aufbauen können. Ein nicht beweisbarer Grundsatz heißt in der Mathematik ein Axiom. Die fünf Axiome von Peano beispielsweise stellen im Grunde nichts anderes dar als eine Möglichkeit, den Prozess des Zählens mathematisch handhabbar mit so wenigen Begriffen wie möglich und widerspruchsfrei zu beschreiben. (Wer sich für die Beweise der Rechengesetze in ℕ interessiert, kann diese im Kapitel "Vollständige Induktion" nachlesen.)

Die Gleichung (G1) bedeutet, dass diejenige Zahl x gesucht ist, die zu m hinzuzuzählen ist, um n als Rechenergebnis zu erhalten.

Wenn es für (G1) irgendeine Lösung in ℕ gibt, dann ist diese eindeutig bestimmt. Denn nehmen wir einmal an, es gibt für die Gleichung m + x = n mit beliebigen, aber fest gewählten natürlichen Zahlen m und n zwei voneinander verschiedene Lösungen x und x*.
Dann gilt m + x = n und m + x* = n, und hieraus folgt, dass m + x = m + x*.
Wegen der Kommutativität in ℕ bezüglich der Addition "+" kann man dieses auch so schreiben:
x + m = x* + m und dann folgt mit dem Gesetz (N1) sofort, dass x = x*.
Für die Gleichung 4 + x = 7 beispielsweise ergibt sich die eindeutige Lösung x = 3 und es ist 3 ∈ ℕ.

Die Gleichung 6·x = 48 beispielsweise wird eindeutig gelöst durch x = 8 und es ist 8 ∈ ℕ.
In Gleichung (G2) wurden die gleichen Bezeichner "m" und "n" für beliebig gewählte natürliche Zahlen benutzt wie in Gleichung (G1). Das bedeutet aber natürlich nicht, dass die Zahlen m und n, die in (G2) vorkommen, die gleichen sind wie die aus (Gl1).

Gleichung (G1) wird dann zu einem Problem, sobald die Zahl n kleiner ist als m.
Gleichung (G2) ist dann nicht in ℕ lösbar, wenn m die Zahl n nicht teilt (m ∤ n).

Die Aufgabe, die mit der Gleichung 7 + x = 3 beschrieben wird, ist für Menschen, die negative Zahlen bereits kennen, leicht zu verwechseln mit einer anderen Aufgabe, die so ähnlich aussieht. Die andere Aufgabe lautet: Welche (natürliche) Zahl ist von der Zahl 7 abzuziehen, damit 3 herauskommt? Die Antwort auf diese Frage kennt natürlich jeder: Es ist die Zahl 4. Mit der Gleichung 7 + x = 3 ist aber genau das gemeint, was da steht: Gesucht ist diejenige Zahl, die man zu 7 addieren muss, um die Zahl 3 zu erhalten und die Lösung dieser Aufgabe ist innerhalb der natürlichen Zahlen ℕ nicht zu haben.

Was tun? Wenn jemand gerne eine komfortable Weltreise unternehmen möchte, aber das nötige Geld dazu nicht hat, dann hilft kein Jammern und kein Nachdenken, die große Fahrt kann nicht stattfinden. Die Mathematiker haben es da besser. Wenn es zum Beispiel darum geht, bestimmte Gleichungen lösen zu wollen, die innerhalb des bestehenden Rahmens nicht lösbar sind, dann verschafft man sich eben per Definition die passenden Lösungen und gibt diesen neuen Objekten einen gescheiten Namen.

Das hört sich so genial einfach an, ist es aber leider nicht. Definieren lässt sich im Prinzip alles, was man will, nur muss danach überprüft werden, ob mindestens die folgenden Fragen sicher mit "Ja" beantwortet werden können. (Dies gilt im Übrigen nicht nur bei der Erweiterung einer Zahlenmenge wie in dem Fall, der hier gerade diskutiert wird, sondern generell dann, wenn es darum geht, etwas wirklich Neues zu definieren).

1. Ist die neue Regel oder der neue Begriff wohldefiniert?
Wenn beispielsweise etwas nach einer definierten Regel berechnet werden soll, dann muss unter Anwendung dieser Regel immer das Gleiche herauskommen.

2. Ist die Definition widerspruchsfrei?
Wenn in einer mathematischen Argumentation die neue Definition verwendet wird, dann dürfen dabei keine logischen Widersprüche herauskommen.

Erster Versuch: Wir kreieren die Menge aller Lösungen der Gleichungen vom Typ G1 und nennen diese Menge "ℤ".
ℤ = { x: m + x = n mit m, n ∈ ℕ}. In Worten: Jedes Element x der Zahlenmenge ℤ soll Lösung einer Gleichung der Form m + x = n sein, wobei m und n beliebig gewählte natürliche Zahlen sind.

Um in ℤ rechnen zu können, brauchen wir eine Addition "+": ℤ x ℤ → ℤ und eine Multiplikation "·": ℤ x ℤ → ℤ, in Worten ausgedrückt: wenn man irgendeine ganze Zahl mit irgendeiner anderen ganzen Zahl addiert bzw. multipliziert, muss das jeweilige Ergebnis immer eindeutig bestimmt und zudem eine ganze Zahl sein.

Die Idee zur Definition der Addition auf ℤ lautet gemäß der eben hingeschriebenen (vorläufigen) Definition von ℤ so:

Seien a und b ganze Zahlen, das heißt, a ist (eindeutige) Lösung einer Gleichung m + x = n und
b ist (eindeutige) Lösung einer Gleichung m* + x = n*.
Dann soll a+b die Lösung der Gleichung (m+m*) + x = (n+n*) sein.

Hierbei wird mit "+" der neue Summenoperator in ℤ und mit "+" der alte Summenoperator in ℕ bezeichnet.

Nun ist es zwar so, dass zu jeder Gleichung m + x = n genau eine Lösung gehört (die repräsentiert werden kann durch das geordnete Paar (n; m) ∈ ℕxℕ); umgekehrt lassen sich jedoch zu jedem a ∈ ℤ unendlich viele Gleichungen der Form G1 finden mit der Eigenschaft, a als Lösung zu besitzen.

Sei a ∈ ℤ Lösung der Gleichung m + x = n, dann ist (m + c) + x = (n + c) mit c ∈ ℕ irgendeine der anderen Gleichungen, die a auch als Lösung besitzen.

Jede Zahl z ∈ ℤ wird hiernach unendlich oft durch bestimmte Gleichungen repräsentiert. Das lässt sich besser machen: Sei die Relation R ⊂ ℕ²xℕ² wie folgt definiert:

Dann kann man zwei Dinge zeigen:
(i) R ist eine Äquivalenzrelation.
(ii) Wenn a ∈ ℤ Lösung der Gleichung m + x = n und b ∈ ℤ Lösung der Gleichung m* + x = n* ist, dann gilt

a + b = [n_a, m_a] + [n_b, m_b] =_def [n_a + n_b, m_a + m_b]
für alle a, b ∈


    ℤ.

Hierbei stellt [n, m] diejenige Äquivalenzklasse dar, die durch (n; m) ∈ ℕxℕ repräsentiert wird.

Beweis:
Es ist zu zeigen, dass die Addition zweier ganzer Zahlen unabhängig von der Wahl ihrer Repräsentanten immer dasselbe Ergebnis liefert.

Seien also a = [n_a, m_a] = [n_a*, m_a*] und b = [n_b, m_b] = [n_b*, m_b*] zwei beliebige ganze Zahlen.
Dann gilt für s = [n_a, m_a] + [n_b, m_b] die Gleichung (n_a + n_b) + s = (m_a + m_b) und für
s* = [n_a*, m_a*] + [n_b*, m_b*] gilt: (n_a* + n_b*) + s* = (m_a* + m_b*).

Nun gilt (m_a + m_b) + (n_a* + n_b*)
= (m_a + n_a*) + (m_b + n_b*) wegen der Rechengesetze in ℕ
= (n_a + m_a*) + (n_b + m_b*) wegen (n_a; m_a) R (n_a*; m_a*) bzw. (n_b; m_b) R (n_b*; m_b*)
= (n_a + n_b) + (m_a* + m_b*) wegen der Rechengesetze in ℕ.

Also folgt (n_a* + n_b*; m_a* + m_b*) R (n_a + n_b; m_a + m_b) und damit s = s*.

Zwei Fragen bleiben übrig: Was ist mit der Multiplikation in der neuen Menge ℤ ? Und wie lässt sich die Menge der natürlichen Zahlen "einbetten" in ℤ ? Beide Fragen hängen aufs Engste miteinander zusammen.

Die Einbettung von ℕ in ℤ gelingt dann, wenn wir zeigen können, dass eine Teilmenge von ℕxℕ/R dieselbe Struktur besitzt wie ℕ. Dann kann diese Teilmenge identifiziert werden mit ℕ und wir können schreiben ℕ ⊂ ℤ.

Zunächst hat man mit f: ℕ → ℤ, definiert durch f(n) = [n, 0] für alle n ∈ ℕ eine injektive Abbildung von ℕ nach ℤ, das heißt, zu jeder natürlichen Zahl existiert eineindeutig eine Zahl aus ℤ. Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass es zu jedem Bild f(n) ∈ ℤ unter der Abbildung f nur ein einziges Urbild n ∈ ℕ gibt.

Das heißt vereinfacht gesprochen, "+" macht mit n, m ∈ ℕ genau das Gleiche wie "+" mit den zugeordneten f(n) und f(m) ∈ ℤ. Das aber bedeutet, dass die Struktur von ℕ und die Struktur von Imf ⊂ ℤ bezüglich der jeweiligen Addition tatsächlich die gleiche ist, wenn man noch beachtet, dass bezüglich "+" und bezüglich "+" dieselben Rechengesetze gelten. Mit Imf bezeichnet man hierbei die Bildmenge von f, genauer gesagt:

Sei M eine nichtleere Menge und "▫": MxM → M eine Abbildung. Dann heißt (M,▫) eine algebraische Struktur.

Seien (V,▫) und (Y,▪) zwei algebraische Strukturen.
Dann heißt h: V → Y Homomorphismus, wenn h(v ▫ w) = h(v) ▪ h(w) für alle v, w ∈ V gilt.

