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Einführung in Maple    
Anwendungen
 

Schwingungen

> restart;
  fnt:= 'font = [COURIER, 12]':

Ein Federpendel (m = Pendelmasse, K = Federkonstante) lässt man in einem mehr oder weniger zähen Medium schwingen. Mit x sei die Auslenkung des Pendels relativ zur Ruhelage bezeichnet. Unter der Annahme, dass sich die Pendelreibung proportional zur Pendelgeschwindigkeit verhält, gilt:

> s:= t -> x(t):
  v:= t -> diff(x(t),t):
  a:= t -> diff x(t),t,t):

  DGl:= m*a(t) + R*v(t) + K*x(t) = 0:
  DGl;

Fall 1: ungedämpfte Schwingung (R = 0)

> gl:= dsolve({DGl, D(x)(0) = 0, x(0) = x[0]}, x(t)):
  gl;

Fall 2: gedämpfte Schwingung

> gl:= dsolve({DGl, D(x)(0) = v[0], x(0) = 0}, x(t)):
  gl:= simplify(gl):
  gl;

Fall 2a: aperiodischer Kriechfall  
Dieser Fall ist gegeben, wenn R2 > mK (große Dämpfung).

Zahlenbeispiel mit Schaubild:

> m:= 1:  K:= 4:  R:= 9: v[0]:= 1:
  evalf(gl, 3);
  plot(rhs(gl), t = 0..8, fnt);

Fall 2b: gedämpfte Schwingung mit kleiner Dämpfung
Dieser Fall ist gegeben, wenn R2 < 4 mK.

> m:= 'm':  K:= 'K':  R:= 'R':  v[0]:= 'v[0]':
  omega:= 'omega':
  assume(R^2 - 4*m*K < 0):
  x(t):= evalc(Re(rhs(gl)));

> x(t):= subs(-R*t/(2*m) = -k*t, x(t));

Mit   k = R/2m ,  ω =  sqrt(K/m - k2)   und   x0 =  v0/ω  ergibt sich:   

> x(t):= x0*exp(-k*t)*sin(omega*t);

Zahlenbeispiel mit Schaubild:

> x0:= 1:  k:= 0.25:  omega:= 2:
  plot(x(t), t = 0..16, fnt);

Fall 2c: aperiodischer Grenzfall
Dieser Fall ist gegeben, wenn R2 = 4 mK.

Eine mathematische Beschreibung dieses physikalisch möglichen (und wichtigen) Falls lässt sich mit den bisherigen Lösungsformeln offensichtlich nicht beschreiben.

> restart;
  fnt:= 'font = [COURIER, 12]':
  s:= t -> x(t):
  v:= t -> diff(x(t),t):
  a:= t -> diff(x(t),t,t):

  R:= 2*sqrt(m*K):
  DGl:= m*a(t) + R*v(t) + K*x(t) = 0;
  dsolve(DGl, x(t));

Diese DGL wird mit einem speziellen Ansatz gelöst:
x(t) =  x0 t e-kt

> k:= 'k':  x0:= 'x0':
  x(t):= x0*t*exp(-k*t);
  gl:= m*diff(x(t),tt) + 2*sqrt(m*K)*diff(x(t),t) + K*x(t) = 0:
  solve(gl, {k});

x(t) := x0*t*exp(-k*t)

> k:= 1/2*(2*sqrt(m*K) + K*t)/(sqrt(m*K)*t):
  x(t):= x0*t*exp(-k*t);

Zahlenbeispiel mit Schaubild:

> m:= 1:  K:= 4:  x0:= 1:
  plot(x(t), t = 0..8, fnt);


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