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Einführung in Maple |
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Erzwungene Schwingungen
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restart; |
Erzwungene Schwingung eines Federpendels mit Reibung;
die Reibungskraft sei proportional zur Geschwindigkeit des Pendelkörpers;
m = Masse des Pendelkörpers, K = Federkonstante:
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s:= t -> x(t): v:= t -> diff (x(t),t): a:= t -> diff (x(t),t,t): DGL:= m*a(t) + R*v(t) + K*x(t) = F[0]*cos(omega*t): DGL; |
Lösung der Differentialgleichung DGL für v(0) = 0 und x(0) = 0
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x(t):= rhs (dsolve ({DGL, D(x)(0)= 0, x(0)= 0}, x(t))); |
Zahlenbeispiel mit Schaubild:
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m:= 6: F[0]:= 0.3:
K:= 1.4: R:= 0.32: omega:= 0.2: plot ([x(t),sin(omega*t)], t = 0..60*Pi, color = [red, blue]); |
![[Maple Plot]](images-erzwschw/erzwschw4.gif)
Nach dem Einschwingvorgang schwingt das Federpendel sinusförmig (rot),
aber phasenverschoben zur erzeugenden Schwingung (blau).
Also ist es vernünftig,
x(t) = x0 sin(ωt + Ф) zu schreiben:
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restart; s:= t -> x0*sin(omega*t + phi): v:= t -> D(s)(t): a:= t -> D(v)(t): DGL:= m*a(t) + R*v(t) + K*s(t) = F[0]*cos(omega*t): DGL; |
Diese Gleichung liefert mit zwei verschiedenen Werten von t gl1 und gl2:
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gl1:= subs (t = 0, DGL): gl1; gl2:= subs (omega*t = Pi/4, DGL): gl2; |
Eliminieren von Ф und die hierdurch gelieferte Gleichung gl:
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eliminate ({gl1, gl2}, phi); # gl:= op (1, op (2, %[1]))^2 = 0: # für Maple 10 gl:= op (1, op (2, %)) = 0: # für Maple 9.5 |
Auflösen der Gleichung gl nach x0 :
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lgn:= solve (gl, x0): lgn; x0(R, omega):= lgn[1]; x0:= unapply (x0(R, omega), (R, omega)): |
Die Amplitude x0 der erzwungenen Schwingung in Abhängigkeit von ω für verschiedene Dämpfungen:
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m:= 3: F[0]:= 0.3:
K:= .9: plot ([x0(6.0,omega), x0(2.3,omega), x0(1.3,omega), x0(0.8,omega), x0(0.4,omega), x0(0.2,omega)], omega = 0..1.6, color = [red, blue, maroon, navy, orange]); |
![[Maple Plot]](images-erzwschw/erzwschw18.gif)
Berechnung der Resonanzstelle:
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m:= 'm': F[0]:= 'F[0]': K:= 'K': solve (diff (x0(R, omega), omega) = 0, omega); |
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simplify (subs (R = 0, %[2])); |
Dies entspricht der Eigenfrequenz des Federpendels:
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restart; s:= t -> x(t): v:= t -> D(s)(t): a:= t -> D(v)(t): DGL:= m*a(t) + K*s(t) = 0: DGL; dsolve ({DGL, D(s)(0) = 0, s(0) = x0}, s(t)); |
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