dh-Materialien
Mathematische Begriffe
 

Zahlenmengen


Was mit Zahlen geht und was nicht nach oben

Jedes Kind lernt mehr oder weniger selbstständig das Zählen:
ein
Finger, zwei Finger, drei Finger ... oder: ...,  drei Bonbons, zwei Bonbons, ein Bonbon, kein Bonbon.
Irgendwann lernt das Kind, dass das Zählen irgendwelcher Dinge immer auf die gleiche Weise funktioniert und fängt an, so zu zählen: eins, zwei, drei, vier, ... Ich habe unseren Nachbarsjungen, als er fünf Jahre alt war, gefragt, wie weit das geht. Er antwortete: „Ich kann schon bis acht zählen!“ Ein Jahr später habe ich ihm die gleiche Frage gestellt und er hat geantwortet: „Das geht immer so weiter ... oder etwa nicht?“

Der italienische Mathematiker Giuseppe Peano (1858 - 1932)  hat die natürlichen Zahlen axiomatisch so beschrieben:

(1) 0 ist eine natürliche Zahl.
(2) Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger und dieser ist wieder eine natürliche Zahl.
(3) Enthält eine Menge S die Zahl 0 und mit jeder natürlichen Zahl auch stets deren Nachfolger, so enthält S alle natürlichen Zahlen.
(4) Sind die Nachfolger zweier natürlicher Zahlen a und b einander gleich, so gilt a = b.
(5) Kein Nachfolger einer natürlichen Zahl ist gleich der Zahl 0.

Wenn man mit null die „erste“ natürliche Zahl bezeichnet, dann ist eins der Nachfolger von null, zwei ist wiederum der Nachfolger von eins, und so geht es tatsächlich „immer weiter“...

  = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }

Mit * wird die Menge aller natürlichen Zahlen bezeichnet, die von 0 verschieden sind: *  \ { 0 }.

Auf Grundlage der fünf Peano'schen Axiome lassen sich die Rechengesetze, die innerhalb der Menge der natürlichen Zahlen gelten, beweisen ( Vollständige Induktion).

Kurz nachdem unser Nachbarsjunge eingeschult wurde, hat er mir stolz berichtet: „Ich kann jetzt schon bis 20 rechnen!“ Meine Frage: „Wieviel sind 7 plus 12?“ Seine Antwort: „19.“ „Wieviel sind denn 12 plus 7?“ Er dachte noch einmal nach und gab die Antwort: „19“. „Fällt dir was auf?“ Das Gespräch ging noch eine kleine Weile weiter und dann stellte ich ihm die Frage: „Wieviel sind 5 minus 7?“ Er sah mich entrüstet an: „Die Aufgabe geht doch gar nicht!“ „Du hast Recht“, antwortete ich, „ich habe nicht aufgepaßt, ich habe dir eine falsche Aufgabe gegeben.“

Inzwischen hat er gelernt, dass es doch geht. Wenn die Außentemperatur, die gestern noch 3°C betrug, inzwischen um 5 Grad gefallen ist, dann haben wir heute nicht keine Temperatur, sondern messen  −2°C.
Verallgemeinert heißt das: man kann die Menge der natürlichen Zahlen erweitern und erhält die Menge der ganzen Zahlen   = { ..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4, ... }. Die positiven Zahlen +1, +2, +3, ... werden hierbei identifiziert mit den natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ... .

Mit hat man nicht nur positive, sondern auch negative Zahlen und man kann nach Herzenslust addieren und subtrahieren, wenn man ein paar Rechenregeln beachtet: −(−a) = +a  und  −a + (−b) = −(a + b) und ein paar andere. Allerdings kann man weder innerhalb von noch innerhalb von  uneingeschränkt dividieren! Die Aufgabe „Wieviel ist 7 geteilt durch 3?“ zum Beispiel geht nicht auf, es bleibt ein Rest. Die Lösung dieses Problems führt auf die Menge der rationalen Zahlen , das ist die Menge aller Bruchzahlen und die Lösung der Aufgabe „7:3 = ?“ wird plötzlich ganz einfach: das Ergebnis ist 7/3 (gesprochen: „Sieben Drittel“).

Ein Bruch r = z/n  besteht aus einem Zähler z ∈ ℤ und einem von 0 verschiedenen Nenner n * . Die ganzen Zahlen können hierbei mit denjenigen Brüchen identifiziert werden, die den Nenner 1 haben.

Man kommt mit der Bruchrechnung sehr weit. Wenn man bedenkt, dass man solche Zahlen wie 2,78 auch als Bruch schreiben kann, nämlich als 278/100, dann möchte man meinen, es gäbe außer den ganzen und den rationalen Zahlen weiter keine Zahlen auf der Welt.

Behauptung: Die Lösung der Gleichung x2 = 2 ist keine rationale Zahl.
Beweis: Wir suchen die Kantenlänge desjenigen Quadrats, dessen Flächeninhalt die Maßzahl 2 hat.
Angenommen, die Kantenlänge k dieses Quadrates ist doch darstellbar als rationale Zahl. Dann gibt es positive ganze Zahlen m* und n* mit k =m*/n*. Sollte der Nenner n* und der Zähler m* gemeinsame Teiler haben, dann kürzt man den Bruch solange, bis wir k = m/n schreiben können, wo m und n teilerfremde Zahlen darstellen.
Aus k = m/n folgt, dass k·n = m. Quadrieren dieser Gleichung liefert k2·n2 = m2 und wegen k2 = 2 bedeutet dies, dass m2 eine gerade Zahl sein muss. Da das Quadrat einer ungeraden Zahl immer ungerade ist, muss mit m2 auch m eine gerade Zahl sein. Daraus folgt, dass es irgendeine positive ganze Zahl p geben muss mit m = 2·p. Wenn man nun 2·p für m in der Gleichung 2·n2 = m2 einsetzt, dann haben wir 2·n2 = 4·p2. Hieraus folgt, dass n2 = 2·p2. Also ist n2 und damit auch n gerade. Insgesamt folgt also, dass 2 sowohl m als auch n teilt. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme und damit ist die Behauptung richtig.

k mit k2 = 2 ist also eine irrationale Zahl.

k lässt sich - wie alle anderen Quadratwurzeln auch - näherungsweise berechnen, und zwar mit Hilfe des Heronverfahrens (benannt nach dem Mathematiker Heron, der im 1. Jahrhundert n.Chr. vermutlich in Alexandria lebte). Das Verfahren beruht auf einer einfachen Idee.

Gegeben sei ein Quadrat und die Maßzahl des Flächeninhalts des Quadrates sei gleich a. Dann gilt für die Kantenlänge k dieses Quadrates

k ist gleich der Quadratwurzel von a

Sei die rationale Zahl k0 der erste Näherungswert für k, dann gibt es zwei Möglichkeiten: entweder ist k0 kleiner oder aber größer als k. Im letzten Fall gilt  a < k0und damit hat man  (a/k02)·a < a. Im ersten Fall gilt a > k02 und damit hat man (a/k02)·a > a. Es folgt also  (a/k0)2  < a < k02  oder  k02 < a < (a/k0)2. Radizieren dieser Ungleichungen liefert

a/k0 < k < k0     oder    k0 < k < a/k0.

In jedem Fall liegt k also zwischen a/k0 und k0. Nun geht es darum, einen Näherungswert für k zu bekommen, der besser ist als k0, das heißt, dessen Abstand zu k kleiner ist als der Abstand zwischen k0 und k. Diese Forderung wird erfüllt von der Zahl, die genau in der Mitte zwischen a/k0 und k0 liegt (arithmetisches Mittel).
Daraus folgt k1 = 0,5·(k0+ a/k0) und es gilt analog zu eben  a/k1 < k < k oder  k1 < k < a/k1. Der zweite Näherungswert k2 ist dann das arithmetische Mittel von a/k1 und k1 und so fort.
Allgemein ergibt dies die Iterationsgleichung

kn+1 = 0,5·(kn+ a/knfür  n ∈ ℕ 

Unter Benutzung dieser Iterationsgleichung kann im Folgenden die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl a berechnet werden. Der Startwert k0 muss positiv sein und ist ansonsten frei wählbar. Sobald sich zwei aufeinander folgende Iterationswerte kn und kn+1 um nicht mehr als 0,000000001 unterscheiden, wird im folgenden mit JavaScript geschriebenen Programm die Iteration bei i = n abgebrochen (-> Quelltext).

a =
k0 =

i ki ki2

Wählt man a = 2 und k0 = 3, dann liefert die Heron'sche Iterationsgleichung in den ersten fünf Schritten die folgenden rationalen Zahlen:

Heronfolge

Diese Zahlenfolge lässt sich beliebig weit fortsetzen ( Einführung in Maple, Übung Das Heronverfahren), wobei der Abstand aufeinander folgender Zahlen immer kleiner und kleiner wird. Anscheinend kommt man der Zahl k mit k2 = a immer näher, je länger man rechnet! Das Faszinierende ist, dass sich jeder Wert einer solchen Heronfolge als Bruch schreiben lässt, jedoch der Grenzwert einer solchen Folge im Allgemeinen nicht rational ist. (Für das Beispiel k2 = 2 haben wir dies eben bewiesen.)

Georg Cantor (1845 - 1918) hatte als Erster die Idee, dass zu jeder konvergenten rationalen  Folge eine reelle Zahl existiert, die Grenzwert dieser Folge ist. Wie mit dieser Idee Schritt für Schritt die Menge der reellen Zahlen () „konstruiert“ werden kann, lässt sich im Abschnitt Die Menge der reellen Zahlen nachlesen.

Ist hiermit das Ende erreicht? Nein! Es gibt Gleichungen, die in formulierbar, aber nicht in lösbar sind, zum Beispiel: x2 = −1.


Die Menge der natürlichen Zahlen nach oben

In der abzählbar unendlichen Menge = { 0, 1, 2, 3, 4, ... } der natürlichen Zahlen gibt es zwei „natürliche“ Operationen: die Addition „+“ und die Multiplikation „·“. Sowohl bezüglich „+“ als auch bezüglich „·“ gilt für alle natürlichen Zahlen k, m und n das Kommutativgesetz:

k + n = n + k
k · n = n · k

und das Assoziativgesetz:

m + (n + k) = (m + n) + k
m · (n · k) = (m · n) · k

Es gelten außerdem das Distributivgesetz

k·(m + n) = k·m + k·n

und die folgenden zwei wichtigen Gesetze:

(N1) x + n = y + n     x = y   für alle  x, y, n ∈ ℕ
(N2) x·n = y·n     x = y   für alle  x, y, n ∈ ℕ und  n ǂ 0

Ferner gilt für alle n ∈ ℕ:

n + 0 = n
n · 0 = 0
n · 1 = n

An alle diese Gesetze haben wir uns so sehr gewöhnt, dass es uns gar nicht in den Sinn kommt, die Gültigkeit dieser Gesetze anzuzweifeln. Nehmen wir als Beispiel das Kommutativgesetz: wenn wir sieben Erbsen in der linken Hand und neun Erbsen in der rechten Hand haben, dann haben wir zusammen sechzehn Erbsen in beiden Händen und derjenige, der uns gegenüber stehen und sagen würde: links hast du neun Erbsen und rechts hast du sieben Erbsen, würde gewiss auf den gleichen Summenwert kommen, vorausgesetzt natürlich, er könnte genauso gut zählen wie wir.

Was ist der Unterschied zwischen einem „normalen“ Menschen und einem Mathematiker? Wenn jemand oft genug Erbsen oder sonst irgendwelche Dinge in ihrer Anordnung vertauscht hat und jedes Mal feststellen konnte, dass sich hierbei die Gesamtzahl der beteiligten Dinge nicht geändert hat, sofern nichts weggenommen oder hinzugefügt wurde, dann glaubt er oder sie normalerweise, dass das auch beim nächsten Mal so sein wird. In der Mathematik ist man dagegen erst dann richtig zufrieden, wenn man bewiesen hat, dass etwas immer so sein muss.

Gottlob Frege (1848 - 1925) schreibt in seinen Grundlagen der Arithmetik:

Freilich sind Zahlformeln wie 5 + 7 = 12 und Gesetze wie das der Associativität bei der Addition durch die unzähligen Anwendungen, die tagtäglich von ihnen gemacht werden, so vielfach bestätigt, daß es fast lächerlich erscheinen kann, sie durch das Verlangen nach einem Beweise in Zweifel ziehen zu wollen. Aber es liegt im Wesen der Mathematik begründet, daß sie überall, wo ein Beweis möglich ist, ihn der Bewährung durch Induction vorzieht.

(Der von Frege hier benutzte Begriff „Induction“ bezeichnet die Methode, aus einzelnen Phänomenen und beobachtbaren Dingen auf ein allgemein gültiges Gesetz zu schließen und ist nicht zu verwechseln mit dem „Prinzip der vollständigen Induktion“.)

Dass der bloße Augenschein oftmals in die Irre führen kann, zeigt folgende Aufgabe: Gegeben sei ein Kreis. Auf der Kreislinie hat man eine gewisse Anzahl an Punkten, wobei alle Punkte paarweise miteinander durch eine Linie verbunden sind. In wieviele Teilflächen wird der Kreis zerlegt?

Die Vermutung liegt nahe, dass sich die Zahl der Teilflächen mit jedem neu dazu kommenden Kreispunkt verdoppelt, bei 4 Kreispunkten wären es dann 8 Teilflächen, bei 5 Kreispunkten 16 Teilflächen, u.s.w. Man kann sich leicht davon überzeugen, dass das vermeintlich entdeckte „Verdoppelungsgesetz“ ab 6 Kreispunkten nicht mehr gültig ist. Man benötigt einen Kreis mit sechs Punkten auf der Kreislinie, die paarweise miteinander verbunden sind und dann heißt es einfach: Teilflächen zählen ...

Oftmals ist es wesentlich schwieriger als in diesem Beispiel, einen Irrtum aufzudecken oder zu beweisen, dass etwas nicht richtig ist, was man zuvor nie angezweifelt hat. Zuweilen läuft der Irrtum aber auch genau in die andere Richtung. Man glaubt, ein ungültiges Gesetz muss unter allen Umständen falsch sein. Formulieren wir das in gültige Distributivgesetz einmal um und schreiben:  k + (m·n) = (k+m)·(k+n), dann sieht man mit einem Gegenbeispiel, dass diese Gleichung im Allgemeinen unter Verwendung von natürlichen Zahlen und der in üblichen Addition bzw. Multiplikation zu einer falschen Aussage führt.
3 + (2·4) ǂ (3 + 2)·(3 + 4). Dies lässt sich mit Erbsen nachzählen:

Erbsenzählerei

Nimmt man anstatt der natürlichen Zahlen irgendwelche Mengen gleichartiger Objekte und verwendet statt der Operation „+“ die Mengenoperation „“ und statt der Operation „·“ die Mengenoperation „“, dann sind beide Distributivgesetze gültig!

Seien A und B zwei nichtleere Mengen gleichartiger Objekte. Dann heißt die Menge

A B = { x:  x A  oder  yB }

die Vereinigungsmenge von A und B.
Die Schreibweise „e ∈ M“ bedeutet: „e ist ein Element der Menge M“.

