Richard Dedekind

Richard Dedekind, geboren 1831 in Braunschweig, gestorben 1916 in Braunschweig, arbeitete von 1860 bis zu seiner Emeritierung 1894 als Professor für Mathematik an der Technischen Hochschule in Braunschweig.

Dedekind hatte maßgeblichen Anteil an der Erforschung der Grundlagen der modernen Algebra und der algebraischen Zahlentheorie. Ganz wesentlich war die Entwicklung seiner Idealtheorie, die er erstmals in ausführlicher und systematischer Form 1879 veröffentlicht hat, und zwar als XI. Supplement in der dritten Auflage von Dirichlets Vorlesungen über Zahlentheorie unter dem Titel Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen.

Darüberhinaus beschäftigte sich Dirichlet mit dem Aufbau der Zahlensysteme. In diesem Zusammenhang sind vor allem seine berühmten Schriften Stetigkeit und irrationale Zahlen (1872) und Was sind und was sollen die Zahlen? (1887) zu nennen.

In der ersten dieser zwei Schriften geht es um die Einführung der reellen Zahlen. Mit Rückblick auf seine Vorlesungstätigkeit als Professor am eidgenössischen Polytechnikum in Zürich im Jahr 1858 schreibt Dedekind im Vorwort dieser Schrift:

Bei dem Begriffe der Annäherung einer veränderlichen Größe an einen festen Grenzwert und namentlich bei dem Beweise des Satzes, daß jede Größe, welche beständig, aber nicht über alle Grenzen wächst, sich gewiß einem Grenzwert nähern muß, nahm ich meine Zuflucht zu geometrischen Evidenzen. Auch jetzt halte ich ein solches Heranziehen geometrischer Anschauung bei dem ersten Unterrichte in der Differentialrechnung vom didaktischen Standpunkte aus für außerordentlich nützlich, ja unentbehrlich, wenn man nicht gar zu viel Zeit verlieren will. Aber daß diese Art der Einführung in die Differentialrechnung keinen Anspruch auf Wissenschaftlichkeit machen kann, wird wohl niemand leugnen. Für mich war damals dies Gefühl der Unbefriedigung ein so überwältigendes, daß ich den festen Entschluß faßte, so lange nachzudenken, bis ich eine rein arithmetische und völlig strenge Begründung der Infinitesimalanalysis gefunden haben würde.

Die Lösung dieses Problems gelang Dedekind nach eigener Angabe am 24. November 1858. Nichtsdestotrotz hat Dedekind seine Gedanken erst vierzehn Jahre später veröffentlicht. Ausgangspunkt seiner Überlegungen ist die Analogie zwischen den rationalen Zahlen einerseits und Punkten einer Geraden andererseits. Hierbei ist erstens vorausgesetzt, dass man mit rationalen Zahlen in bekannter Weise rechnen und diese Zahlen anordnen kann (→ Die Menge der rationalen Zahlen) und zweitens ist vorausgesetzt, dass man einer Geraden zwei entgegengesetzte Richtungen zuordnen kann ("links" und "rechts" genannt). Die Analogie besteht nun im Folgenden (mit a, b und c werden rationale Zahlen, mit p, q und r werden Punkte auf einer Geraden g bezeichnet):

I.	Ist a > b und b > c, so ist a > c. In Worten: "b liegt zwischen a und c."	Liegt p rechts von q und q rechts von r, so liegt p rechts von r. In Worten: "q liegt zwischen p und r."
II.	Ist a ǂ c, so gibt es immer unendlich viele rationale Zahlen, welche zwischen a und c liegen.	Sind p und r verschieden voneinander, so gibt es immer unendlich viele Punkte, welche zwischen p und r liegen.
III.	Jede rationale Zahl a definiert eine Zerlegung von ℚ in zwei unendliche Teilmengen A₁ und A₂, wobei A₁ alle Zahlen a₁ enthält mit a₁ < a und A₂ alle Zahlen a₂ enthält mit a₂ > a. a kann nach Belieben entweder A₁ oder A₂ zugeteilt werden, und sie ist dann entweder die größte Zahl von A₁ oder die kleinste Zahl von A₂. In beiden Fällen gilt: Aus a₁ ∈ A₁ und a₂ ∈ A₂ folgt a₁ < a₂.	Jeder Punkt p definiert eine Zerlegung der Geraden g in zwei unendliche Punktmengen P₁ und P₂, wobei P₁ alle links von p liegenden Punkte und P₂ alle rechts von p liegenden Punkte enthält. p kann nach Belieben entweder P₁ oder P₂ zugeteilt werden. p ist dann entweder der am weitesten rechts liegende Punkt in P₁ oder der am weitesten links liegende Punkt in P₂. In jedem Fall liegt jeder Punkt aus P₁ links von jedem Punkt aus P₂.

