Peano-Struktur
definiert in: Menge/ vonNeumann’sche Zahlen
In der Sprache der Mengenlehre lauten Peano’s Axiome wie folgt:
(I)* w ǂ Ø
(II)* ∃σ (σ: w inj→ w)
(III)* ∃! o ∈∈ w (o ∉∉ rng(σ))
(IV)* ∀t⊆w (o∈∈t ˄ ∀x∈∈t (σ(x) ∈∈ t) ⇀ t = w)
o heißt Nullmenge, σ wird Nachfolgerfunktion genannt. Sind die Axiome (I)* bis (IV)* gültig, dann sagt man kurz: „(w,σ,o) ist eine Peano-Struktur“.
Je zwei Peano-Strukturen sind isomorph zueinander (→ Beweis). Das bedeutet, dass ℕ, die Menge aller „gewöhnlichen“ natürlichen Zahlen, ω, die Menge aller vonNeumann’schen Zahlen oder jede andere Menge, welche den Axiomen (I)* bis (IV)* genügt, dieselbe algebraische Struktur besitzen. Anders ausgedrückt: Die den Peano’schen Axiomen genügende Struktur ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Das Peano’sche Axiomensystem ist also monomorph (oder kategorisch).
→ ω → Nachfolgerzahl → Relation → Symbole → Index