Die Menge

A B = { x:  x A  und  yB }

heißt Schnittmenge von A und B.

Für beliebige Mengen A, B und C gelten die beiden Distributivgesetze:

A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)

Venn-Diagramme veranschaulichen diese Gesetze.

Fallbeispiel für  A (B C) = (A B) (A C):

A Vereinigungsmenge von B und C
A BC A (BC)
Schnittmenge von A und B Schnittmenge von A und C
A B A C (A B) ∪ (AC)

Fallbeispiel für  A (B C) = (A B) (A C):

A Schnittmenge von B und C
A B C A(B C)
Vereinigungsmenge von A und B Vereinigungsmenge von A und C
AB AC (AB) ∩ (AC)

Zurück zu den natürlichen Zahlen. Es ist vielleicht nicht verwunderlich, dass die Beweise der in gültigen Gesetze auf dem Prozess des Zählens beruhen. Hierbei ist es wichtig zu wissen, dass man tatsächlich nicht alles beweisen kann. Man muss schließlich irgendwo anfangen. Auch die Mathematiker brauchen ein festes Fundament, auf dem sie aufbauen können. Ein nicht beweisbarer Grundsatz heißt in der Mathematik ein Axiom. Die fünf Axiome von Peano beispielsweise stellen im Grunde nichts anderes dar als eine Möglichkeit, den Prozess des Zählens mathematisch handhabbar mit so wenigen Begriffen wie möglich und widerspruchsfrei zu beschreiben. (Wer sich für die Beweise der Rechengesetze in interessiert, kann diese im Kapitel Vollständige Induktion nachlesen.)

Die zwei auf existierenden Operationen „+“ und „·“ induzieren sofort die folgenden zwei Gleichungen (G1) und (G2):

(G1) m + x = n   mit  m, n ∈ ℕ

Die Gleichung (G1) bedeutet, dass diejenige Zahl x gesucht ist, die zu m hinzuzuzählen ist, um n als Rechenergebnis zu erhalten.

Wenn es für (G1) irgendeine Lösung in gibt, dann ist diese eindeutig bestimmt. Denn nehmen wir einmal an, es gibt für die Gleichung  m + x = n mit beliebigen, aber fest gewählten natürlichen Zahlen m und n zwei voneinander verschiedene Lösungen x und x*.
Dann gilt  m + x = n  und  m + x* = n, und hieraus folgt, dass  m + x = m + x*.
Wegen der Kommutativität in bezüglich der Addition „+“ kann man dieses auch so schreiben:
x + m = x* + m und dann folgt mit dem Gesetz (N1) sofort, dass x = x*.
Für die Gleichung  4 + x = 7 beispielsweise ergibt sich die eindeutige Lösung x = 3 und es ist 3  .

Entsprechendes gilt für (G2):

(G2) m·x = n   mit  m, n ∈ ℕ

Die Gleichung 6·x = 48 beispielsweise wird eindeutig gelöst durch x = 8 und es ist 8 ∈ ℕ.
In Gleichung (G2) wurden die gleichen Bezeichner „m“ und „n“ für beliebig gewählte natürliche Zahlen benutzt wie in Gleichung (G1). Das bedeutet aber natürlich nicht, dass die Zahlen m und n, die in (G2) vorkommen, die gleichen sind wie die aus (Gl1).

Gleichung (G1) wird dann zu einem Problem, sobald die Zahl n kleiner ist als m.
Gleichung (G2) ist dann nicht in lösbar, wenn m die Zahl n nicht teilt (m n).

Der Wunsch, (G1) auch für den Fall n < m lösen zu wollen, führt zur Konstruktion der ganzen Zahlen;
der Wunsch, (G2) auch für den Fall m n lösen zu wollen, führt zur Konstruktion der rationalen Zahlen.


Die Menge der ganzen Zahlen nach oben

Die Aufgabe, die mit der Gleichung  7 + x = 3  beschrieben wird, ist für Menschen, die negative Zahlen bereits kennen, leicht zu verwechseln mit einer anderen Aufgabe, die so ähnlich aussieht. Die andere Aufgabe lautet: Welche (natürliche) Zahl ist von der Zahl 7 abzuziehen, damit 3 herauskommt? Die Antwort auf diese Frage kennt natürlich jeder: Es ist die Zahl 4. Mit der Gleichung  7 + x = 3  ist aber genau das gemeint, was da steht: Gesucht ist diejenige Zahl, die man zu 7 addieren muss, um die Zahl 3 zu erhalten und die Lösung dieser Aufgabe ist innerhalb der natürlichen Zahlen nicht zu haben.

Was tun? Wenn jemand gerne eine komfortable Weltreise unternehmen möchte, aber das nötige Geld dazu nicht hat, dann hilft kein Jammern und kein Nachdenken, die große Fahrt kann nicht stattfinden. Die Mathematiker haben es da besser. Wenn es zum Beispiel darum geht, bestimmte Gleichungen lösen zu wollen, die innerhalb des bestehenden Rahmens nicht lösbar sind, dann verschafft man sich eben per Definition die passenden Lösungen und gibt diesen neuen Objekten einen gescheiten Namen.

Das hört sich so genial einfach an, ist es aber leider nicht. Definieren lässt sich im Prinzip alles, was man will, nur muss danach überprüft werden, ob mindestens die folgenden Fragen sicher mit „Ja“ beantwortet werden können. (Dies gilt im übrigen nicht nur bei der Erweiterung einer Zahlenmenge wie in dem Fall, der hier gerade diskutiert wird, sondern generell dann, wenn es darum geht, etwas wirklich Neues zu definieren).

1. Ist die neue Regel oder der neue Begriff wohldefiniert?
Wenn beispielsweise etwas nach einer definierten Regel berechnet werden soll, dann muss unter Anwendung dieser Regel immer das Gleiche herauskommen.

2. Ist die Definition widerspruchsfrei?
Wenn in einer mathematischen Argumentation die neue Definition verwendet wird, dann dürfen dabei keine logischen Widersprüche auftreten.

Erster Versuch: Wir kreieren die Menge aller Lösungen der Gleichungen vom Typ G1 und nennen diese Menge „“.
= { x:  m + x = n  mit m, n ∈ ℕ}. In Worten: Jedes Element x der Zahlenmenge soll Lösung einer Gleichung der Form m + x = n sein, wobei m und n beliebig gewählte natürliche Zahlen sind.

Um in rechnen zu können, brauchen wir eine Addition „+“: x ℤ → ℤ und eine Multiplikation „·“: x ℤ → ℤ, in Worten ausgedrückt: wenn man irgendeine ganze Zahl mit irgendeiner anderen ganzen Zahl addiert bzw. multipliziert, muss das jeweilige Ergebnis immer eindeutig bestimmt und zudem eine ganze Zahl sein.

Seien X und Y zwei nichtleere Mengen. Dann heißt die Menge

X x Y = { (x; y): xX und yY }

kartesisches Produkt der Mengen X und Y.
(x; y) ∈ X x Y ist ein geordnetes Paar.

Eine Teilmenge R ⊂ X x Y heißt Relation zwischen X und Y.
Wenn (x; y) ∈ R, dann schreibt man hierfür auch x R y.

Die Idee zur Definition der Addition auf lautet gemäß der eben hingeschriebenen (vorläufigen) Definition von so:

Seien a und b ganze Zahlen, das heißt, a ist (eindeutige) Lösung einer Gleichung  m + x = n  und
b ist (eindeutige) Lösung einer Gleichung  m* + x = n*.
Dann soll
a+b die Lösung der Gleichung  (m+m*) + x = (n+n*) sein.

Hierbei wird mit „+“ der neue Summenoperator in und mit „+“ der alte Summenoperator in bezeichnet.

Nun ist es zwar so, dass zu jeder Gleichung  m + x = n  genau eine Lösung gehört (die repräsentiert werden kann durch das geordnete Paar (n; m) ∈ ℕx); umgekehrt lassen sich jedoch zu jedem a ∈ ℤ unendlich viele Gleichungen der Form G1 finden mit der Eigenschaft, a als Lösung zu besitzen.

Sei a   Lösung der Gleichung  m + x = n, dann ist (m + c) + x = (n + c) mit c ∈ ℕ irgendeine der anderen Gleichungen, die a auch als Lösung besitzen.

Jede Zahl z ∈ ℤ wird hiernach unendlich oft durch bestimmte Gleichungen repräsentiert. Das lässt sich besser machen: Sei die Relation R ⊂ ℕ2x2 wie folgt definiert:

(n; m) R (n*; m*)  def  m + n* = n + m*

Dann kann man zwei Dinge zeigen:
(i)  R ist eine Äquivalenzrelation.
(ii) Wenn a ∈ ℤ Lösung der Gleichung  m + x = n  und b ∈ ℤ Lösung der Gleichung  m* + x = n* ist, dann gilt

 a = b   (n; m) R (n*; m*).

Dies führt zur endgültigen Definition der Menge .

, die Menge der ganzen Zahlen, ist gleich der Menge der Äquivalenzklassen von x bezüglich der eben definierten Relation R. Kurz geschrieben:

= 2/R

Die Definition der Addition „+“ lässt sich damit wie folgt formulieren:

a + b = [na, ma] + [nb, mb] =def [na + nb, ma + mb
für alle
  a, b ℤ.

Hierbei stellt [n, m] diejenige Äquivalenzklasse dar, die durch (n; m) ∈ ℕx repräsentiert wird.

Die Addition „+“ ist wohldefiniert.

Beweis:
Es ist zu zeigen, dass die Addition zweier ganzer Zahlen unabhängig von der Wahl ihrer Repräsentanten immer dasselbe Ergebnis liefert.

Seien also a = [na, ma] = [na*, ma*] und b = [nb, mb] = [nb*, mb*] zwei beliebige ganze Zahlen.
Dann gilt für  s = [na, ma] + [nb, mb]  die Gleichung  (na + nb) + s = (ma + mb)  und für
s* = [na*, ma*] + [nb*, mb*]  gilt:  (na* + nb*) + s* = (ma* + mb*).

Nun gilt (ma + mb) + (na* + nb*)
= (ma + na*) + (mb + nb*)  wegen der Rechengesetze in
= (na + ma*) + (nb + mb*)  wegen (na; ma) R (na*; ma*) bzw. (nb; mb) R (nb*; mb*)
= (na + nb) + (ma* + mb*)  wegen der Rechengesetze in ℕ.

Also folgt (na* + nb*; ma* + mb*) R (na + nb; ma + mb) und damit s = s*.

Zwei Fragen bleiben übrig: Was ist mit der Multiplikation in der neuen Menge ? Und wie lässt sich die Menge der natürlichen Zahlen „einbetten“ in ? Beide Fragen hängen aufs Engste miteinander zusammen.

Die Einbettung von in gelingt dann, wenn wir zeigen können, dass eine Teilmenge von x/R dieselbe Struktur besitzt wie . Dann kann diese Teilmenge identifiziert werden mit .

Zunächst hat man mit f: , definiert durch f(n) = [n, 0] für alle n ∈ ℕ eine injektive Abbildung von nach , das heißt, zu jeder natürlichen Zahl existiert eineindeutig eine Zahl aus .
Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass es zu jedem Bild f(n) ∈ ℤ unter der Abbildung f nur ein einziges Urbild n ∈ ℕ gibt ().

Zweitens: für alle natürlichen Zahlen n und m gilt

(L1)       f(n + m) = f(n) + f(m).

Das heißt vereinfacht gesprochen, „+“ macht mit n, m genau das Gleiche wie „+“ mit den zugeordneten f(n) und f(m) ∈ ℤ. Das aber bedeutet, dass die Struktur von und die Struktur von Imf ⊂ ℤ  bezüglich der jeweiligen Addition tatsächlich die gleiche ist, wenn man noch beachtet, dass bezüglich „+“ und bezüglich „+“ dieselben Rechengesetze gelten. Mit  Im bezeichnet man hierbei die Bildmenge von f, genauer gesagt:

Imf = { f(n): n ∈ ℕ } ⊂ ℤ

Sei M eine nichtleere Menge und  „▫“: MxM M eine Abbildung. Dann heißt (M,▫) eine algebraische Struktur.

Seien (V,▫) und (Y,▪) zwei algebraische Strukturen.
Dann heißt h: V Y Homomorphismus, wenn h(v ▫ w) = h(v) ▪ h(w) für alle v, w ∈ V gilt.

Ein injektiver Homomorphismus heißt Monomorphismus (Einbettung).
Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus und (V,▫) und (Y,▪) heißen isomorph, wenn ein Isomorphismus h: V Y existiert. Man schreibt dann V Y.

Die eben definierte Abbildung f: → ℤ ist also ein Monomorphismus und (,+) und (Imf,+) sind isomorph.
Anders ausgedrückt: Durch die Abbildung f wird in eingebettet.

Wegen Imf ≅ ℕ schreibt man für die ganze Zahl [n, 0] auch weiterhin n, die ganze Zahl 0 = [0, 0] wird identifiziert mit der natürlichen Zahl 0, die ganzen Zahlen [0, m] heißen negativ und werden - wie gewohnt - abgekürzt mit (−m). Alle ganzen Zahlen [n, 0] mit n ∈ ℕ* heißen positiv. Die Menge aller positiven ganzen Zahlen wird mit + bezeichnet.

Unter Verwendung dieser Abkürzungen lässt sich die Lösung [n, m] der Gleichung  x + m = n wie folgt schreiben:

[n, m] = [n, 0] + [0, m] = n + (−m).

Führt man ferner für  „n + (−m)“  abkürzend die Schreibweise  „n m“  ein, so hat man

[n, m] = n m.

Hieraus folgt für alle n ∈ ℕ insbesondere  n  n = n + (−n) = [n, 0] + [0, n] = [0, 0] = 0.

Wir haben oben nachgewiesen, dass die Einbettung von in gelungen ist im Hinblick auf die Addition; die Einbettung von in ist allerdings erst dann vollständig, wenn es uns gelingt, eine Multiplikation in so zu definieren, dass auch diesbezüglich alle Rechengesetze, die in gelten, auch in Gültigkeit besitzen und dass gilt:

(L2)        f(n·m) = f(n)·f(m)

Dies klappt mit der folgenden Definition:

[n, m]·[n*, m*]  =def  [n·n* + m·m*, m·n* + n·m*]  
für alle  [n, m], [n*, m*] ℤ.

Diese Multiplikation ist wohldefiniert, kommutativ und assoziativ. Außerdem kann man zeigen, dass (L2) gilt.

Die Menge der ganzen Zahlen lässt sich zusammenfassend wie folgt beschreiben:

(i)+    a + (b + c) = (a + b) + c  für alle a, b, c ∈ ℤ.
(ii)+   Es existiert 0 ∈ ℤ mit  0 + a = a  für alle a ∈ ℤ.
(iii)+  Zu jedem a gibt es ein a*   mit a* + a = 0.
(iv)+  a + b = b + a  für alle a, b ∈ ℤ.


