Limeszahl
definiert in: Menge/ Ordinalzahlen
Sei α eine Ordinalzahl. Dann ist
s(α), definiert durch s(α) =def α ∪ {
α }, auch eine Ordinalzahl (→ Beweis).
s(α) = α ∪ {
α } mit α ∈∈ 𝑶
heißt Nachfolgerzahl.
Ist eine von 0 verschiedene Ordinalzahl λ keine
Nachfolgerzahl, so ist λ eine
Limeszahl.
ω ist die kleinste Limeszahl.
Sei m eine nichtleere Menge von Ordinalzahlen. Dann ist m nach oben
beschränkt und ⋃m das
Supremum von m in 𝑶
(→ Beweis).
Hieraus folgt, dass es zu jeder Menge α
von Ordinalzahlen stets eine noch größere gibt: s(sup α)
ist größer als jedes Element von α
und größer als α.
Ein echter Anfang μ von 𝑶,
also eine Menge mit β < α ˄ α ∈∈ μ ⇀ β ∈∈ μ
für alle α,β ∈∈ μ,
ist als Teil von 𝑶
wohlgeordnet und lässt sich stets fortsetzen, das heißt: es gibt bei gegebenem μ
immer eine nächste Ordinalzahl ν. Hat μ
ein Maximum τ, dann gilt ν = s(τ)
(ν ist dann eine Nachfolgerzahl),
andernfalls setzt man ν = sup μ
(dann ist ν eine Limeszahl).
