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Mathematik
 

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Die Fibonacci-Zahlen

> 
 restart;

Definition der Folge der Fibonacci-Zahlen mit Hilfe der Prozedur fib:

> 
 fib:= proc(j)
        if j < 2 then j else fib(j-1) + fib(j-2) fi
      end:

Berechnung und Ausgabe der ersten fünfzehn Fibonacci-Zahlen:

> 
 fibonacci:= array(1..15):
for j to 15 do fibonacci[j]:= fib(j) od:
print (fibonacci);

Definition der Folge (fn ) der Fibonacci-Brüche:

> 
 f:= n -> fib(n+1)/fib(n);

> 
 print (seq (f(n), n = 1..15));

Definition der Differenzenfolge (dn ):

> 
 d:= n -> f(n+1) - f(n);

> 
 print (seq (d(n), n = 1..15));

(dn )  ist dem Anschein nach eine oszillierende, stark konvergierende Nullfolge:

> 
 plot ([seq ([n,d(n)], n = 1..15)], style = point, symbol = circle);

Unter der nahe liegenden Annahme, dass  (fn )  konvergent ist und den von 0 verschiedenen Grenzwert g besitzt, lässt sich wie folgt rechnen:

(f[n]) = (... , N/(Z-N), Z/N, (N+Z)/Z, ... )  mit limit(f[n],n = infinity)=  g   und

> 
 gl:= Z/N + (N+Z)/Z = 2*g;

gl := Z/N+(N+Z)/Z = 2*g

> 
 gl:= expand (gl, Z/N);

gl := Z/N+1/Z*N+1 = 2*g

> 
 gl:= subs (Z/N = g, N/Z = 1/g, gl);

gl := g+1/g+1 = 2*g

> 
 gl:= factor (gl);

gl := (g^2+1+g)/g = 2*g

> 
 gl:= (gl*g);

gl := g^2+1+g = 2*g^2

> 
 gl:= lhs(gl) - g^2 = rhs(gl) - g^2;

gl := 1+g = g^2

> 
 lgn:= solve (gl, g);

lgn[1] ist negativ, also:

> 
 g:= lgn[2];

g := 1/2+1/2*5^(1/2)
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