(i)*    a ·(b·c) = (a·b)·c  für alle a, b, c ∈ ℤ.
(ii)*   Es existiert 1 ∈ ℤ mit  1·a = a  für alle a ∈ ℤ.
(iv)*  a·b = b·a  für alle a, b ∈ ℤ.


(v)    a·(b + c) = (a·b) + (a·c)  für alle a, b, c ∈ ℤ.


(vi)   0 · a = 0  für alle a ∈ ℤ.


Beweis:
Die Regeln (i)+, (iv)+, (i)*, (iv)*, (v) und (vi) lassen sich unter Benutzung der Definitionen der Addition „+“ bzw. der Multiplikation „·“ nachrechnen, wenn man − dort wo es erforderlich ist − die Kommutativ- und Assoziativgesetze sowie das Distributivgesetz in beachtet.

Regel (ii)+:
Es gilt  0 + a = [0, 0] + [n, m] = [0 + n, 0 + m] = [n, m] = a
für jedes beliebig gewählte a ∈ ℤ und passend gewählten n, m ∈ ℕ.

Regel (ii)*:
Mit 1 = [1, 0] gilt a = [1, 0]·[n, m] = [1·n + 0·m, 0·n + 1·m] = [n + 0, 0 + m] = [n, m] = a
für jedes beliebig gewählte a ∈ ℤ und passend gewählten n, m  ∈ ℕ.

Es bleibt lediglich noch zu zeigen, dass Regel (iii)+ gilt. Sei dazu a irgendeine ganze Zahl.
Mit passend gewählten natürlichen Zahlen n und m gilt a = [n, m].
Wähle a* = [m, n].
Dann gilt a* + a = [m, n] + [n, m] = [m + n, n + m] = [m + n, m + n] = [0, 0] = 0.
Fertig.

Es lässt sich darüber hinaus zeigen, dass die in Regel (ii)+ mit 0 bezeichnete ganze Zahl und die in Regel (ii)* mit 1 bezeichnete ganze Zahl eindeutig bestimmt sind, das heißt, nur [0, 0] bzw. [1, 0] haben die in (ii)+ bzw. (ii)* beschriebenen Eigenschaften.

Beweis:
Angenommen, es gäbe für alle a ∈ ℤ zwei voneinander verschiedene ganze Zahlen 0 und 0*
mit 0 + a = a bzw. 0* + a = a. Dann würde Folgendes gelten:
0* = 0 + 0* = 0* + 0 = 0 Widerspruch!
Sei ferner angenommen, es gäbe für alle a ∈ ℤ zwei voneinander verschiedene ganze Zahlen 1 und 1*
mit a = a bzw. 1*·a = a. Dann hätte man
1* = 1·1* =  1*·1 = 1 Widerspruch!

Die Menge der ganzen Zahlen ist  bezüglich der in definierten Addition „+“ aufgrund der Eigenschaften (i)+, (ii)+ und (iii)+ eine Gruppe. Wegen der Gültigkeit des Kommutativgesetzes (Regel (iv)+) ist sogar eine Abel’sche Gruppe. Das zu jedem a ∈ ℤ existierende a* mit a* + a = 0 ist eindeutig bestimmt und heißt das „zu a inverse Element“. Das Inverse zu a wird üblicherweise mit (−a) bezeichnet.

Aufgrund der Gültigkeit der Regeln (i)* und (iv)* ist bezüglich der Multiplikation·“ zudem eine Abel’sche Halbgruppe.

Da erstens (,+) eine Abel’sche Gruppe ist,
zweitens (,·) eine kommutative Halbgruppe ist und
drittens das Distributivgesetz gilt
ist (,+,·) ein kommutativer Ring.

Bis jetzt ist es gelungen, aus die Menge zu konstruieren. Die in nicht lösbaren Gleichungen vom Typ G1 sind in lösbar, und zwar auf eindeutige Weise.
Dagegen lassen sich Gleichungen vom Typ G2 auch in nicht lösen! Dies ist der Grund dafür, dass es eine zu (iii)+ analoge Eigenschaft (iii)* nicht gibt, das heißt, dass (,·) keine Gruppe ist. 

Die folgenden Rechenregeln ergeben sich aus den Gesetzen (II)+, (III)+, (IV)+, (V) und (VI).

(1)  (−a) =(−1)·a  für alle a
(2)  (−(ab)) = (−a)b  für alle a, b ∈ ℤ
(3)  0 = (−0)
(4)  (−1)·(−1) = 1
(5)  a = (−(−a))  für alle a ∈ ℤ

Beweis von (1):
Sei (−a) das inverse Element einer beliebig gewählten reellen Zahl a bezüglich „+“.
Dann gilt:
  (−a)
0 + (−a)   wegen (II)+
= a + (−a)   wegen (VI)
= ((−1) +1)·a + (−a)   wegen (III)+
= (−1)·a + 1·a + (−a)   wegen (V)
= (−1)·a + a + (−a)   wegen (II)*
= (−1)·a + (a + (−a))   wegen (I)+  
= (−1)·a + ((−a) + a)   wegen (IV)+  
= (−1)·a + 0   wegen (III)+
= 0 + (−1)· wegen (IV)+
= (−1)· wegen (II)+

Hieraus folgt sofort Regel (2), denn es gilt für alle a, b ∈ ℤ:
(−a)·b = ((−1)·a)·b = (−1)·(a·b) = (−(a·b)).

(−0) = (−1)·0 = 0·(−1) = 0, also gilt Regel (3).

(−1)·(−1) = (−(−1)) = 1  ⇒  Regel (4).

(−(−a)) = (−1)·(−a) = (−1)·((−1)·a) = ((−1)·(−1))·a = a = a für alle a ∈ ℤ.
Hiermit hat man Regel (5).

Unter Beachtung des Distributivgesetzes sind jetzt alle Klammerregeln beweisbar.
Zum Beispiel gilt für alle a, b, c ∈ ℤ:
   a − (b c)
= a + (−(b + (−c)))
= a + (−1)·(b + (−1)·c)
= a + (−1)·b + (−1)·(−1)·c
= a + (−b) + c
= a b + c.

Eine ganze Zahl ist entweder positiv oder negativ oder gleich 0.

Beweis:
Sei a ∈ ℤ.
Dann gibt es n, m ∈ ℕ mit a = [n, m] und man kann drei Fälle unterscheiden:

(i) n = m
In diesem Fall folgt a = [n, n] = [0 + n, 0 + n] = [0, 0] =  0.

(ii) n < m
Dann gibt es ein p ∈ ℕ mit m = n + p und es gilt
a = [n, n + p] = [n + 0, n + p] = [0, p].
Nach Definition ist a damit negativ.

(iii) m < n
Dann gibt es ein p ∈ ℕ mit n = m + p und es gilt
a = [m + p, m] = [m + p, m + 0] = [p, 0],
das heißt: a ist positiv.

Das Produkt zweier positiver ganzer Zahlen ergibt eine positive ganze Zahl.
Das Produkt zweier negativer reeller Zahlen liefert ebenfalls eine positive ganze Zahl.
Ist im Produkt zweier ganzer Zahlen die eine Zahl positiv und die andere negativ, so ist der Produktwert negativ.

Beweis:
Seien a und b zwei ganze Zahlen.

Wenn sowohl a als auch b positiv sind, gilt:
a·b = [a, 0]·[b, 0] = [a·b + 0·0, 0·b + a·0] = [a·b, 0].

Im Falle, dass sowohl a als auch b negativ sind, gilt:
a·b = [0, a]·[0, b] = [0·0 + a·b, a·0 + 0·b] = [a·b, 0].

Sei nun etwa a negativ und b positiv, dann hat man:
a·b = [0, a]·[b, 0] = [0·b + a·0, a·b + 0·0] = [0, a·b].


Die Menge der rationalen Zahlen nach oben

Die ganzen Zahlen wurden im vorigen Abschnitt als Äquivalenzklassen einer passenden Relation auf 2 definiert. Ganz entsprechend lässt sich die Menge der rationalen Zahlen (das ist - grob formuliert - die Menge aller Lösungen der in formulierten Gleichungen x·b = a) konstruieren mit Hilfe einer Relation auf x* mit * = \ { 0 }. Diese Relation ist definiert durch:

(a; b) R (a*; b*)  def  a · b* = b · a*    

Dass diese Definition von der Form her ganz genauso gewählt wird wie die oben in Bezug auf die Relation R auf 2, ist nicht überraschend, denn die Gleichungen vom Typ G2 haben dieselbe Form wie die Gleichungen vom Typ G1. Die Relation R  (x*)2 ist eine Äquivalenzrelation. Die beispielsweise durch (a;b) repräsentierte Äquivalenzklasse soll analog zu oben mit [a, b] bezeichnet werden.

, die Menge der rationalen Zahlen, ist gleich der Menge der Äquivalenzklassen von x* bezüglich der eben definierten Relation R. Mit anderen Worten:

= x*/R

Mit den folgenden Definitionen hat man in eine wohldefinierte Addition und eine wohldefinierte Multiplikation, beide Operationen sind kommutativ und assoziativ.

[a, b] · [a*, b*]  =def  [a·a*, b·b*]   und
[a, b] + [a*, b*]  =def  [a·b* + b·a*, b·b*]  
für alle  [a, b], [a*, b*] ℚ.

lässt sich in einbetten, und zwar mit Hilfe der injektiven Abbildung f: ℤ → ℚ, die durch

f(a) = [a, 1]   für alle a

definiert ist.

Wegen Imf ≅ ℤ schreibt man für die rationale Zahl [a, 1] auch weiterhin „a“, die rationale Zahl 0 = [0, 1] wird identifiziert mit 0 ∈ ℤ, bzw. mit 0 ∈ ℕ, entsprechend wird gesetzt 1 = [1, 1] = 1 = 1.

[a, b] wird gewöhnlich in der bekannten Form a/b geschrieben. Oft schreibt man eine rationale Zahl als Dezimalbruch. Ein Beispiel:

2267/6250 = 3/10 + 6/100 + 2/1000 + 7/10000 + 2/100000 = 0,36272.

Von den rationalen Zahlen r und s heißt r kleiner als s (abkürzend geschrieben: r < s) genau dann, wenn s  r durch einen Bruch m/n repräsentiert werden kann mit m, n  *.
Eine rationale Zahl r heißt positiv, falls 0 < r und negativ, falls r < 0.

Wenn r < 0 oder r = 0 gilt, dann schreibt man abkürzend: r 0.
Statt r < s schreibt man auch s > r.

Es sei r mit r =[m, n] und m, n ∈ ℕ*. Dann lässt sich r in eindeutiger Weise in der Form r = m/n schreiben, wobei entweder n = 1 gilt oder n und m keinen gemeinsamen Teiler haben.

Beweis:
Sei r irgendeine beliebige, aber fest gewählte positive rationale Zahl.
Sei ferner M = { m *: n∈ℕ* mit r = m/n }.
Dann ist M eine nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen und hat somit ein kleinstes Element. 
Dieses kleinste Element von M sei mit m0 bezeichnet.
Es existiert dann nach Definition von M eine natürliche Zahl n0 mit r = m0/n0.
Angenommen, m0 und n0 sind nicht teilerfremd.
Dann existiert eine natürliche Zahl t ∈ ℕ* mit t ǂ 1, so dass
m0 = t·k für ein k ∈ ℕ* und n0 = t·k* für ein k* ∈ ℕ* gilt.
Also folgt r = m0/n0 = t·k/t·k* = k/k* und damit ist kM, und zwar mit k  m0, denn k | m0.
Das ist ein Widerspruch zur Annahme, denn m0 war als kleinstes Element von M vorausgesetzt.

Bis jetzt wurde gezeigt, dass m und n, wie oben behauptet, existieren.
Es bleibt noch zu zeigen, dass m und n durch r eindeutig bestimmt sind.

Seien m, n * mit r = m/n und m* und n* * mit derselben Eigenschaft und
seien sowohl m und n als auch m* und n* teilerfremde Zahlen.
Wegen [m, n] = [m*, n*] hat man m·n* = n·m*
m|n·m* m|m*, letzteres weil m und n teilerfremd sind.
Entsprechend folgt n|n*.
Weil m* und n* keine gemeinsamen Teiler haben, folgt aber umgekehrt ebenso m*|m und n*|n.
Damit hat man aber m = m* und n = n*. Die Behauptung ist bewiesen.

Die Menge der rationalen Zahlen lässt sich zusammenfassend wie folgt beschreiben:

(i)+    r + (s + t) = (r + s) + t  für alle r, s, t ∈ ℚ.
(ii)+   Es existiert 0 ∈ ℚ mit 0 + r = r  für alle r ∈ ℚ.
(iii)+  Zu jedem r gibt es ein r*  mit  r* + r = 0.
(iv)+  r + s = s + r  für alle r, s .


(i)*    r · (s · t) = (r · s) · t  für alle r, s, t ∈ ℚ.
(ii)*   Es existiert 1 ∈ ℚ mit 1 · r = r  für alle r .
(iii)*  Zu jedem r ∈ ℚ \ {0} gibt es ein r* ∈ ℚ \ {0}  mit r* · r = 1.
(iv)*  r · s = s · r für alle r, s .


(v)    r · (s + t) = (r · s) + (r · t)  für alle r, s, t ∈ ℚ.


(vi)   0 · r = 0  für alle r ∈ ℚ.

Bemerkungen:
(,+) und (\{0},·) sind Abel’sche Gruppen.
0 ist das neutrale Element von (,+) und heißt Nullelement von .
1 ist das neutrale Element von (\{0},·) und heißt Einselement von .
Sowohl das Nullelement als auch das Einselement sind eindeutig bestimmt.
Das zu jedem r existierende r* mit r* + r = 0 ist eindeutig bestimmt und wird mit (−r) bezeichnet (inverses Element bezüglich der Addition oder „das Negative von r“).
Ist r = m/n mit m ∈ ℤ und n ∈ ℤ*, dann gilt (−r) = (−m)/n.
Für einen Ausdruck von der Form s + (−t) verwendet man abkürzend die Schreibweise s  t.
Das zu jedem r \{0} existierende r* mit r* · r = 1 ist eindeutig bestimmt und wird  mit r-1 bezeichnet (inverses Element bezüglich der Multiplikation). 

Da erstens (,+) eine Abel’sche Gruppe ist (Regeln (i)+ bis (iv)+),
zweitens (\{0},·) eine Abel’sche Gruppe ist (Regeln (i)* bis (iv)*),
drittens das Distributivgesetz gilt (Regel (v)) und
viertens 0 · r = 0  für alle r gilt,
ist (,+,·) ein Körper.

Bemerkung:
Gewöhnlich wird zwischen den Additionszeichen „+“ in , „+“ in und „+“ in , bzw. den Multiplikationszeichen „·“ in , „·“ in und „·“ in nicht unterschieden. Stattdessen werden in der Regel nur die Zeichen „+“ und „·“ verwendet. Entsprechendes gilt für die jeweiligen Null- bzw. Einselemente. Manchmal - vor allem in den Beweisen - ist es allerdings ganz nützlich, inhaltlich Unterschiedliches auch in der Schreibweise voneinander klar zu unterscheiden.

