Die Eulergerade

Definition des Dreiecks mit den Eckpunkten  A, B und  C:

Bestimmen der Höhen ha, hb und  hc:

>	PerpendicularLine (ha, A, a): PerpendicularLine (hb, B, b): PerpendicularLine (hc, C, c):

Bestimmen der Mittelsenkrechten  ma, mb und mc:

>	PerpenBisector (ma, B, C): PerpenBisector (mb, A, C): PerpenBisector (mc, A, B):

Bestimmen der Seitenhalbierenden  sa, sb und sc:

>	line (sa, [A, midpoint (Ma, B, C)]): line (sb, [B, midpoint (Mb, C, A)]): line (sc, [C, midpoint (Mc, A, B)]):

Die Eulergerade durch die Punkte H, U und S:

>	EulerLine (El, Dreieck):

>	draw ([Dreieck (thickness = 2),       ha, hb, hc,       ma, mb, mc,       sa, sb, sc,       El (thickness = 2)],           color = [black,                    maroon, maroon, maroon,                    green, green, green,                    blue, blue, blue,                    red]);

Der Höhenschnittpunkt H, der Umkreismittelpunkt U und der Schwerpunkt S liegen immer auf einer Geraden.

Beweis:
Sei ein beliebiges Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C gegeben.
Hierbei wird Folgendes als bekannt vorausgesetzt:
   Alle Höhen schneiden sich in H, alle Mittelsenkrechten in U und alle Seitenhalbierenden in S.
   Ferner sei bereits bekannt, in welchem Verhältnis S jede der Seitenhalbierenden teilt.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei A(0| 0), B(a| 0) und C(b| c) mit
irgendwelchen von 0 verschiedenen Zahlen a, b und c.

>	restart; with (geometry): point (A, 0, 0): point (B, a, 0): point (C, b, c):

Berechnen des Mittelpunktes der Strecke zwischen B und C:

>	midpoint (M, B, C): coordinates(M);

S teilt die Strecke zwischen A und M im Verhältnis 2 : 1, also gilt:

>	x[M]:= HorizontalCoord(M): y[M]:= VerticalCoord(M): point (S, 2/3*x[M], 2/3*y[M]): coordinates(S);

U hat die x-Koordinate a/2 und muss zu jedem der Dreieckspunkte den gleichen Abstand haben:

>	point (U, a/2, y[U]): coordinates(U); d[A]:= distance (A, U); d[C]:= distance (C, U); y[U]:= solve (d[A] = d[C], y[U]);

Der Umkreismittelpunkt U:

>	coordinates(U);

U und S definieren eine Gerade g.
Berechnung der Steigung m dieser Geraden:

>	Delta[y]:= VerticalCoord(S) - VerticalCoord(U); Delta[x]:= HorizontalCoord(S) - HorizontalCoord(U); m:= simplify (Delta[y]/Delta[x]);

Die Gleichung der Geraden g:

>	g:= y = m*x + k: gl:= subs (x = HorizontalCoord(S), y = VerticalCoord(S), g): k:= solve (gl, k); g;

Der Höhenschnittpunkt H:

>	h:= x -> (a-b)/c*x: # Höhe auf BC point (H, b, h(b)): coordinates(H);

Liegt H auf der Geraden g?

>	gl:= subs (x = b, g): y:= solve (gl, y);

Dies war zu zeigen.