Ein injektiver Homomorphismus heißt Monomorphismus (Einbettung).
Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus und (V,▫) und (Y,▪) heißen isomorph, wenn ein Isomorphismus h: V → Y existiert. Man schreibt dann V ≅ Y.

Die eben definierte Abbildung f: ℕ → ℤ ist also ein Monomorphismus und (ℕ,+) und (Imf,+) sind isomorph.
Anschaulich gesprochen: Durch die Abbildung f wird ℕ in ℤ eingebettet.

Wegen Imf ≅ ℕ schreibt man für die ganze Zahl [n, 0] auch weiterhin n, die ganze Zahl 0 = [0, 0] wird identifiziert mit der natürlichen Zahl 0, die ganzen Zahlen [0, m] heißen negativ und werden - wie gewohnt - abgekürzt mit (-m). Alle ganzen Zahlen [n, 0] mit n ∈ ℕ* heißen positiv. Die Menge aller positiven ganzen Zahlen wird mit ℤ⁺ bezeichnet.

Unter Verwendung dieser Abkürzungen lässt sich die Lösung [n, m] der Gleichung x + m = n wie folgt schreiben:

Führt man ferner für "n + (-m)" abkürzend die Schreibweise "n − m" ein, so hat man

Hieraus folgt für alle n ∈ ℕ insbesondere n − n = n + (-n) = [n, 0] + [0, n] = [0, 0] = 0.

Wir haben oben nachgewiesen, dass ℕ ⊂ ℤ gilt im Hinblick auf die Addition; ℕ ⊂ ℤ können wir allerdings erst dann als vollständig bewiesen betrachten, wenn es uns gelingt, eine Multiplikation in ℤ so zu definieren, dass auch diesbezüglich alle Rechengesetze, die in ℕ gelten, auch in ℤ Gültigkeit besitzen und dass gilt:

[n, m]·[n*, m*] =_def [n·n* + m·m*, m·n* + n·m*]
für alle [n, m], [n*, m*] ∈


    ℤ.

Diese Multiplikation ist wohldefiniert, kommutativ und assoziativ. Außerdem kann man zeigen, dass (L2) gilt.

Beweis:
Die Regeln (i)₊, (iv)₊, (i)_*, (iv)_* und (v) lassen sich unter Benutzung der Definitionen der Addition "+" bzw. der Multiplikation "·" nachrechnen, wenn man die Kommutativ- und Assoziativgesetze sowie das Distributivgesetz in ℕ beachtet.

Regel (ii)₊:
Es gilt 0 + a = [0, 0] + [n, m] = [0 + n, 0 + m] = [n, m] = a
für jedes beliebig gewählte a ∈ ℤ und passend gewählten n, m ∈ ℕ.

Regel (ii)_*:
Mit 1 = [1, 0] gilt 1·a = [1, 0]·[n, m] = [1·n + 0·m, 0·n + 1·m] = [n + 0, 0 + m] = [n, m] = a
für jedes beliebig gewählte a ∈ ℤ und passend gewählten n, m ∈ ℕ.

Es bleibt lediglich noch zu zeigen, dass Regel (iii)₊gilt. Sei dazu a irgendeine ganze Zahl.
Mit passend gewählten natürlichen Zahlen n und m gilt a = [n, m].
Wähle a* = [m, n].
Dann gilt a* + a = [m, n] + [n, m] = [m + n, n + m] = [m + n, m + n] = [0, 0] = 0.
Fertig.

Es lässt sich darüber hinaus zeigen, dass die in Regel (ii)₊ mit 0 bezeichnete ganze Zahl und die in Regel (ii)_*mit 1 bezeichnete ganze Zahl eindeutig bestimmt sind, das heißt, nur [0, 0] bzw. [1, 0] haben die in (ii)₊bzw. (ii)_*beschriebenen Eigenschaften.

Beweis:
Angenommen, es gäbe für alle a ∈ ℤ zwei voneinander verschiedene ganze Zahlen 0 und 0*
mit 0 + a = a bzw. 0* + a = a. Dann würde Folgendes gelten:
0* = 0 + 0* = 0* + 0 = 0 Widerspruch!
Sei ferner angenommen, es gäbe für alle a ∈ ℤ zwei voneinander verschiedene ganze Zahlen 1 und 1*
mit 1·a = a bzw. 1*·a = a. Dann hätte man
1* = 1·1* = 1*·1 = 1 Widerspruch!

Die Menge der ganzen Zahlen ist bezüglich der in ℤ definierten Addition "+" aufgrund der Eigenschaften (i)₊, (ii)₊ und (iii)₊ eine Gruppe. Wegen der Gültigkeit des Kommutativgesetzes (Regel (iv)₊) ist ℤ sogar eine Abel'sche Gruppe. Das zu jedem a ∈ ℤ existierende a* mit a* + a = 0 ist eindeutig bestimmt und heißt das "zu a inverse Element". Das Inverse zu a wird üblicherweise mit (-a) bezeichnet.

Aufgrund der Gültigkeit der Regeln (i)_*und (iv)_*ist ℤ bezüglich der Multiplikation "·" zudem eine Abel'sche Halbgruppe.

Bis jetzt ist es gelungen, aus ℕ die Menge ℤ so zu konstruieren, dass ℕ als Teilmenge von ℤ aufzufassen ist und dass die in ℕ nicht lösbaren Gleichungen vom Typ G1 in ℤ lösbar sind, und zwar auf eindeutige Weise.
Dagegen lassen sich Gleichungen vom Typ G2 auch in ℤ nicht lösen! Dies ist der Grund dafür, dass es eine zu (iii)₊ analoge Eigenschaft (iii)_* nicht gibt, das heißt, dass (ℤ,·) keine Gruppe ist.

Die ganzen Zahlen wurden im vorigen Abschnitt als Äquivalenzklassen einer passenden Relation auf ℕ² definiert. Ganz entsprechend lässt sich die Menge der rationalen Zahlen (das ist - grob formuliert - die Menge aller Lösungen der in ℤ formulierten Gleichungen x·b = a) konstruieren mit Hilfe einer Relation auf ℤxℤ* mit ℤ* = ℤ \ { 0 }. Diese Relation ist definiert durch:

Dass diese Definition von der Form her ganz genauso gewählt wird wie die oben in Bezug auf die Relation R auf ℕ², ist nicht überraschend, denn die Gleichungen vom Typ G2 haben dieselbe Form wie die Gleichungen vom Typ G1. Die Relation R ⊂ (ℤxℤ*)² ist eine Äquivalenzrelation. Die beispielsweise durch (a;b) repräsentierte Äquivalenzklasse soll analog zu oben mit [a, b] bezeichnet werden.

Mit den folgenden Definitionen hat man in ℚ eine wohldefinierte Addition und eine wohldefinierte Multiplikation, beide Operationen sind kommutativ und assoziativ.

[a, b] · [a*, b*] =_def [a·a*, b·b*] und
[a, b] + [a*, b*] =_def [a·b* + b·a*, b·b*]
für alle [a, b], [a*, b*] ∈


    ℚ.

Ganz so wie oben lässt sich ℤ in ℚ einbetten, und zwar mit Hilfe der injektiven Abbildung f: ℤ → ℚ, die durch

Wegen Imf ≅ ℤ schreibt man für die rationale Zahl [a, 1] auch weiterhin "a", die rationale Zahl 0 = [0, 1] wird identifiziert mit 0 ∈ ℤ, bzw. mit 0 ∈ ℕ, entsprechend wird gesetzt 1 = [1, 1] = 1 = 1.

[a, b] wird gewöhnlich in der bekannten Form a/b geschrieben. Oft schreibt man eine rationale Zahl als Dezimalbruch. Ein Beispiel:

Wenn r < 0 oder r = 0 gilt, dann schreibt man abkürzend: r ≤ 0.
Statt r < s schreibt man auch s > r.

Es sei r ∈ ℚ mit r =[m, n] und m, n ∈ ℕ*. Dann lässt sich r in eindeutiger Weise in der Form r = m/n schreiben, wobei entweder n = 1 gilt oder n und m keinen gemeinsamen Teiler haben.

Beweis:
Sei r irgendeine beliebige, aber fest gewählte positive rationale Zahl.
Sei ferner M = { m ∈ ℕ*: ∃n∈ℕ* mit r = m/n }.
Dann ist M eine nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen und hat somit ein kleinstes Element.
Dieses kleinste Element von M sei mit m₀ bezeichnet.
Es existiert dann nach Definition von M eine natürliche Zahl n₀ mit r = m₀/n₀.
Angenommen, m₀und n₀sind nicht teilerfremd.
Dann existiert eine natürliche Zahl t ∈ ℕ* mit t ǂ 1, so dass
m₀= t·k für ein k ∈ ℕ* und n₀= t·k* für ein k* ∈ ℕ* gilt.
Also folgt r = m₀/n₀= t·k/t·k* = k/k* und damit ist k ∈ M, und zwar mit k ≤ m₀, denn k | m₀.
Das ist ein Widerspruch zur Annahme, denn m₀war als kleinstes Element von M vorausgesetzt.

Bis jetzt wurde gezeigt, dass m und n, wie oben behauptet, existieren.
Es bleibt noch zu zeigen, dass m und n durch r eindeutig bestimmt sind.

Seien m, n ∈ ℕ* mit r = m/n und m* und n* ∈ ℕ* mit derselben Eigenschaft und
seien sowohl m und n als auch m* und n* teilerfremde Zahlen.
Wegen [m, n] = [m*, n*] hat man m·n* = n·m*
⇒ m|n·m* ⇒ m|m*, letzteres weil m und n teilerfremd sind.
Entsprechend folgt n|n*.
Weil m* und n* keine gemeinsamen Teiler haben, folgt aber umgekehrt ebenso m*|m und n*|n.
Damit hat man aber m = m* und n = n*. Die Behauptung ist bewiesen.