Die Möglichkeit, im nächsten Erweiterungsschritt die Menge der reellen Zahlen zu konstruieren, beruht ganz wesentlich auf der Tatsache, dass man die rationalen Zahlen anordnen kann.

Für die Ordnungsrelation < gilt für alle r, s ∈ ℚ genau eine der folgenden Beziehungen:

r < s,  r = s,  r > s 

Dieser Sachverhalt wird als Trichotomieeigenschaft der rationalen Zahlen bezeichnet.

Ferner gilt für alle r, s, t ∈ ℚ:

r < s  und  s < t    r < t
r < s   r + t < s + t
r > 0  und  s > 0    r · s > 0

Beweis:
(1) Die Trichotomie in ergibt sich direkt aus der Definition der Relation <.

(2) Seien r, s, t mit r < s und s < t. Dann gilt nach Definition  0 < s r  und 0 < t  s.
Also gilt 0 < (s r) + (t s). Hieraus ergibt sich
(s r) + (t s) = s + (−r) + t + (−s) = s + (−s) + t + (−r) = 0 + (t r) = (t r) > 0,
was zu zeigen war.

(3) r + t < s + t  ist nach Definition äquivalent mit (s + t) (r + t) > 0.
Aufgrund der Tatsache, dass ein Körper ist, lässt sich folgende Rechnung aufmachen:
   (s + t) (r + t)
= (s + t) + (−1)· (r + t)  nach Definition
= (s + t) + (−1)·r + (−1)·t  wegen (v)
= ((−1)·t + t) + (s + (−1)·r)  wegen (i)+ und (iv)+
= ((−t) + t) +(s + (−r))  nach Definition
= 0 + (s + (−r))  wegen (iii)+
= s + (−r)  wegen (ii)+
= s r  nach Definition.
Die Ungleichung (s + t) (r + t) > 0 ist demnach gleichbedeutend mit s r > 0.
Hieraus folgt die Behauptung.

(4) Diese Aussage folgt sofort aus der Definition der Multiplikation in .

Aufgrund der Trichotomieeigenschaft der rationalen Zahlen ist die folgende Definition möglich:

Für alle r ∈ ℚ ist der Absolutbetrag von r (kurz abs(r) oder |r| geschrieben) erklärt durch

Definition des Absolutbetrages

Sei ε irgendeine positive rationale Zahl, dann gilt für alle r ∈ ℚ:

|r| 0
Entweder gilt  r = |r| oder es gilt  r = −|r|.
|r| ε  −ε r ε

Beweis:
Die ersten beiden Aussagen sind klar.

Beweis der dritten Aussage:
“: Sei |r| ε. Fall 1: r = |r|. Dann folgt r ε. Wegen ε > 0 gilt −ε < 0  |r| und damit  −ε  r.
Fall 2: r = −|r|. Dann folgt −r ε und somit −ε r. Wegen r = −|r| ist r  0. Also gilt r  ε.
Insgesamt folgt also in jedem Fall −ε r ε.
“: Sei −ε r ε. Dann folgt |r| ε sowohl für r = |r| als auch für r = −|r| unmittelbar.

Es folgen für r, s, r*, s* ∈ ℚ einige Regeln für den Umgang mit Ungleichungen bzw. mit Beträgen:

(1) r s und r* s* r + r* s + s*
(2) r s −r −s
(3) r s und r* s* r · r* s · s* für r, r* > 0
(4)  −|r| r |r|
(5) |−r| = |r|
(6) |r · s| = |r|·|s|
(7) |r + s| |r| + |s|
(8) |r s| ||r| |s||

Beweise:

zu (1):
Sei r s und r* s*. Aus r s folgt r + r* s + r*.
Wegen r* s* hat man s + r* s + s*. Hieraus folgt die Behauptung.

zu (2):
Das zu jeder rationalen Zahl gehörende inverse Element ist eindeutig bestimmt.
Also gilt auch −r = −s, falls r = s.
Sei nun r < s. Dann wird (s r) durch einen Bruch m/n repräsentiert mit m, n  *.
Mit anderen Worten: (s r) ist positiv.
Mit s r = s + (−r) = −r + s = −r + (−(−s)) = −r (−s) folgt
−s < −r und dies ist dasselbe wie −r > −s, woraus −r −s folgt.

Dem Beweis von (3) liegt das Prinzip der vollständigen Induktion zugrunde:
Sei r s. Dann gilt offensichtlich auch r·1 s·1 (Induktionsanfang).
Angenommen, es wäre r·t s·t  für irgendeine positive rationale Zahl t bereits bewiesen.
In gilt das Distributivgesetz. Dann hat man mit Regel (1) wegen r s auch
r·(t + 1) s·(t + 1) (Induktionsschluss).
Also gilt r   r · r* s · r* für jede positive rationale Zahl r*.
Ebenso gilt mit r* s* die Ungleichung s · r* s · s* für jede positive rationale Zahl s.
Hieraus folgt die Behauptung.

zu (7):
zu zeigen: |r + s| |r| + |s| (Dreiecksungleichung):
Für r = 0 oder s = 0 ist die Dreiecksungleichung offensichtlich wahr.
Unter der Voraussetzung, dass sowohl r als auch s von 0 verschieden sind, gilt |r|+|s| > 0.
Unter Verwendung der Regel (4) folgt 
−(|r| + |s|)   r + s   |r| + |s| und damit |r + s| |r| + |s|.


Die Menge der reellen Zahlen nach oben

Im Körper der rationalen Zahlen sind die Gleichungen

(G1) r + x = s   mit  r, s
(G2) r · x = s   mit  r \ {0}  und  s

immer lösbar. Das bedeutet, dass sich stets eine (eindeutig bestimmte) rationale Zahl für die Unbekannte x finden lässt um (G1) bzw. (G2) zu einer wahren Aussage zu machen, egal wie die rationalen Zahlen r und s gewählt werden. Die einzige Einschränkung besteht darin, dass in der Gleichung (G2) der Faktor r nicht 0 sein darf.

Mit den Schreibweisen  x = s − r  bzw.  x = s : r wird verabredet, was unter der Subtraktion bzw. unter der Division innerhalb von verstanden werden soll.

Was fehlt? Nun, die Gleichung

(G3) xn = r   mit  r + und n

ist im Allgemeinen in nicht lösbar; es gibt also irrationale Zahlen.

Beispielsweise ist die Quadratwurzel aus 2 (das ist die Lösung der Gleichung  x2 = 2) keine rationale Zahl (Beweis siehe oben), obwohl man an der Existenz dieser Zahl vielleicht nicht zweifeln mag, wenn man sich beispielsweise mit dem Heron-Algorithmus  beschäftigt hat. Dieser Algorithmus liefert mit einem willkürlich gewählten Startwert eine Zahlenfolge rationaler Zahlen, mit Hilfe derer man etwa die Quadratwurzel von 2 mit beliebig vorgegebener Genauigkeit bestimmen kann.

i xi xi2
0 3,0000000000 9,0000000000
1 1,8333333333 3,3611111111
2 1,4621212121 2,1377984389
3 1,4149984299 2,0022205566
4 1,4142137800 2,0000006157
5 1,4142135624 2,0000000000

Man kann sich der Quadratwurzel aus 2 noch auf eine ganz andere Art nähern (nicht ganz so schnell, aber vielleicht auf gewissermaßen „natürlichere“ Art):

Tabelle i, xi, xi^2

Für die Näherungsbrüche x0 = 1, x1 = 1,4,  x2 = 1,41, ... gilt  xm xn xm + 1/10m für n > m, also insbesondere

|xn − xm| 1/10  für alle m, n k,

wobei die natürliche Zahl k beliebig gewählt werden kann. Diese Ungleichung wird (in allgemeinerer Form) wesentlich sein, wenn es darum geht, rationale Fundamentalfolgen (Cauchyfolgen) zu definieren, mit denen es gelingen wird, die Menge der reellen Zahlen zu konstruieren.

Die Erweiterung der Zahlenmenge wird ganz anders vonstatten gehen müssen wie die Erweiterung von nach oder die Erweiterung von nach , denn die Struktur der Gleichung (G3) ist verschieden von der der  Gleichungen (G1) und (G2). Zudem liegt natürlich die Frage nahe, ob sich alle irrationale Zahlen als Lösungen einer Gleichung vom Typ G3 darstellen lassen, oder ob es noch weitere irrationale Zahlen „anderer Art“ gibt. Und - wenn ja - wie kann man sich sicher sein, dass man wirklich alle irrationalen Zahlen irgendwann einmal gefunden hat?

Die Konstruktion der Menge der reellen Zahlen (das ist die Gesamtheit aller rationalen und irrationalen Zahlen) ist auf verschiedene Art möglich (mit Hilfe von Intervallschachtelungen, mit Hilfe von Dezimalbruchentwicklungen, mit Hilfe der Dedekind'schen Schnitte, mit Hilfe von Capellipaaren oder mit Hilfe von Cauchyfolgen).  Der letztgenannte Weg soll nachstehend beschrieben werden.

Unter Verwendung des in erklärten Absolutbetrages lässt sich zunächst der fundamentale Begriff der Cauchyfolge definieren:

Sei M irgendeine Menge. Eine Funktion f:   M nennt man eine Folge.
Ist M eine Zahlenmenge, dann nennt man f eine Zahlenfolge.
Statt f(0), f(1), f(2), f(3), ... für die aufzählende Beschreibung einer Folge wird meist die Schreibweise
f0, f1, f2, f3,... verwendet.
Mit fn wird ein Folgenglied bezeichnet.
Eine Folge wird mit (fn) oder genauer mit (fn)n=0..  bezeichnet.

Eine Folge besteht nach vorstehender Definition immer aus unendlich vielen Folgengliedern. Manchmal unterscheidet man dagegen streng zwischen den Begriffen „unendliche Folge“ und „endliche Folge“. Da in diesem Kapitel aber nirgendwo endliche Folgen vorkommen, ist es zweckmäßig, einfach von „Folge“ zu sprechen.

Eine Zahlenfolge f:     heißt Cauchyfolge, falls Folgendes gilt:
Zu jedem positiven ε ∈ ℚ existiert ein (von ε abhängiges) N  , so dass gilt:

 |f(m) − f(n)| < ε   für alle  m, n  N

Anschaulich bedeutet das, dass die Folgenglieder einer Cauchyfolge mit größer werdendem Folgenindex immer „näher zusammenrücken“.

Die Cauchyfolgen sind benannt nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857).

Die Dezimalbruchentwicklung der Quadratwurzel aus 2 (siehe oben) ist so eine Cauchyfolge. Die Idee liegt nahe, die irrationale Quadratwurzel aus 2 mit eben solchen rationalen Cauchyfolgen zu repräsentieren, und nicht nur speziell die Quadratwurzel aus 2, sondern jede irrationale Zahl. Damit das funktioniert, müssen einige Fragen beantwortet werden:

1. Wann definieren zwei verschiedene Cauchyfolgen ein und dieselbe irrationale Zahl?
(Diese Frage wird dann gelöst sein, wenn es gelingt, auf der Menge aller Cauchyfolgen FC eine Äquivalenzrelation zu definieren.)
2. Ist es möglich, in FC eine Addition, eine Multiplikation und eine Division zu definieren?
(Insbesondere muss gezeigt werden, dass die zu definierenden Rechenoperationen wohldefiniert sind.)
3. Lässt sich die Menge der rationalen Zahlen in die neu zu konstruierende Menge der reellen Zahlen einbetten, das heißt, kann man eine Teilmenge von mit identifizieren?

Die Antworten auf diese Fragen lassen sich nicht ganz einfach haben.
Es beginnt mit der Untersuchung rationaler Zahlenfolgen.

Eine Folge rationaler Zahlen (an) heißt Nullfolge, falls zu jeder positiven Zahl ε    ein N   existiert, so dass gilt:

|an| < ε   für alle  n  N.


Eine rationale Zahlenfolge (an) heißt konvergent, falls es eine Zahl a   gibt, so dass (an − a) eine Nullfolge ist, das heißt: zu jeder positiven Zahl ε    gibt es ein N  , so dass

 |an  − a)| < ε   für alle  n  N.

a heißt Grenzwert der Folge (an) und man schreibt abkürzend

an a  (n → ∞).

Eine Folge, die nicht konvergent ist, heißt divergent.

Beispiele:
Die Folge (an), definiert durch a0 = 1; an = 1/n für alle n ∈ ℕ*, ist eine Nullfolge.
Die Folge (bn), definiert durch bn = 3·n/(2·n+10) für alle n ∈ ℕ,  ist konvergent und strebt gegen 3/2.
Die Folge (cn), definiert durch cn = n2 für alle n ∈ ℕ, ist divergent.

Jede konvergente Folge rationaler Zahlen (an) ist eine Cauchyfolge.

Beweis:
Sei a ∈ ℚ der Grenzwert der Folge (an) und sei irgendein positives ε   beliebig vorgegeben.
Dann existiert eine natürliche Zahl N ∈ ℕ, so dass 
|an − a| < ε/2  für alle n  N  und  |am − a| < ε/2  für alle m  N.
Es folgt |an − am| = |an − a + a − am|   |an − a| + |a − am|< ε/2 + ε/2 = ε für alle m, n  N.
Also ist (an) eine Cauchyfolge.

Die Umkehrung dieses Satzes ist nicht richtig!

Jede Cauchyfolge ist beschränkt, das heißt: es gibt für jede Cauchyfolge (an) ein rmax  , so dass

|an| rmax   für alle  n ∈ ℕ.

Beweis:
Gegeben sei eine beliebige Cauchyfolge (an). 
Dann gibt es eine natürliche Zahl N ∈ ℕ mit |an − am| < 1 für alle m, n  N.
Unter Benutzung der Dreiecksungleichung hat man
|an| = |an  − am + am|   |an  − am | + |am| < 1 + |am| für alle m, n  N.
Insbesondere gilt deswegen |an|   |an  − aN | + |aN| < 1 + |aN| für alle n  N.
Man setze Nmax =def {|a0|, |a1|, ... ,|aN-1|, 1 + |aN|}.
Dann folgt |an| Nmax  für alle n ∈ ℕ und damit die Behauptung.

Auf FC (Menge aller Cauchyfolgen) lassen sich eine Addition und eine Multiplikation wie folgt definieren:
Für f, g FC soll für alle n ∈ ℕ (f+g)(n) =def f(n) + g(n)  und  (f ·g)(n) =def f(n)·g(n) gelten. Diese Definitionen bedeuten, dass zwei Cauchyfolgen f und g addiert (bzw. multipliziert) werden, indem jeweils die einzelnen Folgenglieder von f und g addiert (bzw. multipliziert) werden.

Diese Definition macht nur dann Sinn, wenn wir zeigen können, dass die Summe, bzw. das Produkt zweier Cauchyfolgen immer wieder eine Cauchyfolge ergeben.

