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Schwingungen
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restart; |
Ein Federpendel (m = Pendelmasse, K = Federkonstante) lässt man in einem mehr oder weniger zähen Medium schwingen. Mit x sei die Auslenkung des Pendels relativ zur Ruhelage bezeichnet. Unter der Annahme, dass sich die Pendelreibung proportional zur Pendelgeschwindigkeit verhält, gilt:
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s:= t -> x(t): v:= t -> diff (x(t),t): a:= t -> diff (x(t),t,t): DGl:= m*a(t) + R*v(t) + K*x(t) = 0: DGl; |
Fall 1: ungedämpfte Schwingung (R = 0)
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R:= 0: Gewählte Randbedingungen: v(0) = 0, x(0) = x0 gl:= dsolve ({DGl, D(x)(0) = 0, x(0) = x[0]}, x(t)): gl; |
Fall 2: gedämpfte Schwingung
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R:= 'R': Gewählte Randbedingungen: v(0) = v0, x(0) = 0 gl:= dsolve ({DGl, D(x)(0) = v[0], x(0) = 0}, x(t)): gl:= simplify (gl): gl; |
Fall 2a: aperiodischer Kriechfall
Dieser Fall ist gegeben, wenn R2 > mK (große Dämpfung).
Zahlenbeispiel mit Schaubild:
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m:= 1: K:= 4: R:= 9: v[0]:= 1: evalf (gl, 3); plot (rhs(gl), t = 0..8); |
Fall 2b: gedämpfte Schwingung mit kleiner Dämpfung
Dieser Fall ist gegeben, wenn R2 < 4 mK.
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m:= 'm': K:= 'K': R:=
'R': v[0]:= 'v[0]': omega:= 'omega': assume (R^2 - 4*m*K < 0): x(t):= evalc (Re(rhs(gl))); (Nur der Realteil von rhs(gl) ist hier physikalisch bedeutsam.) |
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x(t):= subs (-R*t/(2*m) = -k*t, x(t)); |
Mit k = R/2m , ω = sqrt(K/m - k2) und x0 = v0/ω ergibt sich:
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x(t):= x0*exp(-k*t)*sin(omega*t); |
Zahlenbeispiel mit Schaubild:
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x0:= 1: k:= 0.25: omega:= 2: plot (x(t), t = 0..16); |
Fall 2c: aperiodischer Grenzfall
Dieser Fall ist gegeben, wenn R2 = 4 mK.
Eine mathematische Beschreibung dieses physikalisch möglichen (und wichtigen) Falls lässt sich mit den bisherigen Lösungsformeln offensichtlich nicht beschreiben.
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restart; s:= t -> x(t): v:= t -> diff (x(t),t): a:= t -> diff (x(t),t,t): R:= 2*sqrt(m*K): DGl:= m*a(t) + R*v(t) + K*x(t) = 0; dsolve (DGl, x(t)); |
Diese DGL wird mit einem speziellen Ansatz gelöst:
x(t) = x0 t e-kt
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k:= 'k':
x0:= 'x0': x(t):= x0*t*exp(-k*t); gl:= m*diff(x(t),tt) + 2*sqrt(m*K)*diff(x(t),t) + K*x(t) = 0: solve (gl, {k}); |
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k:= 1/2*(2*sqrt(m*K) + K*t)/(sqrt(m*K)*t): x(t):= x0*t*exp(-k*t); |
Zahlenbeispiel mit Schaubild:
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m:= 1: K:= 4:
x0:= 1: plot (x(t), t = 0..8); |
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