Bemerkungen:
(ℚ,+) und (ℚ\{0},·) sind Abel'sche Gruppen.
0 ist das neutrale Element von (ℚ,+) und heißt Nullelement von ℚ.
1 ist das neutrale Element von (ℚ\{0},·) und heißt Einselement von ℚ.
Sowohl das Nullelement als auch das Einselement sind eindeutig bestimmt.
Das zu jedem r ∈ ℚ existierende r* mit r* + r = 0 ist eindeutig bestimmt und wird mit (−r) bezeichnet (inverses Element bezüglich der Addition oder "das Negative von r").
Ist r = m/n mit m ∈ ℤ und n ∈ ℤ*, dann gilt (−r) = (−m)/n.
Für einen Ausdruck von der Form s + (−t) verwendet man abkürzend die Schreibweise s − t.
Das zu jedem r ∈ ℚ\{0} existierende r* mit r* · r = 1 ist eindeutig bestimmt und wird mit r^-1 bezeichnet (inverses Element bezüglich der Multiplikation).

Bemerkung:
Gewöhnlich wird zwischen den Additionszeichen "+" in ℕ, "+" in ℤ und "+" in ℚ, bzw. den Multiplikationszeichen "·" in ℕ, "·" in ℤ und "·" in ℚ nicht unterschieden. Stattdessen werden in der Regel nur die Zeichen "+" und "·" verwendet. Entsprechendes gilt für die jeweiligen Null- bzw. Einselemente. Manchmal - vor allem in den Beweisen - ist es allerdings ganz nützlich, inhaltlich Unterschiedliches auch in der Schreibweise voneinander klar zu unterscheiden.

Die Möglichkeit, im nächsten Erweiterungsschritt die Menge der reellen Zahlen ℝ zu konstruieren, beruht ganz wesentlich auf der Tatsache, dass man die rationalen Zahlen anordnen kann.

Für die Ordnungsrelation < gilt für alle r, s ∈ ℚ genau eine der folgenden Beziehungen:

Dieser Sachverhalt wird als Trichotomieeigenschaft der rationalen Zahlen bezeichnet.

r < s und s < t ⇒ r < t
r < s ⇔ r + t < s + t
r > 0 und s > 0 ⇒ r · s > 0

Beweis:
(1) Die Trichotomie in ℚ ergibt sich direkt aus der Definition der Relation <.

(2) Seien r, s, t ∈ ℚ mit r < s und s < t. Dann gilt nach Definition 0 < s − r und 0 < t − s.
Also gilt 0 < (s − r) + (t − s). Hieraus ergibt sich
(s − r) + (t − s) = s + (−r) + t + (−s) = s + (−s) + t + (−r) = 0 + (t − r) = (t − r) > 0,
was zu zeigen war.

(3) r + t < s + t ist nach Definition äquivalent mit (s + t) − (r + t) > 0.
Aufgrund der Tatsache, dass ℚ ein Körper ist, lässt sich folgende Rechnung aufmachen:
(s + t) − (r + t)
= (s + t) + (−1)·(r + t) nach Definition
= (s + t) + (−1)·r + (−1)·t wegen (v)
= ((−1)·t + t) + (s + (−1)·r) wegen (i)₊ und (iv)₊= ((−t) + t) + (s + (−r)) nach Definition
= 0 + (s + (−r)) wegen (iii)₊= s + (−r) wegen (ii)₊= s − r nach Definition.
Die Ungleichung (s + t) − (r + t) > 0 ist demnach gleichbedeutend mit s − r > 0.
Hieraus folgt die Behauptung.

(4) Diese Aussage folgt sofort aus der Definition der Multiplikation in ℚ.

Aufgrund der Trichotomieeigenschaft der rationalen Zahlen ist die folgende Definition möglich:

|r| ≥ 0
Entweder gilt r = |r| oder es gilt r = −|r|.
|r| ≤ ε ⇔ −ε ≤ r ≤ ε

Beweis:
Die ersten beiden Aussagen sind klar.

Beweis der dritten Aussage:
"⇒": Sei |r| ≤ ε. Fall 1: r = |r|. Dann folgt r ≤ ε. Wegen ε > 0 gilt −ε < 0 ≤ |r| und damit −ε ≤ r.
Fall 2: r = −|r|. Dann folgt −r ≤ ε und somit −ε ≤ r. Wegen r = −|r| ist r ≤ 0. Also gilt r ≤ ε.
Insgesamt folgt also in jedem Fall −ε ≤ r ≤ ε.
"⇐": Sei −ε ≤ r ≤ ε. Dann folgt |r| ≤ ε sowohl für r = |r| als auch für r = −|r| unmittelbar.

Es folgen für r, s, r*, s* ∈ ℚ einige Regeln für den Umgang mit Ungleichungen bzw. mit Beträgen:

Beweise:

zu (1):
Sei r ≤ s und r* ≤ s*. Aus r ≤ s folgt r + r* ≤ s + r*.
Wegen r* ≤ s* hat man s + r* ≤ s + s*. Hieraus folgt die Behauptung.

zu (2):
Das zu jeder rationalen Zahl gehörende inverse Element ist eindeutig bestimmt.
Also gilt auch −r = −s, falls r = s.
Sei nun r < s. Dann wird (s − r) durch einen Bruch m/n repräsentiert mit m, n ∈ ℕ*.
Mit anderen Worten: (s − r) ist positiv.
Mit s − r = s + (−r) = −r + s = −r + (−(−s)) = −r − (−s) folgt
−s < −r und dies ist dasselbe wie −r > −s, woraus −r ≥ −s folgt.

Dem Beweis von (3) liegt das Prinzip der vollständigen Induktion zugrunde:
Sei r ≤ s. Dann gilt offensichtlich auch r·1 ≤ s·1 (Induktionsanfang).
Angenommen, es wäre r·t ≤ s·t für irgendeine positive rationale Zahl t bereits bewiesen.
In ℚ gilt das Distributivgesetz. Dann hat man mit Regel (1) wegen r ≤ s auch
r·(t + 1) ≤ s·(t + 1) (Induktionsschluss).
Also gilt r ≤ s ⇒ r · r* ≤ s · r* für jede positive rationale Zahl r*.
Ebenso gilt mit r* ≤ s* die Ungleichung s · r* ≤ s · s* für jede positive rationale Zahl s.
Hieraus folgt die Behauptung.

zu (7):
zu zeigen: |r + s| ≤ |r| + |s| (Dreiecksungleichung):
Für r = 0 oder s = 0 ist die Dreiecksungleichung offensichtlich wahr.
Unter der Voraussetzung, dass sowohl r als auch s von 0 verschieden sind, gilt |r|+|s| > 0.
Unter Verwendung der Regel (4) folgt
−(|r| + |s|) ≤ r + s ≤ |r| + |s| und damit |r + s| ≤ |r| + |s|.

immer lösbar. Das bedeutet, dass sich stets eine (eindeutig bestimmte) rationale Zahl für die Unbekannte x finden lässt um (G1) bzw. (G2) zu einer wahren Aussage zu machen, egal wie die rationalen Zahlen r und s gewählt werden. Die einzige Einschränkung besteht darin, dass in der Gleichung (G2) der Faktor r nicht 0 sein darf.

Mit den Schreibweisen x = s − r bzw. x = s : r wird verabredet, was unter der Subtraktion bzw. unter der Division innerhalb von ℚ verstanden werden soll.

Beispielsweise ist die Quadratwurzel aus 2 (das ist die Lösung der Gleichung x² = 2) keine rationale Zahl (Beweis siehe oben), obwohl man an der Existenz dieser Zahl vielleicht nicht zweifeln mag, wenn man sich beispielsweise mit dem Heron-Algorithmus beschäftigt hat. Dieser Algorithmus liefert mit einem willkürlich gewählten Startwert eine Zahlenfolge rationaler Zahlen, mit Hilfe derer man etwa die Quadratwurzel von 2 mit beliebig vorgegebener Genauigkeit bestimmen kann.

Man kann sich der Quadratwurzel aus 2 noch auf eine ganz andere Art nähern (nicht ganz so schnell, aber vielleicht auf gewissermaßen "natürlichere" Art):

Für die Näherungsbrüche x₀= 1, x₁= 1,4, x₂= 1,41, ... gilt x_m ≤ x_n ≤ x_m+ 1/10^m für n > m, also insbesondere

wobei die natürliche Zahl k beliebig gewählt werden kann. Diese Ungleichung wird (in allgemeinerer Form) wesentlich sein, wenn es darum geht, rationale Fundamentalfolgen (Cauchyfolgen) zu definieren, mit denen es gelingen wird, die Menge der reellen Zahlen zu konstruieren.

Die Erweiterung der Zahlenmenge ℚ wird ganz anders vonstatten gehen müssen wie die Erweiterung von ℕ nach ℤ oder die Erweiterung von ℤ nach ℚ, denn die Struktur der Gleichung (G3) ist verschieden von der der Gleichungen (G1) und (G2). Zudem liegt natürlich die Frage nahe, ob sich alle irrationale Zahlen als Lösungen einer Gleichung vom Typ G3 darstellen lassen, oder ob es noch weitere irrationale Zahlen "anderer Art" gibt. Und - wenn ja - wie kann man sich sicher sein, dass man wirklich alle irrationalen Zahlen irgendwann einmal gefunden hat?

Die Konstruktion der Menge der reellen Zahlen (das ist die Gesamtheit aller rationalen und irrationalen Zahlen) ist auf verschiedene Art möglich (mit Hilfe von Intervallschachtelungen, mit Hilfe von Dezimalbruchentwicklungen, mit Hilfe der Dedekind'schen Schnitte, mit Hilfe von Capellipaaren oder mit Hilfe von Cauchyfolgen). Der letztgenannte Weg soll nachstehend beschrieben werden.

Unter Verwendung des in ℚ erklärten Absolutbetrages lässt sich zunächst der fundamentale Begriff der Cauchyfolge definieren:

Eine Folge besteht nach vorstehender Definition immer aus unendlich vielen Folgengliedern. Manchmal unterscheidet man dagegen streng zwischen den Begriffen "unendliche Folge" und "endliche Folge". Da in diesem Kapitel aber nirgendwo endliche Folgen vorkommen, ist es zweckmäßig, einfach von "Folge" zu sprechen.

Anschaulich bedeutet das, dass die Folgenglieder einer Cauchyfolge mit größer werdendem Folgenindex immer "näher zusammenrücken".

Die Cauchyfolgen sind benannt nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857).