Beweis:
Gegeben seien zwei Cauchyfolgen f: n an und g: n bn.
Sei ferner irgendein positives ε ∈ ℚ beliebig vorgegeben.
Dann existiert ein Na ∈ ℕ mit |an − am| < ε/2 für alle m, n  Na.
Ebenso existiert ein Nb ∈ ℕ mit |bn − bm| < ε/2 für alle m, n  Nb.
Sei Nab = max (Na, Nb). Dann folgt:
|(an + bn) − (am + bm)| = | an − am + bn − bm| |an − am| + |bn − bm| < ε für m, n  Nab.

(an) und (bn) sind als Cauchyfolgen beschränkt.
Also gibt es ein A ∈ ℕ mit |an| A für alle n ∈ ℕ und es gibt ein B ∈ ℕ mit |bn B für alle n  .
Sei N = max (A, B) und ε > 0 wieder beliebig vorgegeben.
Dann existiert ein Na* ∈ ℕ mit |an − am| < ε/(2N) für alle m, n  Na*.
Ebenso existiert ein Nb* ∈ ℕ mit |bn − bm| < ε/(2N) für alle m, n  Nb*.
Sei N* = max (Na*, Nb*). Dann folgt für m, n  N*:
   |(an·bn) − (am·bm)|
= |(an·bn) − an·bm + an·bm − (am·bm)|
|an·(bn − bm)| + |bm ·(an − am)| 
|an|·|(bn − bm)| + |bm| ·|(an − am)| 
   A  ·    ε/(2N)      +   B    ·    ε/(2N) 
   N  ·    ε/(2N)      +   N    ·    ε/(2N) 
   ε, was zu beweisen war.

Die Verknüpfungen „+“ und „·“ in FC sind wegen der Rechengesetze in selbstverständlich assoziativ, kommutativ und es gilt das Distributivgesetz.
Die Folge (−) ist definiert durch (−f )(n) =def  f (n).
Für den Ausdruck f (−g) schreibt man kürzer f  g.

Wenn (an) eine Cauchyfolge ist, dann tritt genau einer der folgenden drei Fälle ein: 

(1) (an) ist eine Nullfolge.
(2) (an) ist eine „Positivfolge“, das heißt,
es gibt eine positive rationale Zahl r und eine natürliche Zahl N mit an > r für n > N.
(3) (an) ist eine „Negativfolge“, das heißt,
es gibt eine negative rationale Zahl r und eine natürliche Zahl N mit an < r für n > N.

Beweis:
Offensichtlich schließen sich die drei angegebenen Fälle gegenseitig aus.

Angenommen, (an) sei keine Nullfolge.
Dann gibt es ein ε > 0 und eine Teilfolge natürlicher Zahlen (m[i]) mit
m[0] < m[1] < m[2] < ...  mit |am[i]| > ε.

(an) ist eine Cauchyfolge.
Also gibt es eine natürliche Zahl k mit |an − am[k]| < ε/2 für alle n > m[k].
Diese Ungleichung ist gleichbedeutend mit  − ε/2 < an − am[k] < ε/2.
Daraus folgt für alle n > m[k]:  am[k]  − ε/2 < an < am[k] + ε/2.
Fall 1: am[k] > ε   a > ε/2  (wegen  am[k]  − ε/2 < an)   (an) ist eine Positivfolge.
Fall 2: am[k] < −ε a < − ε/2  (wegen an < am[k] + ε/2)  (an) ist eine Negativfolge. 
Hiermit ist die Behauptung bewiesen.

Sei nun die Relation R~ FCxFC wie folgt definiert:

(an) R~ (bndef  (an − bn) ist eine Nullfolge.

R~ ist eine Äquivalenzrelation auf FC und mit (an) R~ (bn) und (a*n) R~ (b*n) gilt auch
(an + bn) R~ (a*n + b*n) und (an·bn) R~ (a*n·b*n). Der Beweis hierzu lässt sich leicht führen.

Mit der bereits gewohnten Abkürzung [an] soll die Menge aller derjenigen Cauchyfolgen (a*n) bezeichnet werden, die zu einer gegebenen Cauchyfolge (an) äquivalent sind.

Seien (an) und (bn) zwei Cauchyfolgen, die keine Nullfolgen sind.
Ferner sei
an ǂ 0 und bn ǂ 0  für alle n .
Wenn (an) R~ (bn), dann sind (an-1) und (bn-1) Cauchyfolgen und es gilt (an-1) R~ (bn-1).

Beweis:
Da (an) und (bn) nach Voraussetzung keine Nullfolgen sind, gibt es ein N   und eine positive rationale Zahl r, so dass für alle n > N die Ungleichungen |an| > r und |bn| > r erfüllt sind.
Daraus folgt für alle m, n > N
|1/an −1/am| = |(am − an)/(an·am)| = |am − an|/|an·am| < |am − an|/r2.
Ebenso folgt für alle n > N: |1/bn − 1/an| < |an − bn|/r2.
Hieraus folgen die Behauptungen.

Nunmehr kann die Menge der reellen Zahlen definiert werden, samt aller benötigten Rechenoperationen in dieser Zahlenmenge (Cantorkonstruktion von ). Die Idee für die nachfolgend beschriebene Konstruktion der Menge der reellen Zahlen hat Georg Cantor (1845 - 1918) - allerdings unter Verwendung anderer Begriffe - erstmals im Jahr 1872 in seiner Schrift über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen veröffentlicht. 

, die Menge der reellen Zahlen, ist gleich der Menge der Äquivalenzklassen von FC bezüglich der eben definierten Relation R~. Mit anderen Worten:

= FC/R~

Jeder rationalen Zahl r kann die Klasse aller konstanten Cauchyfolgen (an) mit an = r für alle n eindeutig zugeordnet werden, mit anderen Worten: lässt sich in einbetten.

Da sich die möglichen Typen von Cauchyfolgen („Nullfolge“, „Positivfolge“, „Negativfolge“) gegenseitig ausschließen, ist die folgende Definition möglich.

Sei x eine reelle Zahl, das heißt, x wird nach Definition repräsentiert durch eine Cauchyfolge (an FC, kürzer ausgedrückt: x = [an].
Dann soll gelten

x = 0  def  (an) ist eine Nullfolge
x > 0  def  (an) ist eine Positivfolge
x < 0  def  (an) ist eine Negativfolge


Sei x und y ∈ ℝ mit x = [an] und y = [bn]. Dann definiert man

x + y  =def  [an + bn
x · y  =def  [an· bn
x − y  =def  x + (−y) = [an − bn]

Durch diese Definitionen behalten die Rechengesetze, die in FC gelten, auch in ihre Gültigkeit.
(,+,·) ist genauso wie (,+,·) ein kommutativer Körper, das heißt, es gilt:

(I)+    x + (y + z) = (x + y) + z  für alle x, y, z ∈ ℝ.
(II)+   Es existiert 0 ∈ ℝ mit  0 + x = x  für alle x ∈ ℝ.
(III)+  Zu jedem x ∈ ℝ gibt es ein x* ∈ ℝ  mit  x* + x = 0.
(IV)+  x + y = y + x  für alle x, y ∈ ℝ.


(I)*    x·(y·z) = (x·y)·z  für alle x, y, z ∈ ℝ.
(II)*   Es existiert 1 ∈ ℝ mit 1·x = x  für alle x ∈ ℝ.
(III)*  Zu jedem x ∈ ℝ \ {0} gibt es ein x* ∈ ℝ  mit x*·x = 1.
(IV)*  x·y = y·x für alle x, y ∈ ℝ.


(V)    x·(y + z) = (x·y) + (x·z) für alle x, y, z ∈ ℝ.


(VI)   0·x = 0  für alle x ∈ ℝ.

Es sind die gleichen Gesetze wie die, die in gelten!

0 ist das neutrale Element von (,+) und heißt Nullelement von .
1 ist das neutrale Element von (\{0},·) und heißt Einselement von .
Sowohl das Nullelement als auch das Einselement sind eindeutig bestimmt.
Das zu jedem x existierende x* mit x* + x = 0 ist eindeutig bestimmt und wird mit (−x) bezeichnet (inverses Element bezüglich der Addition oder „das Negative von x“).
Für einen Ausdruck von der Form x + (−y) verwendet man abkürzend die Schreibweise x − y.
Das zu jedem x \{0} existierende x* mit x*·x = 1 ist eindeutig bestimmt und wird  mit x-1 bezeichnet (inverses Element bezüglich der Multiplikation).
Für das Produkt x·y wird meist abkürzend nur xy geschrieben.

Die folgenden Rechenregeln für reelle Zahlen ergeben sich allein aus den Gesetzen (II)+, (III)+, (IV)+, (V) und (VI).

(1)  (−x) =(−1)·x  für alle x ∈ ℝ
(2)  (−(xy)) = (−x)y  für alle x, y ∈ ℝ
(3)  0 = (−0)
(4)  (−1)·(−1) = 1
(5)  x = (−(−x))  für alle x ∈ ℝ

Der Beweis dieser Regeln wurde bereits geführt (die Gesetze (II)+, (III)+, (IV)+, (V) und (VI) gelten sinngemäß bereits für die Menge der ganzen Zahlen!)

Das Produkt zweier positiver reeller Zahlen ergibt eine positive reelle Zahl.
Das Produkt zweier negativer reeller Zahlen liefert ebenfalls eine positive reelle Zahl.
Ist im Produkt zweier reeller Zahlen die eine Zahl positiv und die andere negativ, so ist der Produktwert negativ.

Beweis:
Seien x und y zwei reelle Zahlen.

Sei zunächst x > 0 und y > 0.
Also werden x = [an]  und  y = [bn]  repräsentiert durch
Positivfolgen
(an) Fbzw. (bn) FC
Also gibt es eine positive rationale Zahl ra und eine natürliche Zahl Na mit an > ra für n > Na.
Ebenso gibt es eine positive rationale Zahl rb und eine natürliche Zahl Nb mit bn > rb für n > Nb.
Hieraus folgt an·bn > ra·rb für n > max (Na, Nb) und damit die Behauptung.

Sind x und y beide negativ, so ist dies gleichbedeutend damit, dass (−x) und (−y) positiv sind.
Also gilt in diesem Fall (−x)·(−y) > 0.
Mit (−x)·(−y) = (−(x·(−y))) = (−((−y)·x)) = (−(−(y·x))) = y·x = x·y folgt die zweite Aussage.

Ist x > 0 und y < 0, so gilt (−y) > 0 und dann ist x·(−y) positiv.
Wegen x·(−y) = (−y)·x = (−(y·x)) ist auch (−(y·x)) positiv.
Also ist y·x negativ.

Seien x und y reelle Zahlen mit y ǂ 0. Dann heißt  xy-1  Quotient von x und y und wird mit x/y  bezeichnet.
xn heißt n-te Potenz von x und wird wie folgt induktiv definiert:

Sei x ∈ ℝ und n ∈ ℕ. Dann soll gelten:

x0 =def  1

xn =def  xn−1  für alle n 1

Ferner wird definiert:

xn  =def  1/xn 

Mit den folgenden Definitionen ist es möglich, die reellen Zahlen anzuordnen:

Seien x und y reelle Zahlen mit x ǂ y. Dann soll gelten:

x < y def  x − y < 0
x = y def  x − y = 0
x > y def  x − y > 0

Für die Ordnungsrelation < gilt somit für alle x, y ∈ ℝ genau eine der folgenden Beziehungen:

x < y,  x = y,  y < x 

Dieser Sachverhalt wird als Trichotomieeigenschaft der reellen Zahlen bezeichnet.

Ferner gilt für alle x, y, z ∈ ℝ:

x < y  und  y < z    x < z
x < y   x + z < y + z

Beweis der ersten Aussage:
Sei x < y und y < z. Dann gilt nach Definition x − y < 0  und  y − z < 0.
Also werden x − y = [an]  und  y − z = [bn]  repräsentiert durch
Negativfolgen
(an) Fbzw. (bn) FC.
Es gibt demnach eine negative rationale Zahl ra und eine natürliche Zahl Na mit xn < ra für n > Na.
Ebenso existiert eine negative rationale Zahl rb und eine natürliche Zahl Nb mit yn < rb für n > Nb.
Folglich gibt es eine negative rationale Zahl r, so dass für alle n > max (Na, Nb)  gilt: an + bn < r.
Also ist (an + bn) auch eine Negativfolge und es gilt [an + bn] = (x − y) + (y − z) = x − z < 0.

Beweis der zweiten Aussage:
Diese Ungleichung wurde bereits für bewiesen.
Der Beweis in ist von der Form her identisch.

Für die Ordnungsrelation < auf gelten die gleichen Regeln, die oben bereits für notiert worden sind ().
Insbesondere besitzen die reellen Zahlen wie auch die rationalen Zahlen die Eigenschaft der Trichotomie.
Deswegen lässt sich die für gültige Definition des Absolutbetrages für ohne Weiteres übernehmen.
Für alle x ∈ ℝ gilt demgemäß:

Definition des Absolutbetrages

Die Betragsfunktion abs: x |x| gestattet es, auf eine Metrik zu definieren:

Sei M irgendeine Menge.
Eine Funktion d: MxM → ℝ  heißt genau dann Metrik auf M, wenn für alle x, y, z ∈ M  Folgendes gilt:

d(x,y) = 0  ⇔  x = y
d(x,y) = d(y,x)
d(x,y) d(x,z) + d(z,y)

Eine Menge mit einer Metrik (M, d) heißt metrischer Raum.

d(x,y) nennt man gewöhnlich den Abstand der Punkte x und y.
Die Ungleichung  d(x,y) d(x,z) + d(z,y) heißt Dreiecksungleichung.

und werden mit

d(x,y) =def |y − x|  
für alle
x, y ∈ ℚ   bzw.  für alle x, y ∈ ℝ

zu metrischen Räumen.

Sei auf einem Körper (K,+,·) eine Ordnungsrelation < definiert, dann heißt (K,+,·) genau dann archimedisch angeordnet, wenn zu jedem x K eine natürliche Zahl n ∈ ℕ existiert mit

n  > x.

Sowohl als auch sind archimedisch angeordnete Körper.

Beweis:
Es gilt 0 < 1. Denn da 0 ǂ 1 ist, muss entweder 0 < 1 oder 1 < 0 sein.
Aus 1 < 0 würde allerdings 1·1 > 0 und damit 1 > 0 folgen. Widerspruch!

Für negative x gilt  x < 0 < 1.
Gemäß der Cantorkonstruktion von gilt für das Nullelement und das Einselement von
0 = (0)n∈ℕ = 0 = 0 = 0  bzw.  1 = (1)n∈ℕ = 1 = 1 = 1 = succ(0).
Hieraus folgt die Behauptung sowohl für nichtpositive rationale als auch für nichtpositive reelle Zahlen.

Sei x nun eine positive reelle Zahl.
Wegen ℕ ⊂ ℝ gibt es die Menge Nx = {n ∈ ℝ: n ∈ ℕ und n x}.
Nx ist nicht leer, denn sie enthält mindestens 0 als Element.
Sei m die größte Zahl in Nx, das heißt: m n für alle n Nx.
Wegen der Trichotomieeigenschaft der reellen Zahlen gilt insbesondere für m+1
entweder
 m+1 > x  oder  m+1 x.
m ist allerdings nach Annahme bereits das größte Element in Nx.
Also folgt m+1 > x.
Damit gilt auf jeden Fall succ(m) > x.
Ersetzt man in der vorstehenden Argumentation durch , so ergibt sich dasselbe Resultat.

