Ableitungsregeln
bewiesen in: Änderungsrate/ Ableitungsregeln
Sei M ⊂ ℝ eine zulässige Menge (das heißt: jedes x ∈∈ M ist Häufungswert von M), x0 ∈∈ M und k ∈∈ ℝ. f und g seien zwei auf M definierte und in x0 differenzierbare Funktionen. Dann sind auch f + g, k·f, f·g in x0 differenzierbar und es gilt die Summenregel
(f + g)’(x0) = f’(x0) + g’(x0),
die Faktorregel (k·f)’(x0) = k·f’(x0) und die Produktregel:
(f·g)’(x0) = f’(x0)·g(x0) + f(x0)·g’(x0).
Ist f(x0) ǂ 0, dann ist auch 1f in x0 differenzierbar und es gilt
(1f)’(x0) = − f’(x0)f(x0)2.
Ist g(x0) ǂ 0, dann ist auch fg in x0 differenzierbar und es gilt die Quotientenregel:
(fg)’(x0) = f’(x0)·g(x0)−f(x0)·g’(x0)g(x0)2
Seien f: M → ℝ und g: N →
ℝ miteinander verkettete Funktionen mit f(M) ⊂ N.
Wenn dann f in x0 ∈∈ M
und g in f(x0) ∈∈ N differenzierbar sind,
dann ist g◦f in x0 differenzierbar
und es gilt die Kettenregel:
(g◦f)’(x0) = g’(f(x0))·f’(x0)