Die Dezimalbruchentwicklung der Quadratwurzel aus 2 (siehe oben) ist so eine Cauchyfolge. Die Idee liegt nahe, die irrationale Quadratwurzel aus 2 mit eben solchen rationalen Cauchyfolgen zu repräsentieren, und nicht nur speziell die Quadratwurzel aus 2, sondern jede irrationale Zahl. Damit das funktioniert, müssen einige Fragen beantwortet werden:

1. Wann definieren zwei verschiedene Cauchyfolgen ein und dieselbe irrationale Zahl?
(Diese Frage wird dann gelöst sein, wenn es gelingt, auf der Menge aller Cauchyfolgen F_C eine Äquivalenzrelation zu definieren.)
2. Ist es möglich, in F_C eine Addition, eine Multiplikation und eine Division zu definieren?
(Insbesondere muss gezeigt werden, dass die zu definierenden Rechenoperationen wohldefiniert sind.)
3. Lässt sich die Menge der rationalen Zahlen ℚ in die neu zu konstruierende Menge der reellen Zahlen ℝ einbetten, das heißt, kann man eine Teilmenge von ℝ mit ℚ identifizieren?

Die Antworten auf diese Fragen lassen sich nicht ganz einfach haben.
Es beginnt mit der Untersuchung rationaler Zahlenfolgen.

Beispiele:
Die Folge (a_n), definiert durch a₀ = 1; a_n = 1/n für alle n ∈ ℕ*, ist eine Nullfolge.
Die Folge (b_n), definiert durch b_n = 3·n/(2·n+10) für alle n ∈ ℕ, ist konvergent und strebt gegen 3/2.
Die Folge (c_n), definiert durch c_n = n² für alle n ∈ ℕ, ist divergent.

Beweis:
Sei a ∈ ℚ der Grenzwert der Folge (a_n) und sei irgendein positives ε ∈ ℚ beliebig vorgegeben.
Dann existiert eine natürliche Zahl N ∈ ℕ, so dass
|a_n− a| < ε/2 für alle n ≥ N und |a_m− a| < ε/2 für alle m ≥ N.
Es folgt |a_n− a_m| = |a_n− a + a − a_m| ≤ |a_n− a| + |a − a_m|< ε/2 + ε/2 = ε für alle m, n ≥ N.
Also ist (a_n) eine Cauchyfolge.

Die Umkehrung dieses Satzes ist nicht richtig!

Jede Cauchyfolge ist beschränkt, das heißt: es gibt für jede Cauchyfolge (a_n) ein r_max ∈ ℚ, so dass

Beweis:
Gegeben sei eine beliebige Cauchyfolge (a_n).
Dann gibt es eine natürliche Zahl N ∈ ℕ mit |a_n− a_m| < 1 für alle m, n ≥ N.
Unter Benutzung der Dreiecksungleichung hat man
|a_n| = |a_n − a_m+ a_m| ≤ |a_n − a_m| + |a_m| < 1 + |a_m| für alle m, n ≥ N.
Insbesondere gilt deswegen |a_n| ≤ |a_n − a_N| + |a_N| < 1 + |a_N| für alle n ≥ N.
Man setze N_max=_def{|a₀|, |a₁|, ... ,|a_N-1|, 1 + |a_N|}.
Dann folgt |a_n|≤ N_max für alle n ∈ ℕ und damit die Behauptung.

Auf F_C (Menge aller Cauchyfolgen) lassen sich eine Addition und eine Multiplikation wie folgt definieren:
Für f, g ∈ F_C soll für alle n ∈ ℕ (f+g)(n) =_def f(n) + g(n) und (f ·g)(n) =_def f(n)·g(n) gelten. Diese Definitionen bedeuten, dass zwei Cauchyfolgen f und g addiert (bzw. multipliziert) werden, indem jeweils die einzelnen Folgenglieder von f und g addiert (bzw. multipliziert) werden.

Diese Definition macht nur dann Sinn, wenn wir zeigen können, dass die Summe, bzw. das Produkt zweier Cauchyfolgen immer wieder eine Cauchyfolge ergeben.

Die Verknüpfungen "+" und "·" in F_Csind wegen der Rechengesetze in ℚ selbstverständlich assoziativ, kommutativ und es gilt das Distributivgesetz.
Die Folge (−f ) ist definiert durch (−f )(n) =_def − f (n).
Für den Ausdruck f + (−g) schreibt man kürzer f − g.

Wenn (a_n) eine Cauchyfolge ist, dann tritt genau einer der folgenden drei Fälle ein:

Beweis:
Offensichtlich schließen sich die drei angegebenen Fälle gegenseitig aus.

Angenommen, (a_n) sei keine Nullfolge.
Dann gibt es ein ε > 0 und eine Teilfolge natürlicher Zahlen (m[i]) mit
m[0] < m[1] < m[2] < ... mit |a_m[i]| > ε.

(a_n) ist eine Cauchyfolge.
Also gibt es eine natürliche Zahl k mit |a_n − a_m[k]| < ε/2 für alle n > m[k].
Diese Ungleichung ist gleichbedeutend mit − ε/2 < a_n − a_m[k] < ε/2.
Daraus folgt für alle n > m[k]: a_m[k]− ε/2 < a_n < a_m[k] + ε/2.
Fall 1: a_m[k] > ε ⇒ a_n > ε/2 (wegen a_m[k]− ε/2 < a_n) ⇒ (a_n) ist eine Positivfolge.
Fall 2: a_m[k] < −ε ⇒ a_n < − ε/2 (wegen a_n < a_m[k]+ ε/2) ⇒ (a_n) ist eine Negativfolge.
Hiermit ist die Behauptung bewiesen.

R~ ist eine Äquivalenzrelation auf F_C und mit (a_n) R~ (b_n) und (a*_n) R~ (b*_n) gilt auch
(a_n + b_n) R~ (a*_n + b*_n) und (a_n·b_n) R~ (a*_n·b*_n). Der Beweis hierzu lässt sich leicht führen.

Mit der bereits gewohnten Abkürzung [a_n] soll die Menge aller derjenigen Cauchyfolgen (a*_n) bezeichnet werden, die zu einer gegebenen Cauchyfolge (a_n) äquivalent sind.

Seien (a_n) und (b_n) zwei Cauchyfolgen, die keine Nullfolgen sind. Ferner sei a_n ǂ 0 und b_n ǂ 0 für alle n ∈ ℕ.
Wenn (a_n) R~ (b_n), dann sind (a_n^-1) und (b_n^-1) Cauchyfolgen und es gilt (a_n^-1) R~ (b_n^-1).

Die rationalen Zahlen lassen sich repräsentieren durch alle konstanten Cauchyfolgen. In diesem Sinne gilt:

Da sich die möglichen Typen von Cauchyfolgen ("Nullfolge", "Positivfolge", "Negativfolge") gegenseitig ausschließen, ist die folgende Definition möglich.

Durch diese Definitionen behalten die Rechengesetze, die in F_C gelten, auch in ℝ ihre Gültigkeit.
(ℝ,+,·) ist genauso wie (ℚ,+,·) ein kommutativer Körper, das heißt, es gilt:

0 ist das neutrale Element von (ℝ,+) und heißt Nullelement von ℝ.
1 ist das neutrale Element von (ℝ\{0},·) und heißt Einselement von ℝ.
Sowohl das Nullelement als auch das Einselement sind eindeutig bestimmt.
Das zu jedem x ∈ ℝ existierende x* mit x* + x = 0 ist eindeutig bestimmt und wird mit (−x) bezeichnet (inverses Element bezüglich der Addition oder "das Negative von x").
Für einen Ausdruck von der Form x + (−y) verwendet man abkürzend die Schreibweise x − y.
Das zu jedem x ∈ ℝ\{0} existierende x* mit x*·x = 1 ist eindeutig bestimmt und wird mit x^-1 bezeichnet (inverses Element bezüglich der Multiplikation).
Für das Produkt x·y wird meist abkürzend nur xy geschrieben.

Beweis von (1):
Sei (−x) das inverse Element einer beliebig gewählten reellen Zahl x bezüglich „+“.
Dann gilt:
  (−x)
= 0 + (−x) wegen (II)₊
= 0·x + (−x) wegen (VI)
= ((−1) +1)·x + (−x) wegen (III)₊
= (−1)·x + 1·x + (−x) wegen (V)
= (−1)·x + x + (−x) wegen (II)_*
= (−1)·x + (x + (−x)) wegen (I)₊
= (−1)·x + ((−x) + x) wegen (IV)₊
= (−1)·x + 0 wegen (III)₊
= 0 + (−1)·x wegen (IV)₊
= (−1)·x wegen (II)₊

Hieraus folgt sofort Regel (2), denn es gilt für alle x, y ∈ ℝ:
(−x)·y = ((−1)·x)·y = (−1)·(x·y) = (−(x·y)).

(−0) = (−1)·0 = 0·(−1) = 0, also gilt Regel (3).

(−1)·(−1) = (−(−1)) = 1 ⇒ Regel (4).

(−(−x)) = (−1)·(−x) = (−1)·((−1)·x) = ((−1)·(−1))·x = 1·x = x für alle x ∈ ℝ.
Hiermit hat man Regel (5).

Das Produkt zweier positiver reeller Zahlen ergibt eine positive reelle Zahl.
Das Produkt zweier negativer reeller Zahlen liefert ebenfalls eine positive reelle Zahl.
Ist im Produkt zweier reeller Zahlen die eine Zahl positiv und die andere negativ, so ist der Produktwert negativ.

Beweis:
Seien x und y zwei reelle Zahlen.

Sei zunächst x > 0 und y > 0.
Also werden x = [a_n] und y = [b_n] repräsentiert durch
Positivfolgen (a_n) ∈ F_Cbzw. (b_n) ∈ F_C.
Also gibt es eine positive rationale Zahl r_a und eine natürliche Zahl N_a mit a_n> r_a für n > N_a.
Ebenso gibt es eine positive rationale Zahl r_b und eine natürliche Zahl N_b mit b_n> r_b für n > N_b.
Hieraus folgt a_n·b_n > r_a·r_b für n > max (N_a, N_b) und damit die Behauptung.

Sind x und y beide negativ, so ist dies gleichbedeutend damit, dass (−x) und (−y) positiv sind.
Also gilt in diesem Fall (−x)·(−y) > 0.
Mit (−x)·(−y) = (−(x·(−y))) = (−((−y)·x)) = (−(−(y·x))) = y·x = x·y folgt die zweite Aussage.