Wählt man einen beliebigen Punkt auf der Geraden g als Nullpunkt o aus und wählt eine bestimmte Längeneinheit zum Ausmessen der Strecken zwischen o und den Punkten P auf g, dann findet man zu jeder rationalen Zahl in eindeutiger Weise einen entsprechenden Punkt auf g. Alle Punkte, die zu negativen Zahlen gehören, liegen dann links und alle zu positiven Zahlen gehörenden Punkte liegen rechts von o. Der Punkt o entspricht der Zahl 0.

Die so definierte Zahlengerade besitzt Punkte, die nicht zu rationalen Zahlen gehören!

Beispielsweise kann mit Hilfe der Diagonale des Einheitsquadrates ein Punkt auf der Zahlengeraden konstruiert werden, der zu keiner rationalen Zahl gehört (→ Beweis). Man macht sich leicht klar, dass es unendlich viele von diesen Lückenpunkten geben muss. Das Ausfüllen der Lücken mit den so genannten irrationalen Zahlen geschieht unter der Annahme, dass das Dedekind'sche Axiom uneingeschränkt gültig ist. Es lautet in der ursprünglichen Fassung so:

Zerfallen alle Punkte der Geraden in zwei Klassen von der Art, daß jeder Punkt der ersten Klasse links von jedem Punkte der zweiten Klasse liegt, so existiert ein und nur ein Punkt, welcher diese Einteilung aller Punkte in zwei Klassen, diese Zerschneidung der Geraden in zwei Stücke hervorbringt.

Zerlegt man die Menge der rationalen Zahlen in zwei Teilmengen A₁ und A₂ mit der charakteristischen Eigenschaft, dass jede Zahl a₁ ∈ A₁ kleiner ist als jede Zahl a₂ ∈ A₂, so heißt eine derartige Zerlegung Dedekindscher' Schnitt. Ein solcher Schnitt wird mit (A₁, A₂) bezeichnet und beschreibt entweder eine rationale Zahl a (die dann entweder die größte Zahl in A₁ oder die kleinste Zahl in A₂ ist) oder eine irrationale Zahl. Hierzu schreibt Dedekind:

„Jedesmal nun, wenn ein Schnitt (A₁, A₂) vorliegt, welcher durch keine rationale Zahl hervorgebracht wird, so erschaffen wir uns eine neue, eine irrationale Zahl α, welche wir als durch diesen Schnitt (A₁, A₂) vollständig definiert ansehen; wir werden sagen, daß die Zahl α diesem Schnitt entspricht, oder daß sie diesen Schnitt hervorbringt. Es entspricht also von jetzt ab jedem bestimmten Schnitt eine und nur eine bestimmte rationale oder irrationale Zahl und wir sehen zwei Zahlen stets und nur dann als verschieden oder ungleich an, wenn sie wesentlich verschiedenen Schnitten entsprechen.“
(R. Dedekind: Stetigkeit und Irrationale Zahlen, Braunschweig 1872, S. 13)

Auf Grundlage dieser Definition gelingt es Dedekind, die reellen Zahlen (das heißt: alle rationalen und irrationalen Zahlen) anzuordnen, ferner zu zeigen, dass ein Schnitt von ℝ von genau einer reellen Zahl hervorgebracht wird und schließlich die bekannten Rechenoperationen in ℝ zu definieren.