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Die Kettenlinie
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restart; |
Differentialgleichung der Kettenlinie (→ Herleitung):
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dgl:= Diff(f(x),x,x) =
c*sqrt(1+ Diff(f(x),x)^2): dgl; |
Lösung dieser Differentialgleichung:
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dsolve (dgl, f(x)); |
Gleichung der Kettenlinie:
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y:= 1/c*cosh(c*(x+a))
+ b: 'y' = y; |
Dieselbe Gleichung in Exponentialschreibweise:
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'y' = convert (rhs(%), exp); |
Die Länge einer Kurve im x-y-Diagramm mit y = f(x) in den Grenzen von l und r:
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len:= Int(sqrt(1 + Diff(f(x),x)^2), x = l..r); |
Die Länge einer Kettenlinie zwischen zwei Punkten (l|f(l)) und (r|f(r)):
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f:= x -> 1/c*cosh(c*(x+a))+b; len:= value(len); |
Vereinfachen des Integranden:
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simplify ((1+sinh(c*(x+a))^2)^(1/2)); |
Berechnung der Kettenlinienlänge L in Abhängigkeit von l, r, c und a:
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L:= int(cosh(c*(x+a)),
x = l..r); L:= unapply (L, l, r, c, a); |
Die Differenz der y-Werte zweier gegebener Punkte auf einer Kettenlinie:
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Delta:= subs (x = r,
y) - subs (x = l, y); Delta:= unapply (Delta, l, r, c, a); |
Hilfsprozedur:
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change:= proc (n) if n = 1 then n = 2; fi; if n = 2 then n = 1; fi; n; end: |
Berechnung der Kettenlinie bei vorgegebener Kettenlänge lng und zwei gegebenen Punkten (l|yl) und (r|yr):
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catenary:= proc (l,
yl, r, yr, lng) local xdf, ydf, lsgn, n, a, c, b; xdf:= r - l; ydf:= yr - yl; if evalf(sqrt(xdf^2 + ydf^2)) < lng then lsgn:= (solve (ydf = Delta(l, r, c, a), a)); n:= 1; a:= lsgn[n]; c:= fsolve (lng = L(l, r, c, a), c); if c < 0 then n:= change (n); a:= lsgn[n]; c:= fsolve (lng = L(l, r, c, a), c); fi; b:= yl - cosh(c*(l+eval(a)))/c; cosh(c*(x+eval(a)))/c + b; else 0; fi; end: |
Zeichnen einer Kettenlinie mit den Parametern l, yl, r, yr, lng:
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interface (displayprecision = 3): f(x):= catenary (-4, 9, 12, 3, 40); plot (f(x), x = -4..12, scaling=CONSTRAINED, labels=["",""]); |
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