Ist x > 0 und y < 0, so gilt (−y) > 0 und dann ist x·(−y) positiv.
Wegen x·(−y) = (−y)·x = (−(y·x)) ist auch (−(y·x)) positiv.
Also ist y·x negativ.

Seien x und y reelle Zahlen mit y ǂ 0. Dann heißt xy^-1 Quotient von x und y und wird mit x/y bezeichnet.
xⁿ heißt n-te Potenz von x und wird wie folgt induktiv definiert:

Mit den folgenden Definitionen ist es möglich, die reellen Zahlen anzuordnen:

Für die Ordnungsrelation < gilt somit für alle x, y ∈ ℝ genau eine der folgenden Beziehungen:

Dieser Sachverhalt wird als Trichotomieeigenschaft der reellen Zahlen bezeichnet.

Beweis der ersten Aussage:
Sei x < y und y < z. Dann gilt nach Definition x − y < 0 und y − z < 0.
Also werden x − y = [a_n] und y − z = [b_n] repräsentiert durch
Negativfolgen (a_n) ∈ F_Cbzw. (b_n) ∈ F_C.
Es gibt demnach eine negative rationale Zahl r_a und eine natürliche Zahl N_a mit x_n< r_a für n > N_a.
Ebenso existiert eine negative rationale Zahl r_b und eine natürliche Zahl N_b mit y_n< r_b für n > N_b.
Folglich gibt es eine negative rationale Zahl r, so dass für alle n > max (N_a, N_b) gilt: a_n + b_n < r.
Also ist (a_n+ b_n) auch eine Negativfolge und es gilt [a_n+ b_n] = (x − y) + (y − z) = x − z < 0.

Beweis der zweiten Aussage:
Diese Ungleichung wurde bereits für ℚ bewiesen.
Der Beweis in ℝ ist von der Form her identisch.

Für die Ordnungsrelation < auf ℝ gelten die gleichen Regeln, die oben bereits für ℚ notiert worden sind.
Insbesondere besitzen die reellen Zahlen wie auch die rationalen Zahlen die Eigenschaft der Trichotomie.
Deswegen lässt sich die für ℚ gültige Definition des Absolutbetrages für ℝ ohne Weiteres übernehmen.
Für alle x ∈ ℝ gilt demgemäß:

Die Betragsfunktion abs: x ↦ |x| gestattet es, auf ℝ eine Metrik zu definieren:

d(x,y) =_def |y − x|
für alle x, y ∈ ℚ bzw. für alle x, y ∈ ℝ

Beweis:
Es gilt 0 < 1. Denn da 0 ǂ 1 ist, muss entweder 0 < 1 oder 1 < 0 sein.
Aus 1 < 0 würde allerdings 1·1 > 0 und damit 1 > 0 folgen. Widerspruch!

Für negative x gilt x < 0 < 1.
Gemäß der Cantorkonstruktion von ℝ gilt für das Nullelement und das Einselement von ℝ
0 = (0)_n_∈ℕ = 0 = 0 = 0 bzw. 1 = (1)_n_∈ℕ = 1 = 1 = 1 = succ(0).
Hieraus folgt die Behauptung sowohl für nichtpositive rationale als auch für nichtpositive reelle Zahlen.

Sei x nun eine positive reelle Zahl.
Wegen ℕ ⊂ ℝ gibt es die Menge N_x = {n ∈ ℝ: n ∈ ℕ und n ≤ x}.
N_x ist nicht leer, denn sie enthält mindestens 0 als Element.
Sei m die größte Zahl in N_x, das heißt: m ≥ n für alle n ∈ N_x.
Wegen der Trichotomieeigenschaft der reellen Zahlen gilt insbesondere für m+1
entweder m+1 > x oder m+1 ≤ x.
m ist allerdings nach Annahme bereits das größte Element in N_x.
Also folgt m+1 > x.
Damit gilt auf jeden Fall succ(m) > x.
Ersetzt man in der vorstehenden Argumentation ℝ durch ℚ, so ergibt sich dasselbe Resultat.

x < y und 0 < z ⇒ xz < yz
x < y und z < 0 ⇒ xz > yz
0 < x < y ⇒ 0 < 1/y < 1/x

Beweis der ersten Regel:
x < y
⇒ x + (−x) < y + (−x)
⇒ 0 < y − x
Wegen 0 < z folgt 0 < (y − x)·z.
⇒ 0 < yz − xz
⇒ xz < yz.

Beweis der zweiten Regel:
Aus z < 0 folgt 0 < (−z).
Mit der eben bewiesenen Regel folgt wegen x < y
x(−z) < y(−z)
⇒ −xz < −yz
⇒ 0 < xz −yz
⇒ yz < xz.

Beweis der dritten Regel:
Wegen x > 0 und x·(x^-1) = 1 > 0 ist (x^-1) positiv.
Mit x < y folgt dann mit der ersten Regel x·(x^-1) < y·(x^-1).
⇒ 1 < y·(x^-1)
⇒ 1·(y^-1) < y·(x^-1)·(y^-1) (nochmalige Anwendung der ersten Regel!)
⇒ 1/y < 1/x.

Zu jeder positiven Zahl ε gibt es eine natürliche Zahl N, so dass Folgendes gilt:

Beweis:
Sei ε > 0 beliebig gewählt.
Da ℝ archimedisch angeordnet ist, gibt es eine natürliche Zahl N mit 1/ε < N.
Ist n ∈ ℕ mit n > N, so folgt sofort 1/ε < n.
Hieraus folgt unter Benutzung der eben bewiesenen Rechenregeln, dass 1/n < ε.

Die Motivation zur Konstruktion der reellen Zahlen zu Beginn dieses Abschnitts war die Feststellung, dass es im Allgemeinen nicht möglich ist, Gleichungen vom Typ G3, nämlich xⁿ = r mit r ∈ ℚ⁺ und n ∈ ℕ innerhalb der Menge der rationalen Zahlen zu lösen.

Es sei nun r ∈ ℚ⁺ und p eine von 0 verschiedene natürliche Zahl.
Dann gibt es genau eine positive Zahl x ∈ ℝ mit x^p = r.

Beweis:
Einerseits muss gezeigt werden, dass eine solche reelle Zahl x existiert,
andererseits ist zu zeigen, dass diese eindeutig bestimmt ist.

(i) Eindeutigkeit. Angenommen, es gibt zwei positive reelle Zahlen x und y mit x ǂ y und x^p = y^p = r.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei x < y.
Dann folgt mit vollständiger Induktion, dass x^p < y^p, denn aus x^p−1 < y^p−1folgt
mit dem Induktionsanfang x < y, dass x^p−1·x < y^p−1· y (alle beteiligten Terme sind positiv!).
Also ergibt sich x^p < y^p, und dies ist ein Widerspruch zur Annahme!

(ii) Existenz. Im Falle, dass die Gleichung x^p = r mit einer rationalen Zahl gelöst werden kann,
ist nichts mehr zu zeigen. Also wird für die folgende Argumentation angenommen, dass x irrational ist.
In diesem Fall lässt sich eine rationale Zahlenfolge (x_n) definieren,
so dass folgende Eigenschaften für alle n ∈ ℕ gültig sind:

rationale Zahlenfolge
x_n^p < r < (x_n + 10⁻ⁿ)^p

Hierbei ist d₀ eine nichtnegative ganze Zahl und d_k sind natürliche Zahlen mit 0 ≤ d_k ≤ 9
für alle k = 1, 2, ..., n.

Beispiel: r = 7; p = 2:

n	x_n	x_n^p	x_n+ 10⁻ⁿ	(x_n+ 10⁻ⁿ)^p
0	2	4	3	9
1	2,6	6,76	2,7	7,29
2	2,64	6,9696	2,65	7,0225
3	2,645	6,996025	2,646	7,001316
..	...	...	...	...

Es gilt |x_n− x_m| ≤ 1/10^kfür alle m, n ≥ k, wobei die positive natürliche Zahl k beliebig vorgegeben werden kann. Also ist die Folge (x_n) eine Cauchyfolge und es gilt x = [x_n] ∈ ℝ.
Nach Definition der Folge (x_n) gilt x_n ≤ x_n+1 für alle n ∈ ℕ und x_n ≤ x_m ≤ x_n+ 10⁻ⁿ für alle m > n.
Also ist x_n ≤ x ≤ x_n+ 10⁻ⁿ für alle m > n und damit auch x_n^p ≤ x^p ≤ (x_n+ 10⁻ⁿ)^pfür alle m > n.
Aus x_n^p < r < (x_n + 10⁻ⁿ)^p und x_n^p ≤ x^p ≤ (x_n+ 10⁻ⁿ)^p   folgt
|x^p − r| ≤ (x_n+ 10⁻ⁿ)^p− x_n^p für alle n ∈ ℕ.
Setzt man z_n= x_n+ 10⁻ⁿ, so gilt x_n ≤ z_n ≤ d₀+ 1 für alle n ∈ ℕ und somit hat man
|x^p − r| ≤ z_n^p − x_n^p
             = (z_n − x_n)·(z_n^p-1·x_n⁰ + z_n^p-2·x_n¹+ z_n^p-3 ·x_n² + ... + z_n¹·x_n^p-2 + z_n⁰·x_n^p-1)
         ≤ 10⁻ⁿ·(p·z_n^p) ≤ 10⁻ⁿ·p·(d₀+ 1)^p.
Also lässt sich für jede positive Zahl ε ∈ ℚ ein N ∈ ℕ finden, so dass Folgendes gilt:
|x^p − r| ≤ 10^−N·p·(d₀+ 1)^p≤ ε, womit die Behauptung bewiesen ist.

Merkwürdig: In ℚ und in ℝ gelten die gleichen Rechenregeln (sowohl (ℚ,+,·) als auch (ℝ,+,·) sind Körper). Beide Körper sind angeordnet durch Ordnungsrelationen < mit gleichen Eigenschaften. Sowohl die Menge der rationalen Zahlen als auch die Menge der reellen Zahlen sind metrische Räume mit der gleichen Metrik. Beide Zahlenmengen umfassen unendlich viele Elemente. Wieso sind Gleichungen vom Typ G3, also xⁿ = r mit n ∈ ℕ* und r ∈ ℚ⁺, in ℚ im Allgemeinen nicht lösbar, aber in ℝ immer? Irgendetwas muss in ℝ grundsätzlich anders sein als in ℚ. Aber was? Die Antwort lautet: ℝ ist im Gegensatz zu ℚ vollständig und die Elemente von ℝ lassen sich nicht zählen.