Innerhalb der Menge der reellen Zahlen gelten folgende Regeln:

x < y  und  0 < z    xz < yz
x < y   und  z < 0     xz > yz
0 < x < y     0 < 1/y < 1/x

Beweis der ersten Regel:
    x < y
x + (−x) < y + (−x)
0 < y − x
Wegen 0 < z folgt 0 < (y − x)·z.
0 < yz − xz
xz < yz.

Beweis der zweiten Regel:
Aus z < 0 folgt 0 < (−z).
Mit der eben bewiesenen Regel folgt wegen x < y
x(−z) < y(−z)
−xz < −yz
0 < xz −yz
yz < xz.

Beweis der dritten Regel:
Wegen x > 0 und x·(x-1) = 1 > 0 ist (x-1) positiv.
Mit x < y folgt dann mit der ersten Regel x·(x-1) < y·(x-1).
1 < y·(x-1)
1·(y-1) < y·(x-1)·(y-1)  (nochmalige Anwendung der ersten Regel!)
1/y < 1/x.

Zu jeder positiven Zahl ε gibt es eine natürliche Zahl N, so dass Folgendes gilt:

1/n < ε   für alle n ∈ ℕ mit n > N

Beweis:
Sei ε > 0 beliebig gewählt.
Da archimedisch angeordnet ist, gibt es eine natürliche Zahl N mit 1/ε < N.
Ist n ∈ ℕ mit n > N, so folgt sofort 1/ε < n.
Hieraus folgt unter Benutzung der eben bewiesenen Rechenregeln, dass 1/n < ε.

Die Motivation zur Konstruktion der reellen Zahlen zu Beginn dieses Abschnitts war die Feststellung, dass es im Allgemeinen nicht möglich ist, Gleichungen vom Typ G3, nämlich  xn = r  mit  r ∈ ℚ+ und n ∈ ℕ innerhalb der Menge der rationalen Zahlen zu lösen.

Es sei nun r ∈ ℚ+ und p eine von 0 verschiedene natürliche Zahl.
Dann gibt es genau eine positive Zahl x
∈ ℝ  mit xp = r.

Beweis:
Einerseits muss gezeigt werden, dass eine solche reelle Zahl x existiert,
andererseits ist zu zeigen, dass diese eindeutig bestimmt ist.

(i) Eindeutigkeit. Angenommen, es gibt zwei positive reelle Zahlen x und y mit x ǂ y und xp = yp = r.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei x < y.
Dann folgt mit vollständiger Induktion, dass xp < yp, denn aus xp−1 < yp−1 folgt
mit dem Induktionsanfang x < y, dass xp−1·x < yp−1· y (alle beteiligten Terme sind positiv!).
Also ergibt sich xp < yp, und dies ist ein Widerspruch zur Annahme!

(ii) Existenz. Im Falle, dass die Gleichung xp = r mit einer rationalen Zahl gelöst werden kann,
ist nichts mehr zu zeigen. Also wird für die folgende Argumentation angenommen, dass x irrational ist.
In diesem Fall lässt sich eine rationale Zahlenfolge (xn) definieren,
so dass folgende Eigenschaften für alle n gültig sind:

rationale Zahlenfolge
xnp < r < (xn + 10−n)p

Hierbei ist d0 eine nichtnegative ganze Zahl und dk sind natürliche Zahlen mit  0  dk  9 
für alle k = 1, 2, ..., n.

Beispiel: r = 7; p = 2:

n xn xnp xn + 10−n (xn + 10−n)p
0 2 4 3 9
1 2,6 6,76 2,7 7,29
2 2,64 6,9696 2,65 7,0225
3 2,645 6,996025 2,646 7,001316
.. ... ... ... ...

Es gilt |xn − xm| 1/10für alle m, n k, wobei die positive natürliche Zahl k beliebig vorgegeben werden kann. Also ist die Folge (xn) eine Cauchyfolge und es gilt x = [xn] ∈ ℝ.
Nach Definition der Folge (xn) gilt xn xn+1 für alle n ∈ ℕ und  xn xm xn + 10−n für alle m > n.
Also ist  xn x xn + 10−n für alle m > n und damit auch xnp xp (xn + 10−n)p für alle m > n.
Aus xnp < r < (xn + 10−n)p  und  xnp xp (xn + 10−n)p   folgt
|xp  − r| (xn + 10−n)p − xnp für alle n ∈ ℕ.
Setzt man zn= xn + 10−n, so gilt xn zn d0 + 1 für alle n ∈ ℕ und somit hat man
|xp  − r| znp − xnp
             = (zn − xn)·(znp-1·xn0 + znp-2·xn1 + znp-3 ·xn2 + ... + zn1·xnp-2 + zn0·xnp-1)
             10−n·(p·znp) 10−n·p·(d0 + 1)p.
Also lässt sich für jede positive Zahl ε ∈ ℚ ein N ∈ ℕ finden, so dass Folgendes gilt:
|xp  − r| 10−N·p·(d0 + 1)p ε, womit die Behauptung bewiesen ist.

Merkwürdig: In und in gelten die gleichen Rechenregeln (sowohl (,+,·) als auch (,+,·) sind Körper). Beide Körper sind angeordnet durch Ordnungsrelationen < mit gleichen Eigenschaften. Sowohl die Menge der rationalen Zahlen als auch die Menge der reellen Zahlen sind metrische Räume mit der gleichen Metrik. Beide Zahlenmengen umfassen unendlich viele Elemente. Wieso sind Gleichungen vom Typ G3, also xn = r mit n * und r ∈ ℚ+, in im Allgemeinen nicht lösbar, aber in immer? Irgendetwas muss in grundsätzlich anders sein als in . Aber was? Die Antwort lautet:
ist im Gegensatz zu vollständig () und die Elemente von lassen sich nicht zählen.

Eine Menge M heißt genau dann abzählbar, wenn man die Elemente von M als Folge schreiben kann.

Nach dieser Definition ist natürlich jede endliche Menge und jede Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen abzählbar. überraschend ist der folgende Satz:

Die Menge aller rationalen Zahlen ist abzählbar.

Beweis:
Es ist ausreichend zu zeigen, dass + abzählbar ist. Dies zeigt man mit Hilfe einer speziellen Anordnung aller positiven rationalen Zahlen:

Diagonalverfahren von Cantor

Dieses Diagonalverfahren wurde von Georg Cantor (1845 - 1918) erfunden.
+ = {1, 2, 1/2, 1/3, 3, 4, 3/2, 2/3, 1/4, 1/5, 5, 6, 5/2, 4/3, 3/4, 2/5, 1/6, .... }

Die Menge aller reellen Zahlen ist nicht abzählbar.

Beweis:
Es genügt zu zeigen, dass das Intervall [0, 1] ⊂ ℝ nicht abzählbar ist.
Angenommen, es gibt eine unendliche Folge reeller Zahlen (xn) mit xn  [0, 1], so dass jedes [0, 1] auch Folgenglied der Folge (xn) ist.
Jedes Folgenglied xn lässt sich repräsentieren durch eine Dezimalbruchentwicklung:

xn = dn1·10-1, dn1·10-1 + dn2·10-2, dn1·10-1 + dn2·10-2 + dn3·10-3, ...

In kompakter Schreibweise:

Dezimalbruchentwicklung

Hierbei sind dnk natürliche Zahlen mit  0 dnk 9  für alle k = 1, 2, ..., m.
Eine solche Dezimalbruchentwicklung schreibt man üblicherweise in der abkürzenden Form

0, dn1dn2dn3dn4....

Somit kann man die Folge (xn) in der folgenden Form aufschreiben:

x1 = 0, d11d12d13d14....
x2 = 0, d21d22d23d24....
x3 = 0, d31d32d33d34....
....

Sei nun die reelle Zahl ξ [0, 1] durch die Dezimalbruchentwicklung

ξ = 0, dξ1dξ2dξ3dξ4....

definiert durch dξi ǂ 0, dξi ǂ 9 und dξi ǂ dii für alle i = 1, 2, 3, ...
Hiermit gilt ξ ǂ xn für alle n = 1, 2, 3, ... und wir haben einen Widerspruch zur Annahme.

(Zum Schluss dieses Abschnitts wird die überabzählbarkeit der reellen Zahlen bewiesen (), ohne die Tatsache zu benutzen, dass jede reelle Zahl in eine Dezimalzahl entwickelt werden kann.)

In gibt es Cauchyfolgen, die nicht konvergent sind, das heißt, die keinen rationalen Grenzwert besitzen.
Man kann nun zeigen, dass in alle Cauchyfolgen konvergieren und dies macht zu einem vollständigen metrischen Raum.

Zunächst lassen sich die Definitionen der Begriffe „Cauchyfolge“ und „Nullfolge“ für rationale Zahlenfolgen mit bestimmten Eigenschaften problemlos auf reelle Zahlenfolgen übertragen:

Eine Folge reeller Zahlen (xn) heißt Cauchyfolge, falls Folgendes gilt:
Zu jedem positiven ε ∈ ℝ existiert ein N ∈ ℕ, so dass gilt:

 |xm − xn)| < ε   für alle  m, n  N


Eine Folge reeller Zahlen (xn) heißt konvergent, falls es eine Zahl x ∈ ℝ gibt, so dass (xn − x) eine Nullfolge ist, das heißt: zu jeder positiven Zahl ε ∈ ℝ  gibt es ein N ∈ ℕ, so dass

 |xn − x)| < ε  für alle  n  N.

x heißt Grenzwert der Folge (xn) und man schreibt abkürzend

xn x  (n → ∞).

Der Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist stets eindeutig bestimmt.

Beweis:
Angenommen, eine konvergente reelle Zahlenfolge (xn) hat
zwei voneinander verschiedene Grenzwerte x und y.
Dann gilt |x − y| = |(x − xn) + (xn − y)| |x − xn| + |xn − y| 0  (n → ∞).
Also folgt x = y. Widerspruch zur Annahme!

Zwei Beispiele konvergenter Zahlenfolgen:
Beispiel 1: Die Folge (xn) mit xn = 1/n für n ∈ ℕ mit n > 1 konvergiert gegen 0.
Beispiel 2: Sei (xn) eine Lucas-Folge, dann konvergiert die Folge der Quotienten aufeinander folgender Lucas-Zahlen stets gegen den goldenen Schnitt Φ, falls x0 > 0 und x1 > 0.

Eine konvergente Folge (xn) ist immer beschränkt, das heißt

xn x  (n → ∞)   s > 0: |xn| s  für alle  n ∈ ℕ.

Beweis:
Wenn (xn) konvergent ist und den Grenzwert x besitzt,
dann gibt es zu jedem ε ∈ ℝ ein Nε ∈ ℕ, so dass |xn − x| < ε für alle n  Nε.
Diese Ungleichung gilt insbesondere für ε = 1 und es gibt ein N1 ∈ ℕ, so dass
|xn − x| < 1 für alle n  N1.
|xn| = |xn  − x + x|   |xn  − x | + |x| < 1 + |x| für alle n  N1.
Setze s  =def  max{|x0|, |x1|, ... ,|xN-1|, 1 + |x|}.
Dann folgt |xn| s  für alle n ∈ ℕ und damit die Behauptung.

Seien (xn) und (yn) zwei konvergente Zahlenfolgen mit xn x und yn y (n → ∞).
Dann sind auch die Folgen (xn + yn) und (xn·yn) konvergent und es gilt 

(xn + yn) x + y  (n → ∞)
(xn·yn) x·y  (n → ∞)

Falls xn ǂ 0 für alle n ∈ ℕ und x ǂ 0, so ist auch die Folge (1/xn) konvergent und es gilt

(1/xn) 1/x (n → ∞).

Beweis der ersten Aussage:
Seien (xn) und (yn) konvergent mit xn x und yn y (n → ∞).
Dann gibt es zu jedem ε/2 ∈ ℝ  ein Nx ∈ ℕ bzw. ein Ny ∈ ℕ, so dass
|xn − x| < ε/2 für alle n  Nx und |yn − y| < ε/2 für alle n  Ny.
Also gilt für alle n max(Nx, Ny)
|(xn + yn) − (y + x)| = |(xn − x) + (yn − y)|  |xn − x| + |yn − y|  ε/2 + ε/2 = ε,
was zu beweisen war.

Beweis der zweiten Aussage:
Seien (xn) und (yn) konvergent mit xn x und yn y (n → ∞).
Für alle n ∈ ℕ gilt  xn·yn − x·y = xn·yn − x·yn + x·yn − x·y = (xn − x)·yn + x·(yn − y).
Die Folge (yn) ist konvergent und damit beschränkt.
Es lässt sich also eine reelle Zahl s finden mit |yn| < s für alle n ∈ ℕ und |x| < s.
Hieraus folgt unter Benutzung der Dreiecksungleichung für jedes n ∈ ℕ:
|xn·yn − x·y|  |xn − x|·s + |yn − y|·s.
Nach Voraussetzung gibt es zwei natürliche Zahlen Nx und Ny, so dass Folgendes gilt:
|xn − x| < ε/2s für alle n Nx und |yn − y| < ε/2s für alle n Ny,
wobei die positive reelle Zahl ε beliebig gewählt werden kann.
Sei N = max(N, Ny), dann folgt
|xn·yn − x·y|  s·ε/2s + s·ε/2s = ε für alle n N.

Beweis der dritten Aussage:
Sei (xn) konvergent mit xn x (n → ∞), wobei  x ǂ 0 und xn ǂ 0 für alle n ∈ ℕ.
Dann gibt es ein N, so dass ||xn|−|x||  |xn − x| < |x|/2 für alle n N.
Die Ungleichung ||xn|−|x|| < |x|/2 ist äquivalent zu der Aussage  −|x|/2 < |xn|−|x| < |x|/2.
Insbesondere folgt hieraus, dass |xn| > |x| −|x|/2,
also hat man |xn| > |x|/2 für alle n N. Hiermit ergibt sich
|1/xn − 1/x| = |x − xn|/|xn|·|x|  2·|x − xn|/|x|2.
Sei nun ε > 0 beliebig gewählt. Dann gibt es ein N*, so dass für alle n N* gilt:
|x − xn| < min(|x|/2, |x|2·ε/2). Damit hat man für alle n N*
|1/xn − 1/x| < |x|2·ε/|x|2 = ε.

Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine rationale Zahlenfolge (rn) mit rn x (n ).

Beweis:
Sei x irgendeine reelle Zahl, repräsentiert durch eine rationale Cauchyfolge (xn).
Jedes Folgenglied von (xn) lässt sich als rationales Element von darstellen als konstante Folge
rm = xm, xm, xm, xm, xm, xm, .....
Mit anderen Worten: rm = [kn] mit kn = xm für alle n = 1, 2, 3,...
Hiermit gilt x − rm = [xn] − [kn]  = [xn xm]n=1...
Da (xn) eine Cauchyfolge ist, gibt es zu jedem positiven ε ∈ ℚ ein mε, so dass
|xn xm|   ε für alle m, n mε.
Es folgt |xn xm| ε   0 für alle m, n mε.
Also ist (|xn xm| ε)n=1..  keine Positivfolge, deswegen gilt
|x − rm| − ε 0  und damit |x − rm| ε für alle m mε.
Also ist [xn] − [kn] eine Nullfolge, das heißt rm x (m → ∞).

