dh-Materialien
Einführung in Maple    
Übungen
 

Richtungsfeld und Isoklinen

> restart; with(DEtools): with(plots):

Gegeben sei eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung:

> DGl:= diff(y(x), x) = a*x + b*y(x): DGl;

diff(y(x),x) = a*x+b*y(x)

> gl:= dsolve(DGl, y(x)): gl;

y(x) = -a/b*x-a/b^2+exp(b*x)*_C1

Umbenennen der von Maple mit  "_C1"  bezeichneten Konstante:

> gl:= subs(_C1 = C, gl): gl;

y(x) = -a/b*x-a/b^2+exp(b*x)*C

Lösung der Differentialgleichung DGl unter Beachtung von Randbedingungen:

> a:= 2.0: b:= 1.5:
  dsolve({DGl, y(0) = 2}, y(x)):
  evalf(%, 4);

Darstellung einiger Lösungen der Differentialgleichung DGl mit a = 2 und b = 1 im Richtungsfeld;
für diese Lösungen sollen die Bedingungen y(0) = -1, y(0) = 1, y(0) = 2 und y(0) = 3 gelten:

> a:= 2.0: b:= 1.5:
  DEplot(DGl, y(x), x = -3..3, y = -2..3,
    {[0,-1], [0,1], [0,2], [0,3]},
    arrows = LINE,
    font = [COURIER, 12],
    color = red,
    linecolor = black);

Hinschreiben der oben definierten Gleichung  gl unter Beachtung, dass eben a = 2 und b = 1,5 gesetzt wurde;
es soll mit einer Genauigkeit von 4 signifikanten Stellen gerechnet werden:

> gl:= evalf(gl, 4): gl;

y(x) = -1.333*x-.8889+exp(1.5*x)*C

Differenzieren der rechten Seite dieser Gleichung:   

> Dy(x):= evalf(diff(rhs(gl), x), 4);

Dy(x) := -1.333+1.5*exp(1.5*x)*C

Auflösen der Gleichung  Dy(x) = k  nach  C:

> assign(evalf(isolate(Dy(x) = k, C), 4)):
  C:= C;

C := .6667*(k+1.333)/exp(1.5*x)

Einsetzen dieses Terms für C in Gleichung gl und gleichzeitiges Umbenennen von "y(x)" in "f(x)":

> f(x):= rhs(gl);

f(x) := -1.333*x-.1889e-3+.6667*k

Zeichnen des Richtungsfeldes mit vier Isoklinen (blau gezeichnet):

> RFeld:= DEplot(DGl, y(x), x = -6..6, y = -10..8,
    {[0,-1], [0,1], [0,2], [0,3]},
    arrows = LINE,
    color = red,
    font = [COURIER, 12],
    linecolor = black):
  Isoklinen:= plot([subs (k = -10, f(x)),
    subs(k = -1, f(x)),
    subs(k =  1, f(x)),
    subs(k =  5, f(x))],
    x = -6..6, y = -10..8,
    color = blue):
  display(RFeld, Isoklinen);


 Home   Back   Top