Nach dieser Definition ist natürlich jede endliche Menge und jede Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen abzählbar. Überraschend ist der folgende Satz:

Beweis:
Es ist ausreichend zu zeigen, dass ℚ⁺ abzählbar ist. Dies zeigt man mit Hilfe einer speziellen Anordnung aller positiven rationalen Zahlen:

Diagonalverfahren von Cantor

Dieses Diagonalverfahren wurde von Georg Cantor (1845 - 1918) erfunden.
ℚ⁺ = {1, 2, 1/2, 1/3, 3, 4, 3/2, 2/3, 1/4, 1/5, 5, 6, 5/2, 4/3, 3/4, 2/5, 1/6, .... }

Beweis:
Es genügt zu zeigen, dass das Intervall [0, 1] ⊂ ℝ nicht abzählbar ist.
Angenommen, es gibt eine unendliche Folge reeller Zahlen (x_n) mit x_n ∈[0, 1], so dass jedes x ∈[0, 1] auch Folgenglied der Folge (x_n) ist.
Jedes Folgenglied x_n lässt sich repräsentieren durch eine Dezimalbruchentwicklung:

x_n= d_n1·10^-1, d_n1·10^-1+ d_n2·10^-2,d_n1·10^-1+ d_n2·10^-2+ d_n3·10^-3, ...

In kompakter Schreibweise:

Dezimalbruchentwicklung

Hierbei sind d_nk natürliche Zahlen mit 0 ≤ d_nk ≤ 9 für alle k = 1, 2, ..., m.
Eine solche Dezimalbruchentwicklung schreibt man üblicherweise in der abkürzenden Form

0, d_n1d_n2d_n3d_n4....

Somit kann man die Folge (x_n) in der folgenden Form aufschreiben:

x₁ = 0, d₁₁d₁₂d₁₃d₁₄....
x₂ = 0, d₂₁d₂₂d₂₃d₂₄....
x₃ = 0, d₃₁d₃₂d₃₃d₃₄....
....

Sei nun die reelle Zahl ξ ∈ [0, 1] durch die Dezimalbruchentwicklung

ξ = 0, d_ξ1d_ξ2d_ξ3d_ξ4....

definiert durch d_ξi ǂ 0, d_ξi ǂ 9 und d_ξi ǂ d_iifür alle i = 1, 2, 3, ...
Hiermit gilt ξ ǂ x_n für alle n = 1, 2, 3, ... und wir haben einen Widerspruch zur Annahme.

In ℚ gibt es Cauchyfolgen, die nicht konvergent sind, das heißt, die keinen rationalen Grenzwert besitzen.
Man kann nun zeigen, dass in ℝ alle Cauchyfolgen konvergieren und dies macht ℝ zu einem vollständigen metrischen Raum.

Zunächst lassen sich die Definitionen der Begriffe "Cauchyfolge" und "Nullfolge" für rationale Zahlenfolgen mit bestimmten Eigenschaften problemlos auf reelle Zahlenfolgen übertragen:

Beweis:
Angenommen, eine konvergente reelle Zahlenfolge (x_n) hat
zwei voneinander verschiedene Grenzwerte x und y.
Dann gilt |x − y| = |(x − x_n) + (x_n − y)| ≤ |x − x_n| + |x_n − y| → 0 (n → ∞).
Also folgt x = y. Widerspruch zur Annahme!

Zwei Beispiele konvergenter Zahlenfolgen:
Beispiel 1: Die Folge (x_n) mit x_n = 1/n für n ∈ ℕ mit n > 1 konvergiert gegen 0.
Beispiel 2: Sei (x_n) eine Lucas-Folge, dann konvergiert die Folge der Quotienten aufeinander folgender Lucas-Zahlen stets gegen den goldenen Schnitt Φ, falls x₀ > 0 und x₁ > 0.

Beweis:
Wenn (x_n) konvergent ist und den Grenzwert x besitzt,
dann gibt es zu jedem ε ∈ ℝ ein N_ε ∈ ℕ, so dass |x_n − x| < ε für alle n ≥ N_ε.
Diese Ungleichung gilt insbesondere für ε = 1 und es gibt ein N₁ ∈ ℕ, so dass
|x_n− x| < 1 für alle n ≥ N₁.
|x_n| = |x_n − x+ x| ≤ |x_n − x| + |x| < 1 + |x| für alle n ≥ N₁.
Setze s=_defmax{|x₀|, |x₁|, ... ,|x_N-1|, 1 + |x|}.
Dann folgt |x_n| ≤ s für alle n ∈ ℕ und damit die Behauptung.

Seien (x_n) und (y_n) zwei konvergente Zahlenfolgen mit x_n → x und y_n → y (n → ∞).
Dann sind auch die Folgen (x_n + y_n) und (x_n·y_n) konvergent und es gilt

Falls x_n ǂ 0 für alle n ∈ ℕ und x ǂ 0, so ist auch die Folge (1/x_n) konvergent und es gilt

Beweis der ersten Aussage:
Seien (x_n) und (y_n) konvergent mit x_n → x und y_n → y (n → ∞).
Dann gibt es zu jedem ε/2 ∈ ℝ ein N_x ∈ ℕ bzw. ein N_y ∈ ℕ, so dass
|x_n − x| < ε/2 für alle n ≥ N_xund |y_n − y| < ε/2 für alle n ≥ N_y.
Also gilt für alle n ≥ max(N_x, N_y)
|(x_n + y_n) − (y + x)| = |(x_n − x) + (y_n − y)| ≤ |x_n − x| + |y_n − y| ≤ ε/2 + ε/2 = ε,
was zu beweisen war.

Beweis der zweiten Aussage:
Seien (x_n) und (y_n) konvergent mit x_n → x und y_n → y (n → ∞).
Für alle n ∈ ℕ gilt x_n·y_n − x·y = x_n·y_n − x·y_n + x·y_n − x·y = (x_n − x)·y_n + x·(y_n − y).
Die Folge (y_n) ist konvergent und damit beschränkt.
Es lässt sich also eine reelle Zahl s finden mit |y_n| < s für alle n ∈ ℕ und |x| < s.
Hieraus folgt unter Benutzung der Dreiecksungleichung für jedes n ∈ ℕ:
|x_n·y_n − x·y| ≤ |x_n − x|·s + |y_n − y|·s.
Nach Voraussetzung gibt es zwei natürliche Zahlen N_x und N_y, so dass Folgendes gilt:
|x_n − x| < ε/2s für alle n ≥ N_x und |y_n − y| < ε/2s für alle n ≥ N_y,
wobei die positive reelle Zahl ε beliebig gewählt werden kann.
Sei N = max(N, N_y), dann folgt
|x_n·y_n − x·y| ≤ s·ε/2s + s·ε/2s = ε für alle n ≥ N.

Beweis der dritten Aussage:
Sei (x_n) konvergent mit x_n → x (n → ∞), wobei x ǂ 0 und x_n ǂ 0 für alle n ∈ ℕ.
Dann gibt es ein N, so dass ||x_n|−|x|| ≤ |x_n − x| < |x|/2 für alle n ≥ N.
Die Ungleichung ||x_n|−|x|| < |x|/2 ist äquivalent zu der Aussage −|x|/2 < |x_n|−|x| < |x|/2.
Insbesondere folgt hieraus, dass |x_n| > |x| −|x|/2,
also hat man |x_n| > |x|/2 für alle n ≥ N. Hiermit ergibt sich
|1/x_n − 1/x| = |x − x_n|/|x_n|·|x| ≤ 2·|x − x_n|/|x|².
Sei nun ε > 0 beliebig gewählt. Dann gibt es ein N*, so dass für alle n ≥ N* gilt:
|x − x_n| < min(|x|/2, |x|²·ε/2). Damit hat man für alle n ≥ N*
|1/x_n − 1/x| < |x|²·ε/|x|² = ε.

Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine rationale Zahlenfolge (r_n) mit r_n → x (n → ∞).

Beweis:
Sei x irgendeine reelle Zahl, repräsentiert durch eine rationale Cauchyfolge (x_n).
Jedes Folgenglied von (x_n) lässt sich als rationales Element von ℝ darstellen als konstante Folge
r_m = x_m, x_m, x_m, x_m, x_m, x_m, .....
Mit anderen Worten: r_m = [k_n] mit k_n= x_m für alle n = 1, 2, 3,...
Hiermit gilt x − r_m = [x_n]− [k_n] = [x_n − x_m]_n=1..∞.
Da (x_n) eine Cauchyfolge ist, gibt es zu jedem positiven ε ∈ ℚ ein m_ε, so dass
|x_n− x_m| ≤ ε für alle m, n ≥ m_ε.
Es folgt |x_n − x_m| − ε ≤ 0 für alle m, n ≥ m_ε.
Also ist (|x_n − x_m| − ε)_n=1..∞ keine Positivfolge, deswegen gilt
|x − r_m| − ε ≤ 0 und damit |x − r_m| ≤ ε für alle m ≥ m_ε.
Also ist [x_n] − [k_n] eine Nullfolge, das heißt r_m → x (m → ∞).

Aus diesem Satz folgt, daß jede irrationale Zahl beliebig genau durch eine rationale Zahl angenähert werden kann.

Eine reelle Zahlenfolge (x_n) ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchyfolge ist.
(Cauchy'sches Konvergenzkriterium).

Beweis:
"⇒": Sei (x_n) eine konvergente Folge und sei x∈ ℝ der Grenzwert dieser Folge.
Sei irgendein positives ε ∈ ℝ beliebig vorgegeben.
Dann existiert eine natürliche Zahl N ∈ ℕ, so dass
|x_n− x| < ε/2 für alle n ≥ N und |x_m− x| < ε/2 für alle m ≥ N.
Es folgt |x_n− x_m| = |x_n− x + x − x_m| ≤ |x_n− a| + |a − x_m|< ε/2 + ε/2 = ε für alle m, n ≥ N.
Also ist (x_n) eine Cauchyfolge.