Aus diesem Satz folgt, dass jede irrationale Zahl beliebig genau durch eine rationale Zahl angenähert werden kann; oder mit anderen Worten ausgedrückt: Die rationalen Zahlen liegen dicht in .

Eine reelle Zahlenfolge (xn) ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchyfolge ist.
(
Cauchy’sches Konvergenzkriterium).

Beweis:
“: Sei (xn) eine konvergente Folge und sei x∈ ℝ der Grenzwert dieser Folge.
Sei irgendein positives ε ∈ ℝ beliebig vorgegeben.
Dann existiert eine natürliche Zahl N ∈ ℕ, so dass  
|xn − x| < ε/2  für alle n  N  und  |xm − x| < ε/2  für alle m  N.
Es folgt |xn − xm| = |xn − x + x − xm|   |xn − a| + |a − xm|< ε/2 + ε/2 = ε für alle m, n  N.
Also ist (xn) eine Cauchyfolge.

“: Sei (xn) eine (reelle) Cauchyfolge.
Zu jedem xn ∈ ℝ gibt es nach dem vorstehenden Satz
eine gegen xn konvergierende rationale Zahlenfolge (rm(n))m=0...
Das bedeutet, dass (rm(n) − xn)m=0..  eine Nullfolge ist für alle n ∈ ℕ.
Also gibt es zu jedem positiven ε eine natürliche Zahl N(n) ∈ ℕ, so dass
|rm(n) − xn| < ε für alle m  N(n) und für alle n ∈ ℕ*.
Für jede dieser Ungleichungen (n = 1, 2, 3, ...)  wird ε = 1/n gewählt.
Dann gilt |rm(n) − xn| < 1/n für alle m  N(n) und für alle n ∈ ℕ*.
Für jedes n ∈ ℕ* wird irgendein rm(n) mit m  N(n) ausgewählt und mit rn bezeichnet.
Dann folgt |rn − xn| < 1/n für alle n ∈ ℕ*.

Nun gilt
|rn − rm| = |rn − rm + xn − xn + xm − xm|  |(rn − xn) − (rm − xm)| + |xn − xm|,
also hat man |rn − rm| 1/n + 1/m + |xn − xm| und damit
|rn − rm| ε für alle m, n   N(ε), wobei ε beliebig vorgegeben werden kann.
Also ist die eben konstruierte rationale Zahlenfolge (rn) eine Cauchyfolge
und definiert als solche eine reelle Zahl x = [rn].

Sei rm* ∈ ℝ gegeben durch die konstante rationale Zahlenfolge  rm, rm, rm, ...., kurz geschrieben:
rm* = [rk] mit rk= rm für alle k = 0, 1, 2, ...
Dann gilt in die Ungleichung |x − rm*| ε für alle m  N(ε).

Unter Verwendung der Dreiecksungleichung in folgt hiermit
|x − xn| |x − rm*| + |rm* − xn| ε + 1/n für alle n  ∈ ℕ* und beliebig vorgegebenem ε > 0.
Hieraus folgt die Behauptung.


Ein metrischer Raum (M, d) heißt vollständig, wenn es zu jeder Cauchyfolge (xn) in M ein x  M gibt, so dass (xn) gegen x konvergiert.

ist also ein vollständiger metrischer Raum.

Eine weitere fundamentale Eigenschaft der reellen Zahlen wird durch den Satz von Bolzano und Weierstrass beschrieben: Jede beschränkte unendliche reelle Zahlenfolge enthält mindestens eine konvergente Teilfolge.
Das bedeutet:

Hat man eine reelle Zahlenfolge (xn) mit einer Schranke s ∈ ℝ, das heißt |xn s für alle n  ,
dann gibt es eine natürliche Zahlenfolge n[0] < n[1] < n[2] < ...,
so dass die Folge (xn[j])j=0..  konvergiert.

Beweis:
Die Ungleichung |xn| s ist gleichbedeutend mit der Aussage −s xn s.
Das heißt, alle Folgenglieder xn sind Elemente im abgeschlossenen Intervall I0 = [−s, s] und
es gibt für I0L = [−s, 0] und I0R = [0, s] zwei sich gegenseitig ausschliessende Möglichkeiten:
Entweder gibt es ein N0 ∈ ℕ, so dass für alle n > N0 alle Folgenglieder in I0L liegen,
oder aber es gibt zu jedem N > 0 ein n > N mit xn I0R
Im ersten Fall sei I1 = I0L und im zweiten Fall sei I1 = I0R.
Dann gibt es in jedem Fall eine Teilfolge (xn[i](1))i=0.. von (xn) mit  xn[i](1) I1 für alle i  
und n[0] < n[1] < n[2] < ...

Die schrittweise Wiederholung dieses Verfahrens der Intervallhalbierung liefert eine Intervallfolge
I0 I1 I2 I3 ... mit Ik = [ak, bk] und  bk ak = 2s/2k für alle k ∈ ℕ.
Für jedes k = 1, 2, 3, ... gibt es eine Teilfolge (xn[i](k))i= 0.. von (xn[i](k−1))i=0..
mit  xn[i](k) Ik für alle i ∈ ℕ und n[0] < n[1] < n[2] < ... („Teilfolgeneigenschaft“ des Intervalls Ik)

Mit bk ak = 2s/2k für alle k ∈ ℕ folgt für alle p, q > k, dass |ap aq| 2s/2k.
Dies bedeutet aber, dass (ak)k=0.. eine Cauchyfolge und damit konvergent ist.
Sei a der Grenzwert dieser Folge.
Wegen I0 I1 I2 I3 .. mit Ik = [ak, bk] gilt ak ak+1 ak+2 ... für jedes k ∈ ℕ.
Damit hat man aber auch die Ungleichung ak a für jedes k ∈ ℕ, denn wäre a < ak,
dann gäbe es eine natürliche Zahl K > k mit der Eigenschaft, dass aK „zwischen a und ak liegt“,
genauer: aK a + (ak − a)/2 = (ak + a)/2 < ak. Widerspruch!

Auf analoge Weise hat man wegen ak+i bk für jedes k und i = 0, 1, 2, ... auch
a bk für jedes k .
Insgesamt folgt also für den Grenzwert a der Folge (ak), dass ak a bk für jedes k  .
Bei beliebig gewähltem positiven ε gibt es deshalb immer eine natürliche Zahl
k(ε) mit a − ε < ak(ε)  a  bk(ε) < a + ε.

Wegen der Teilfolgeneigenschaft von Ik(ε) gibt es zu jedem N > 0 ein m > N so, dass
a − ε < ak(ε)  xm  bk(ε) < a + ε.
Es existiert also eine natürliche Zahlenfolge (n[j])j=0..  mit  n[0] < n[1] < n[2] < ... und
a − 1/j < xn[j] < a + 1/j für j = 1, 2, 3, ...
Daraus folgt |xn[j] − a| < 1/j, das bedeutet aber xn[j]   a (j → ∞), was zu zeigen war.

Mit diesem Satz lässt sich nachweisen, dass monoton steigende Folgen, die nach oben beschränkt sind bzw. monoton fallende Folgen, die nach unten beschränkt sind, immer konvergent sind.

Eine unendliche Folge reeller Zahlen (xn) heißt monoton steigend, wenn xn xn+1 für alle n   gilt.
Eine unendliche Folge reeller Zahlen (xn) heißt monoton fallend, wenn xn xn+1 für alle n   gilt.

Jede monoton steigende und nach oben beschränkte reelle Zahlenfolge ist konvergent.

Beweis:
Sei (xn) monoton steigend und |xn| s für alle n ∈ ℕ.
Dann gibt es nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass eine natürliche Zahlenfolge (n[k]) mit
n[0] < n[1] < n[2] < ...  und  xn[k] x (k → ∞).
Weil (xn) monoton steigend ist, gilt x0 x1 x2 ... und zu jedem n ∈ ℕ lässt sich ein n[k*] finden mit
 n[k*] und xn  xn[k] für k  k*. Hieraus folgt xn  x für alle n ∈ ℕ.

Sei ε > 0 beliebig gewählt.
Dann gibt es wegen xn[k] x (k → ∞) ein K(ε) mit x − ε xn[K(ε)]  und es folgt
x − ε xm für alle m n[K(ε)].

Insgesamt hat man also  x − ε xm x  für alle m n[K(ε)]  und damit folgt die Behauptung.

Analog zeigt man, dass jede monoton fallende und nach unten beschränkte reelle Zahlenfolge konvergent ist.

Die Tatsache, dass monoton fallende und gleichzeitig nach unten beschränkte, bzw. monoton steigende und gleichzeitig nach oben beschränkte reelle Zahlenfolgen notwendigerweise auch konvergent sind, bezeichnet man oft als Monotonieprinzip. Dieses Monotonieprinzip ist ganz wesentlich, wenn es im Folgenden darum geht, Intervallschachtelungen zu untersuchen. Mit beliebigen Intervallschachtelungen innerhalb von findet man immer jeweils eine reelle Zahl. hat keinerlei Lücken! Dies macht die Eigenschaft der Menge der reellen Zahlen, vollständig zu sein, möglicherweise noch anschaulicher.

Sei (K,+,·,<) ein angeordneter Körper und a, b K mit a < b. Dann heißt

[a, b]  =def  { x:  x K  und  a x b }

abgeschlossenes Intervall und

(a, b)  =def  { x:  x K  und  a < x < b }

offenes Intervall.

Statt „(a, b)“ schreibt man auch oft „]a, b[“.

 

Sei (K,+,·,<) ein angeordneter Körper.
(an)n∈ℕ sei eine Folge in K und monoton wachsend.
(bn)n∈ℕ sei eine Folge in K und monoton fallend.
Dann heißt die Folge von Intervallen ([an, bn])n∈ℕ  Intervallschachtelung in K genau dann, wenn Folgendes gilt:

an < bfür alle  n ∈ ℕ,
(bn − an)n∈ℕ  ist eine Nullfolge.

Gilt für ein p K

an pbfür alle  n ∈ ℕ,

dann heißt p innerer Punkt der Intervallschachtelung.

Jede Intervallschachtelung hat einen und nur einen inneren Punkt.

Beweis:
(1) Jede Intervallschachtelung besitzt höchstens einen inneren Punkt.
Sei ([an, bn])n∈ℕ eine Intervallschachtelung.
Angenommen, zu dieser Intervallschachtelung gehören zwei innere Punkte p1 und p2, die voneinander verschieden sind.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei dann p2 > p1.
Nach Definition gilt anp1 bund anp2bn für alle n ∈ ℕ, und daraus folgt
b− an p2 − an p2 − p1 für alle n ∈ ℕ. Dies bedeutet aber, dass
b− an p2 − p1 > 0 für alle n ∈ ℕ.
Also gilt  b− an > 0  für alle n ∈ ℕ.
Widerspruch, denn (b− an) ist eine Nullfolge!

(2) Jede Intervallschachtelung in besitzt einen inneren Punkt.
Sei ([an,bn])n∈ℕ eine beliebige Intervallschachtelung in .
Zunächst wird gezeigt, dass dann die Ungleichung  an < bm für alle n, m ∈ ℕ gilt.

Angenommen, es gibt zwei natürliche Zahlen k, l ∈ ℕ mit ak > bl, das heißt a− b> 0.
Weil (an) monoton wächst, gilt an ak für alle n k.
Weil (bn) monoton fällt, gilt bn bl für alle n l.
Also folgt für alle n max(k, l), dass |an − bn| ak − bl > 0.
Widerspruch, denn (a− bn) ist eine Nullfolge!

Angenommen, es gibt zwei natürliche Zahlen k, l ∈ ℕ mit ak = bl.
Es folgt wie oben an ak für alle n k und bn bl für alle n l.
Damit hat man aber wegen ak = bl die Ungleichung
bn an für alle n max(k, l) im Widerspruch zu
 an < bn für alle n ∈ ℕ.

Die monoton wachsende Folge (an) ist nach oben beschränkt, also konvergent.
Für den Grenzwert a dieser Folge gilt an a für alle n ∈ ℕ
und wegen an < bm für alle n, m ∈ ℕ gilt ebenfalls a bn für alle n ∈ ℕ.
a ist also innerer Punkt der Intervallschachtelung ([an, bn]).

Auf analoge Art folgt, dass (bn) als monoton fallende und nach unten beschränkte Folge konvergent und dass der Grenzwert b dieser Folge ein innerer Punkt der Intervallschachtelung sein muss.

Da die Intervallschachtelung ([an, bn]) aber nur höchstens einen inneren Punkt besitzt, gilt a = b.

Eine Intervallschachtelung in ohne einen inneren Punkt kann es nach vorstehender Argumentation nicht geben.

Dass jede Intervallschachtelung in genau einen inneren Punkt besitzt, lässt sich auch anders formulieren, und zwar mit Hilfe des Begriffs des Dedekind'schen Schnitts: 

Seien Mu und Mo zwei nichtleere Teilmengen von mit folgenden Eigenschaften:

Mu Mo =
x Mu, y Mo    x y.

Dann heißt (Mu, Mo) Dedekind'scher Schnitt.
Die zweite Bedingung schreibt man auch kürzer: Mu Mo.

Mu heißt Untermenge, Mo Obermenge des Schnittes.

Zu jedem Dedekind'schen Schnitt (Mu, Mo) gibt es genau eine reelle Zahl s mit

Mu s Mo

Beweis:
Sei (Mu, Mo) ein Dedekind'scher Schnitt.
Seien ferner x0 und y0 zwei voneinander verschiedene reelle Zahlen mit x0  Mu und y0  Mo.
Dann gilt x0 < y0.
Es gibt ein m ∈ ℝ mit  x0 < m < y0 und |m − x0| = |y0 − m|.
Für dieses m gilt entweder m ∈ Mu oder m ∉ Mu.
Im ersten Fall sei x1 = m und  y1 = y0; im zweiten Fall sei x1 = x0 und y1 = m.
So fährt man sukzessive fort und erhält eine
Intervallschachtelung ([xn, yn])n∈ℕ mit xn ∈ Mu und yn ∈ Mo für alle n ∈ ℕ.
Da jede Intervallschachtelung genau einen inneren Punkt besitzt, ist hiermit die Behauptung bewiesen.

Die Zahlengerade ist ein anschauliches Hilfsmittel, um die Menge der reellen Zahlen zeichnerisch darzustellen. Zu jedem Punkt P auf der Zahlengerade gehört genau eine reelle Zahl x und umgekehrt. Auf jedem Abschnitt der Zahlengerade befinden sich überabzählbar unendlich viele Punkte, so wie es in jedem Teilintervall von überabzählbar unendlich viele reelle Zahlen gibt.