"⇐": Sei (x_n) eine (reelle) Cauchyfolge.
Zu jedem x_n∈ ℝ gibt es nach dem vorstehenden Satz
eine gegen x_n konvergierende rationale Zahlenfolge (r_m(n))_m=0..∞.
Das bedeutet, dass (r_m(n)− x_n)_m=0..∞ eine Nullfolge ist für alle n ∈ ℕ.
Also gibt es zu jedem positiven ε eine natürliche Zahl N(n) ∈ ℕ, so dass
|r_m(n)− x_n| < ε für alle m ≥ N(n) und für alle n ∈ ℕ*.
Für jede dieser Ungleichungen (n = 1, 2, 3, ...) wird ε = 1/n gewählt.
Dann gilt |r_m(n)− x_n| < 1/n für alle m ≥ N(n) und für alle n ∈ ℕ*.
Für jedes n ∈ ℕ* wird irgendein r_m(n) mit m ≥ N(n) ausgewählt und mit r_n bezeichnet.
Dann folgt |r_n− x_n| < 1/n für alle n ∈ ℕ*.

Sei r_m* ∈ ℝ gegeben durch die konstante rationale Zahlenfolge r_m, r_m, r_m, ...., kurz geschrieben:
r_m* = [r_k] mit r_k= r_m für alle k = 0, 1, 2, ...
Dann gilt in ℝ die Ungleichung |x− r_m*| ≤ ε für alle m ≥ N(ε).

Unter Verwendung der Dreiecksungleichung in ℝ folgt hiermit
|x− x_n| ≤ |x − r_m*| + |r_m* − x_n| ≤ ε + 1/n für alle n ∈ ℕ* und beliebig vorgegebenem ε > 0.
Hieraus folgt die Behauptung.

Eine weitere fundamentale Eigenschaft der reellen Zahlen wird durch den Satz von Bolzano und Weierstrass beschrieben: Jede beschränkte unendliche reelle Zahlenfolge enthält mindestens eine konvergente Teilfolge.
Das bedeutet:

Hat man eine reelle Zahlenfolge (x_n) mit einer Schranke s ∈ ℝ, das heißt |x_n| ≤ s für alle n ∈ ℕ,
dann gibt es eine natürliche Zahlenfolge n[0] < n[1] < n[2] < ...,
so dass die Folge (x_n[j])_j=0..∞ konvergiert.

Beweis:
Die Ungleichung |x_n| ≤ s ist gleichbedeutend mit der Aussage −s ≤ x_n ≤ s.
Das heißt, alle Folgenglieder x_nsind Elemente im abgeschlossenen Intervall I₀ = [−s, s] und
es gibt für I_0L = [−s, 0] und I_0R = [0, s] zwei sich gegenseitig ausschliessende Möglichkeiten:
Entweder gibt es ein N₀ ∈ ℕ, so dass für alle n > N₀ alle Folgenglieder in I_0Lliegen,
oder aber es gibt zu jedem N > 0 ein n > N mit x_n ∈ I_0R.
Im ersten Fall sei I₁ = I_0L und im zweiten Fall sei I₁ = I_0R.
Dann gibt es in jedem Fall eine Teilfolge (x_n[i]⁽¹⁾)_i=0..∞ von (x_n) mit x_n[i]⁽¹⁾ ∈ I₁ für alle i ∈ ℕ
und n[0] < n[1] < n[2] < ...

Die schrittweise Wiederholung dieses Verfahrens der Intervallhalbierung liefert eine Intervallfolge
I₀ ⊃ I₁ ⊃ I₂ ⊃ I₃ ⊃ ... mit I_k = [a_k, b_k] und b_k−a_k= 2s/2^kfür alle k ∈ ℕ.
Für jedes k = 1, 2, 3, ... gibt es eine Teilfolge (x_n[i]^(k))_{i=
0..∞} von (x_n[i]^(k−1))_i=0..∞
mit x_n[i]^(k) ∈ I_k für alle i ∈ ℕ und n[0] < n[1] < n[2] < ... ("Teilfolgeneigenschaft" des Intervalls I_k)

Mit b_k−a_k= 2s/2^k für alle k ∈ ℕ folgt für alle p, q > k, dass |a_p −a_q| ≤ 2s/2^k.
Dies bedeutet aber, dass (a_k)_k=0..∞ eine Cauchyfolge und damit konvergent ist.
Sei a der Grenzwert dieser Folge.
Wegen I₀ ⊃ I₁ ⊃ I₂ ⊃ I₃ ⊃ .. mit I_k = [a_k, b_k] gilt a_k ≤ a_k+1 ≤ a_k+2 ≤ ... für jedes k ∈ ℕ.
Damit hat man aber auch die Ungleichung a_k ≤ a für jedes k ∈ ℕ, denn wäre a < a_k,
dann gäbe es eine natürliche Zahl K > k mit der Eigenschaft, dass a_K "zwischen a und a_k liegt",
genauer: a_K ≤ a + (a_k− a)/2 = (a_k+ a)/2 < a_k. Widerspruch!

Auf analoge Weise hat man wegen a_k+i ≤ b_kfür jedes k ∈ ℕ und i = 0, 1, 2, ... auch a ≤ b_kfür jedes k ∈ ℕ.
Insgesamt folgt also für den Grenzwert a der Folge (a_k), dass a_k ≤ a ≤ b_k für jedes k ∈ ℕ.
Bei beliebig gewähltem positiven ε gibt es deshalb immer eine natürliche Zahl
k(ε) mit a− ε < a_k(ε) ≤ a ≤ b_k(ε) < a + ε.

Wegen der Teilfolgeneigenschaft von I_k(ε) gibt es zu jedem N > 0 ein m > N so, dass
a− ε < a_k(ε) ≤ x_m ≤ b_k(ε) < a + ε.
Es existiert also eine natürliche Zahlenfolge (n[j])_j=0..∞ mit n[0] < n[1] < n[2] < ... und
a− 1/j < x_n[j] < a + 1/j für j = 1, 2, 3, ...
Daraus folgt |x_n[j]− a| < 1/j, das bedeutet aber x_n[j] → a (j → ∞), was zu zeigen war.

Mit diesem Satz lässt sich nachweisen, dass monoton steigende Folgen, die nach oben beschränkt sind bzw. monoton fallende Folgen, die nach unten beschränkt sind, immer konvergent sind.

Jede monoton steigende und nach oben beschränkte reelle Zahlenfolge ist konvergent.

Beweis:
Sei (x_n) monoton steigend und |x_n| ≤ s für alle n ∈ ℕ.
Dann gibt es nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass eine natürliche Zahlenfolge (n[k]) mit
n[0] < n[1] < n[2] < ... und x_n[k] → x (k → ∞).
Weil (x_n) monoton steigend ist, gilt x₀ ≤ x₁ ≤ x₂ ≤ ... und zu jedem n ∈ ℕ lässt sich ein n[k*] finden mit
n ≤ n[k*] und x_n ≤ x_n[k]für k ≥ k*. Hieraus folgt x_n ≤ x für alle n ∈ ℕ.

Sei ε > 0 beliebig gewählt.
Dann gibt es wegen x_n[k] → x (k → ∞) ein K(ε) mit x− ε ≤ x_n[K(ε)]und es folgt
x− ε ≤ x_mfür alle m ≥ n[K(ε)].

Insgesamt hat man also x− ε ≤ x_m ≤ x für alle m ≥ n[K(ε)] und damit folgt die Behauptung.

Analog zeigt man, dass jede monoton fallende und nach unten beschränkte reelle Zahlenfolge konvergent ist.

Die Eigenschaft der Menge der reellen Zahlen, vollständig zu sein, ist anschaulich vielleicht am besten zu begreifen, wenn man sich klarmacht, dass man mit beliebigen Intervallschachtelungen innerhalb von ℝ immer jeweils eine reelle Zahl findet. ℝ hat keinerlei Lücken!

Sei (K,+,·,<) ein angeordneter Körper.
(a_n)_n_∈ℕ sei eine Folge in K und monoton wachsend.
(b_n)_n_∈ℕ sei eine Folge in K und monoton fallend.
Dann heißt die Folge von Intervallen ([a_n,b_n])_n_∈ℕ Intervallschachtelung in K genau dann, wenn Folgendes gilt:

a_n < b_nfür alle n ∈ ℕ,
(b_n− a_n)_n_∈ℕ ist eine Nullfolge.

Gilt für ein p ∈ K

a_n ≤ p ≤ b_nfür alle n ∈ ℕ,

dann heißt p innerer Punkt der Intervallschachtelung.

Beweis:
Sei ([a_n,b_n])_n_∈ℕ eine Intervallschachtelung.
Angenommen, zu dieser Intervallschachtelung gehören zwei innere Punkte p₁ und p₂, die voneinander verschieden sind.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei dann p₂ > p₁.
Nach Definition gilt a_n ≤ p₁ ≤ b_nund a_n ≤ p₂ ≤ b_n für alle n ∈ ℕ, und daraus folgt
b_n− a_n ≥ p₂ − a_n ≥ p₂− p₁ für alle n ∈ ℕ. Dies bedeutet aber, dass
b_n− a_n ≥ p₂ − p₁ > 0 für alle n ∈ ℕ.
Also gilt b_n− a_n> 0 für alle n ∈ ℕ.
Widerspruch, denn (b_n− a_n) ist eine Nullfolge!

Beweis:
Sei ([a_n,b_n])_n_∈ℕ eine beliebige Intervallschachtelung in ℝ.
Zunächst wird gezeigt, dass dann die Ungleichung a_n< b_m für alle n, m ∈ ℕ gilt.

Angenommen, es gibt zwei natürliche Zahlen k, l ∈ ℕ mit a_k > b_l, das heißt a_k− b_l> 0.
Weil (a_n) monoton wächst, gilt a_n ≥ a_k für alle n ≥ k.
Weil (b_n) monoton fällt, gilt b_n ≤ b_l für alle n ≥ l.
Also folgt für alle n ≥ max(k, l), dass |a_n − b_n| ≥ a_k− b_l> 0.
Widerspruch, denn (a_n− b_n) ist eine Nullfolge!

Angenommen, es gibt zwei natürliche Zahlen k, l ∈ ℕ mit a_k= b_l.
Es folgt wie oben a_n ≥ a_k für alle n ≥ k und b_n ≤ b_l für alle n ≥ l.
Damit hat man aber wegen a_k= b_l die Ungleichung
b_n ≤ a_nfür alle n ≥ max(k, l) im Widerspruch zu
a_n< b_nfür alle n ∈ ℕ.