Zahlengerade

Sowohl die Quadratwurzel von 2 als auch die Kreiszahl π sind reell und doch sind diese beiden Zahlen grundverschieden. Die Quadratwurzel von 2 ist als Lösung der Gleichung x2 − 2 = 0 eine algebraische Zahl, die Kreiszahl dagegen ist eine transzendente Zahl. Was heißt das?

Sei ω ∈ ℝ. Dann heißt ω algebraisch, wenn es ganze Zahlen a0, a1, ... , an mit n   gibt, so dass

an·ωn + an-1·ωn-1 + ... + a0·ω0 = 0.

Eine reelle Zahl, die nicht algebraisch ist, heißt transzendent.


Sei n ∈ ℕ und pn(x) = an·xn + an-1·xn-1 + ... + a0 ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten a0, a1, ..., an.
Dann heißt pn(x) irreduktibel, wenn es sich nicht in ein Produkt zweier Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten zerlegen lässt.

Beispiel:
Das Polynom 2x3 − 5x2 − 3x ist nicht irreduktibel, denn es gilt 2x3 − 5x2 − 3x = (2x + 1)·(x2 − 3x).

Die Menge aller reellen algebraischen Zahlen ist abzählbar unendlich.
Dies bedeutet, dass man alle reellen algebraischen Zahlen der Reihe nach aufzählen kann:

ω0, ω1, ω2, ω3, ω4, ....

Beweis:
Sei ω eine reelle algebraische Zahl.
ω ist also Lösung einer Gleichung an·xn + an-1·xn-1 + ... + a0 = 0 mit ganzzahligen Koeffizienten.
Man kann erreichen, dass
  (i) an positiv ist,
  (ii) a0, a1, ... , an  keinen gemeinsamen Teiler besitzen und
  (iii) das Polynom an·xn + ... + a0 irreduktibel ist.
Hierdurch ist die zu ω gehörende Gleichung an·xn + an-1·xn-1 + ... + a0 = 0 eindeutig festgelegt.
Sei nun mit N(ω) = n − 1 + an + |an-1| + |an-2| + ... |a0| die Höhe der Zahl ω bezeichnet,
dann ist N(ω) für jede algebraische Zahl ω eine bestimmte positive ganze Zahl.

Andererseits gibt es zu jeder ganzen positiven Zahl N lediglich endlich viele algebraische reelle Zahlen mit der Höhe N, denn die Gleichung an·xn + an-1·xn-1 + ... + a0 = 0 besitzt höchstens n Lösungen.

N = 1:
1·x = 0 ist die einzige Gleichung, die für N = 1 in Frage kommt. Sie liefert die Lösung x = 0.
N = 2:
1·x + 1 = 0 mit der Lösung x = -1 und 1·x − 1 = 0 mit der Lösung x = +1.
N = 3:
2·x + 1 = 0 x = -1/2; 2·x − 1 = 0 x = +1/2; 1·x + 2 = 0 x = -2; 1·x − 2 = 0 x = +2;

Sei anz(N) die Anzahl der zur Höhe N gehörenden reellen algebraischen Zahlen, dann ist
anz
(1) = 1, anz(2) = 2, anz(3) = 4.
Allgemein gilt anz(N) ∈ ℕ* und damit lassen sich alle reellen algebraischen Zahlen anordnen:

0, -1, 1, -2, -1/2, 1/2, 2, ...

Diesen Beweis hat erstmals Georg Cantor 1874 im ersten Teil seines Aufsatzes über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen veröffentlicht. Noch viel bemerkenswerter ist allerdings der Inhalt des zweiten Teils seines Aufsatzes:

Gegeben sei irgendeine reelle Zahlenfolge (xn) und ein beliebig vorgegebenes Intervall (a, b)  .
Dann gibt es immer eine reelle Zahl x mit a < x < b, die kein Folgenglied von (xn) ist.

Beweis:
Sei (xn) eine reelle Zahlenfolge und (a, b)  ein offenes Intervall.
Seien a' und b' die ersten beiden Folgenglieder der Folge (xn), die im Intervall (a, b) liegen.
(Wenn es solche zwei Folgenglieder nicht gibt, dann folgt die zu beweisende Aussage sofort.)
Die beiden Folgenglieder seien so bezeichnet, dass a' < b'.
Die ersten beiden Folgenglieder der Folge (xn), die im Intervall (a', b') liegen,
werden mit a'' und b'' bezeichnet und zwar so, dass a'' < b'' gilt.

Fährt man auf diese Weise sukzessive fort, erhält man
eine monoton ansteigende Folge a', a'', a''', ... und
eine monoton fallende Folge b', b'', b''', ...
Ferner gilt (a, b) (a', b') (a'', b'') (a''', b''') ...

Fall 1: Die Zahl dieser Intervalle ist endlich.
Sei das letzte (also das innerste) Intervall dieser Intervallfolge mit (a*, b*) bezeichnet.
Dann gibt es noch höchstens ein Folgenglied von (xn), das innerhalb des Intervalls (a*, b*) liegt
und es gibt eine weitere reelle Zahl x mit a* < x < b*, die kein Folgenglied von (xn) ist.

Fall 2: Die Zahl dieser Intervalle ist unendlich.
Da die Folge a', a'', ... monoton ansteigt und nach oben durch b beschränkt ist, ist diese Folge konvergent.
Die Folge b', b'', ... fällt monoton und ist nach unten durch a beschränkt,
also konvergiert diese ebenso ().
Seien die Grenzwerte dieser beiden Folgen mit α und β bezeichnet, dann gibt es zwei Möglichkeiten:
Entweder es ist α = β, dann kann man x = α = β wählen (denn x kann in diesem Fall keine Intervallgrenze sein, ist also auch kein Folgenglied von (xn)),
oder es ist α < β, dann ist jede Zahl innerhalb des Intervalls (α, β) kein Folgenglied von (xn).

Hiermit folgt der Satz von Liouville:

In jedem beliebig vorgegebenen reellen Zahlenintervall gibt es unendlich viele transzendente Zahlen.

1873 konnte Charles Hermite beweisen, dass die Euler’ sche Zahl e transzendent ist; Carl Louis Ferdinand von Lindemann bewies 1882 die Transzendenz der Kreiszahl π.


Die Menge der komplexen Zahlen nach oben

Die Gleichung

(G4) x2 = a   mit  a ∈ ℝ

ist in nicht lösbar, wenn a < 0. Eine reelle Quadratzahl ist stets positiv!

In der Menge der komplexen Zahlen dagegen ist die Gleichung (G4) sehr wohl lösbar.

, die Menge der komplexen Zahlen, ist definiert durch

=def  x = { (a;b): a ∈ ℝ  und  b ∈ ℝ}.

Mit

(a; b) + (c; d)  =def  (a + c; b + d)  und
(a; b) · (c; d)  =def  (ac − bd; ad + bc)

kann man in addieren und multiplizieren, und zwar automatisch auf wohldefinierte Weise, da die vorstehenden Definitionen auf der wohldefinierten Addition bzw. der Multiplikation in beruhen.

Mit 0 =def (0; 0) als Nullelement und 1 =def (1; 0) als Einselement ist (,+,·) ein Körper. Man kann leicht nachrechnen, dass die komplexe Zahl

Inverses zu (a;b)

das inverse Element zu (a; b) ∈ ℂ \ {(0; 0)} ist.

Mit f: ℝ → ℂ, definiert durch f(a) = (a; 0) für alle a ∈ ℝ lässt sich mit Imf ⊂ ℂ identifizieren,
mit anderen Worten: ℝ lässt sich in einbetten.

Mit Hilfe der speziellen komplexen Zahl (0; 1), die man imaginäre Einheit nennt und mit i bezeichnet, gelingt es, alle Zahlen (a; b) ∈ ℂ so hinzuschreiben, dass man bequem mit ihnen rechnen kann.
Es gilt nämlich (a; b) = (a; 0) + (0; b) = (a; 0) + (b; 0)·i  für alle a, b ∈ ℝ, kurz geschrieben:

(a; b) = a + b·i.

Wegen i2 = (0; 1)(0; 1) = (−1; 0) ist i ist nichts anderes als die Lösung der Gleichung x2 = −1. Anders ausgedrückt:

imaginäre Einheit i

Sei z = (a; b) ∈ ℂ eine beliebige komplexe Zahl. Dann heißt a Realteil von z und b heißt Imaginärteil von z.
Die komplexen Zahlen der Form „b·i“ heißen Imaginärzahlen.
Die komplexe Zahl (a; −b) heißt die zu (a; b) konjugiert komplexe Zahl und wird mit z* bezeichnet.
Für ( − a; −b) wird kurz −z geschrieben.

Die Definition der Operationen „+“ und „·“ auf ist gerade so gemacht worden, dass man mit komplexen Zahlen genau so rechnen kann wie mit reellen Zahlen:

Seien z1 = a + bi  und  z2 = c + di  zwei beliebige komplexe Zahlen.
Dann gilt:

z1 + z2 = (a + bi) + (c + di)
           = a + c + bi + di
           = (a + c) + (b + d)i

z1 · z2 = (a + bi) · (c + di)
          = a·c + a·di + bi·c + bi·di
          = a·c + b·di2 + (a·d + b·c)i
          = (a·c − b·d) + (a·d + b·c)i

Wenn die Lösung der Gleichung  x·z2= z1 mit z2 ǂ 0  wie gewohnt in der Form z1/z2 geschrieben wird,
kann man wie folgt rechnen:

z1/z2 = (a + bi)/(c + di)
        = (a + bi)(c − di)/(c + di)(c − di)
        = ((ac + bd) + (bc − ad)i)/(c2 + d2)

Man prüft dies leicht nach, denn es gilt tatsächlich nach Definition

((ac + bd)/(c2 + d2); (bc − ad)/(c2 + d2))·(c; d) = (a; b).

Seien z1 und z2 zwei beliebige komplexe Zahlen, dann gilt

(z1 + z2)* = z1* + z2*
(z1 · z2)* = z1* · z2*
(z1/z2)* = z1*/z2*.

Die letzte dieser drei Gleichungen gilt selbstverständlich nur dann, wenn z2 von 0 + 0·i verschieden ist.

Sei z = (a; b) ∈ ℂ eine beliebige komplexe Zahl. Dann heißt z·z* die Norm von z, abgekürzt mit z.

Für die Norm einer komplexen Zahl  z = a + b·i  gilt

z = a2 + b2.

Wenn man sich die komplexen Zahlen durch Punkte in der Gauß'schen Zahlenebene veranschaulicht, dann ist die Norm einer komplexen Zahl z gleich dem Quadrat des Abstandes derjenigen Punkte, die z beziehungsweise (0; 0) repräsentieren.

Arganddiagramm

Für alle z1, z2 ∈ ℂ gilt:

z1 + z2  ≤  z1 + z2
z1·z2 = z1·z2.

Die erste dieser beiden Aussagen ist die sogenannte Dreiecksungleichung in .


Das Einbettungsprinzip nach oben

Das gleiche Prinzip, welches zur Konstruktion der Zahlensysteme wesentlich benutzt wurde (die Formulierung einer neuen Menge von Zahlen mit der Möglichkeit, die zuvor bekannten und bereits vertrauten Zahlenmengen in die neu konstruierte Menge einzubetten) wird - falls irgend möglich - auch bei der Konstruktion anderer Systeme verwendet. Ein Beispiel ist die Konstruktion von Theorien (hier verstanden als Mengen von Aussagen, die anhand empirischer Untersuchungen nachprüfbar sind).

Die klassische Mechanik beispielsweise (eine physikalische Theorie, die die Bewegungen von Körpern und die gegenseitige Wechselwirkung von Körpern vollständig beschreiben sollte und vor allem von Isaac Newton gegen Ende des 17. Jahrhunderts erstmalig formuliert wurde), stellte sich im Laufe der Zeit als unzureichend heraus. Dies soll heißen, dass Fragen aufgetaucht sind, die sich mit der klassischen Theorie nicht lösen ließen. Werner Heisenberg und andere nahmen dies Anfang des letzten Jahrhunderts zum Anlass, eine neue Theorie zu entwickeln (die Quantenmechanik), welche

Die klassische Mechanik ist damit eingebettet worden in die neue Theorie der Quantenmechanik. Sie ist durch die neue Theorie nicht falsch geworden, sondern man hat erkannt, dass sie nur unter gewissen Randbedingungen gültig ist.

Ganz Entsprechendes gilt etwa für die Weiterentwicklung technischer Systeme, etwa für die Verbesserung von Maschinen oder von Softwarepaketen. Das Einbettungsprinzip fordert von dem Softwarehersteller eines Programms TOLL.03, dass z.B. alle mit Hilfe dieses Programms erstellten Dateien unter der neuen Version TOLL.04 weiter verwendet werden können. Die Probleme, die sich durch diese Forderung in der Praxis ergeben, sind ziemlich verzwickt und sehr viel komplexer als diejenigen, die bei der Entwicklung der Zahlensysteme zu lösen waren. Das bekommen die Anwender solcher Programme TOLL.xxx immer wieder leidvoll zu spüren, wenn sich bei der Verwendung verschiedener Versionen des gleichen Programms Inkompatibilitäten einstellen.

Außer dem Einbettungsprinzip gibt es in diesem Zusammenhang noch etwas von zentraler Bedeutung: Die Fortentwicklung (irgendwelcher) Systeme gelingt nur dann fehlerfrei (das heißt zum Beispiel: widerspruchsfrei bei der Entwicklung logischer oder mathematischer Systeme oder: absturzsicher bei der Entwicklung von Computersystemen), wenn ein wohldefinierter und damit gut durchdachter Anfang gesetzt wurde.

Der Anfang der betrachteten Kette von Zahlenmengen

ℕ . ℤ . ℚ . ℝ . ℂ ...

stellt die Menge der natürlichen Zahlen dar, deren Gesetze zu Anfang schlicht vorausgesetzt wurden.

Merkwürdigerweise spiegelt der Anfang dieser Systemkette, also , in seiner Struktur das wider, was für die Systemkette als Ganzes wichtig war:

1. Anfang setzen
2. Fortentwickeln.

Literatur- und Quellenangaben:

Landau, Edmund:
Grundlagen der Analysis (erstmals erschienen 1930 in Leipzig), ergänzt und kommentiert von Heinz Dalkowski.
Berliner Studienreihe zur Mathematik, Band 11, Heldermann, Lemgo 2004

Heinz, Erhard:
Differential- und Integralrechnung I (Vorlesungsscript).
Hrsg. Mathematisches Institut der Universität Göttingen, 1972

Gottlob Frege:
Die Grundlagen der Arithmetik.
Wilhelm Koebner, Breslau, 1884

Schmersau, Dieter/ Koepf, Wolfram:
Die reellen Zahlen als Fundament und Baustein der Analysis.
Oldenbourg, München 2000.

Zobel, Robert:
Diskrete Strukturen.
Reihe Informatik, Band 49, BI-Wissenschaftsverlag, Zürich,1987

Henke, Dietmar:
Diskrete Mathematik (Vorlesungsscript).
Hochschule Bremerhaven, 1991


 Home   Back   Top