Die monoton wachsende Folge (a_n) ist nach oben beschränkt, also konvergent.
Für den Grenzwert a dieser Folge gilt a_n ≤ a für alle n ∈ ℕ
und wegen a_n< b_m für alle n, m ∈ ℕ gilt ebenfalls a ≤ b_nfür alle n ∈ ℕ.
a ist also innerer Punkt der Intervallschachtelung ([a_n,b_n]).

Auf analoge Art folgt, dass (b_n) als monoton fallende und nach unten beschränkte Folge konvergent und dass der Grenzwert b dieser Folge ein innerer Punkt der Intervallschachtelung sein muss.

Da die Intervallschachtelung ([a_n,b_n]) aber nur höchstens einen inneren Punkt besitzt, gilt a = b.

Eine Intervallschachtelung in ℝ ohne einen inneren Punkt kann es nach vorstehender Argumentation nicht geben.

Die Tatsache, dass jede Intervallschachtelung in ℝ genau einen inneren Punkt besitzt, lässt sich auch anders formulieren, und zwar mit Hilfe des Begriffs des Dedekind'schen Schnitts:

Zu jedem Dedekind'schen Schnitt (M_u, M_o) gibt es genau eine reelle Zahl s mit

Beweis:
Sei (M_u, M_o) ein Dedekind'scher Schnitt.
Seien ferner x₀ und y₀ zwei voneinander verschiedene reelle Zahlen mit x₀ ∈ M_u und y₀ ∈ M_o.
Dann gilt x₀ < y₀.
Es gibt ein m ∈ ℝ mit x₀ < m < y₀ und |m − x₀| = |y₀− m|.
Für dieses m gilt entweder m ∈ M_u oder m ∉ M_u.
Im ersten Fall sei x₁= m und y₁= y₀; im zweiten Fall sei x₁= x₀ und y₁= m.
So fährt man sukzessive fort und erhält eine
Intervallschachtelung ([x_n,y_n])_n_∈ℕ mit x_n ∈ M_u und y_n ∈ M_o für alle n ∈ ℕ.
Da jede Intervallschachtelung genau einen inneren Punkt besitzt, ist hiermit die Behauptung bewiesen.

Die Zahlengerade ist ein anschauliches Hilfsmittel, um die Menge der reellen Zahlen zeichnerisch darzustellen. Zu jedem Punkt P auf der Zahlengerade gehört genau eine reelle Zahl x und umgekehrt. Auf jedem Abschnitt der Zahlengerade befinden sich überabzählbar unendlich viele Punkte, so wie es in jedem Teilintervall von ℝ überabzählbar unendlich viele reelle Zahlen gibt.

ist in ℝ nicht lösbar, wenn a < 0. Eine reelle Quadratzahl ist stets positiv!

In der Menge der komplexen Zahlen dagegen ist die Gleichung (G4) sehr wohl lösbar.

(a; b) + (c; d) =_def (a + c; b + d) und
(a; b) · (c; d) =_def (ac− bd; ad + bc)

kann man in ℂ addieren und multiplizieren, und zwar automatisch auf wohldefinierte Weise, da die vorstehenden Definitionen auf der wohldefinierten Addition bzw. der Multiplikation in ℝ beruhen.

Mit 0 =_def (0; 0) als Nullelement und 1 =_def (1; 0) als Einselement ist (ℂ,+,·) ein Körper. Man kann leicht nachrechnen, dass die komplexe Zahl

Mit f: ℝ → ℂ, definiert durch f(a) = (a; 0) für alle a ∈ ℝ lässt sich ℝ mit Imf ⊂ ℂ identifizieren, so dass wir in diesem Sinne nunmehr insgesamt notieren können:

Mit Hilfe der speziellen komplexen Zahl (0; 1), die man imaginäre Einheit nennt und mit i bezeichnet, gelingt es, alle Zahlen (a; b) ∈ ℂ so hinzuschreiben, dass man bequem mit ihnen rechnen kann.
Es gilt nämlich (a; b) = (a; 0) + (0; b) = (a; 0) + (b; 0)·i für alle a, b ∈ ℝ, kurz geschrieben:

Wegen i² = (0; 1)(0; 1) = (−1; 0) ist i ist nichts anderes als die Lösung der Gleichung x² = −1. Anders ausgedrückt:

Die Definition der Operationen "+" und "·" auf ℂ ist gerade so gemacht worden, dass man mit komplexen Zahlen genau so rechnen kann wie mit reellen Zahlen:

Seien z₁ = a + bi und z₂ = c + di zwei beliebige komplexe Zahlen.
Dann gilt:

z₁ + z₂ = (a + bi) + (c + di)
= a + c + bi + di
= (a + c) + (b + d)i

z₁ · z₂ = (a + bi) · (c + di)
          = a·c + a·di + bi·c + bi·di
          = a·c + b·di² + (a·d + b·c)i
          = (a·c − b·d) + (a·d + b·c)i

Wenn die Lösung der Gleichung x·z₂= z₁mit z₂ ǂ 0 wie gewohnt in der Form z₁/z₂ geschrieben wird,
kann man wie folgt rechnen:

z₁/z₂= (a + bi)/(c + di)
= (a + bi)(c − di)/(c + di)(c − di)
= ((ac + bd) + (bc − ad)i)/(c² + d²)

Man prüft dies leicht nach, denn es gilt tatsächlich nach Definition

((ac + bd)/(c² + d²); (bc − ad)/(c² + d²))·(c; d) = (a; b).

(z₁ + z₂)* = z₁* + z₂*
(z₁· z₂)* = z₁* · z₂*
(z₁/z₂)* = z₁*/z₂*.

Die letzte dieser drei Gleichungen gilt selbstverständlich nur dann, wenn z₂ von 0 + 0·i verschieden ist.

Wenn man sich die komplexen Zahlen durch Punkte in der Gauß'schen Zahlenebene veranschaulicht, dann ist die Norm einer komplexen Zahl z gleich dem Quadrat des Abstandes derjenigen Punkte, die z beziehungsweise (0; 0) repräsentieren.

∥z₁ + z₂∥ ≤ ∥z₁∥ + ∥z₂∥
∥z₁·z₂∥ = ∥z₁∥·∥z₂∥.

Die erste dieser beiden Aussagen ist die sogenannte Dreiecksungleichung in ℂ.

Das gleiche Prinzip, welches zur Konstruktion der Zahlensysteme wesentlich benutzt wurde (die Formulierung einer neuen Menge von Zahlen mit der Möglichkeit, die zuvor bekannten und bereits vertrauten Zahlenmengen in die neu konstruierte Menge einzubetten) wird - falls irgend möglich - auch bei der Konstruktion anderer Systeme verwendet. Ein Beispiel ist die Konstruktion von Theorien (hier verstanden als Mengen von Aussagen, die anhand empirischer Untersuchungen nachprüfbar sind).

Die klassische Mechanik beispielsweise (eine physikalische Theorie, die die Bewegungen von Körpern und die gegenseitige Wechselwirkung von Körpern vollständig beschreiben sollte und in vollendeter Form vor allem von Isaac Newton gegen Ende des 17. Jahrhunderts formuliert wurde), stellte sich im Laufe der Zeit als unzureichend heraus. Dies soll heißen, dass Fragen aufgetaucht sind, die sich mit der Newton'schen Theorie nicht lösen ließen. Werner Heisenberg und andere nahmen dies Anfang des letzten Jahrhunderts zum Anlass, eine neue Theorie zu entwickeln (die Quantenmechanik), welche

Die klassische Mechanik ist damit eingebettet worden in die neue Theorie der Quantenmechanik. Sie ist durch die neue Theorie nicht falsch geworden, sondern man hat erkannt, dass sie nur unter gewissen Randbedingungen gültig ist.

Ganz Entsprechendes gilt etwa für die Weiterentwicklung technischer Systeme, etwa für die Verbesserung von Maschinen oder von Softwarepaketen. Das Einbettungsprinzip fordert von dem Softwarehersteller eines Programms TOLL.03, dass z.B. alle mit Hilfe dieses Programms erstellten Dateien unter der neuen Version TOLL.04 weiter verwendet werden können. Die Probleme, die sich durch diese Forderung in der Praxis ergeben, sind ziemlich verzwickt und sehr viel komplexer als diejenigen, die bei der Entwicklung der Zahlensysteme zu lösen waren. Das bekommen die Anwender solcher Programme TOLL.xxx immer wieder leidvoll zu spüren, wenn sich bei der Verwendung verschiedener Versionen des gleichen Programms Inkompatibilitäten einstellen.

Außer dem Einbettungsprinzip gibt es in diesem Zusammenhang noch etwas von zentraler Bedeutung: Die Fortentwicklung (irgendwelcher) Systeme gelingt nur dann fehlerfrei (das heißt zum Beispiel: widerspruchsfrei bei der Entwicklung logischer oder mathematischer Systeme oder: absturzsicher bei der Entwicklung von Computersystemen), wenn ein wohldefinierter und damit gut durchdachter Anfang gesetzt wurde.

stellt die Menge der natürlichen Zahlen dar, deren Gesetze zu Anfang schlicht vorausgesetzt wurden.

Merkwürdigerweise spiegelt der Anfang dieser Systemkette, also ℕ, in seiner Struktur das wider, was für die Systemkette als Ganzes wichtig war:

Literatur- und Quellenangaben:

Landau, Edmund:
Grundlagen der Analysis (erstmals erschienen 1930 in Leipzig), ergänzt und kommentiert von Heinz Dalkowski.
Berliner Studienreihe zur Mathematik, Band 11, Heldermann, Lemgo 2004

Heinz, Erhard:
Differential- und Integralrechnung I (Vorlesungsscript).
Hrsg. Mathematisches Institut der Universität Göttingen, 1972

Schmersau, Dieter/ Koepf, Wolfram:
Die reellen Zahlen als Fundament und Baustein der Analysis.
Oldenbourg, München 2000.

Zobel, Robert:
Diskrete Strukturen.
Reihe Informatik, Band 49, BI-Wissenschaftsverlag, Zürich,1987

Henke, Dietmar:
Diskrete Mathematik (Vorlesungsscript).
Hochschule Bremerhaven, 1991