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Kleines Mathe-Lexikon
 

Äquivalenzsatz

bewiesen in: Menge/ Mächtigkeiten

Gegeben seien zwei Mengen a und b. a und b heißen genau dann gleichmächtig (oder äquivalent), in Zeichen: a  b, wenn eine Funktion f existiert, so dass fa bij b. a heißt höchstens so mächtig wie b (kurz formuliert: „a ≼ b“) genau dann, wenn es eine injektive Funktion von a nach b gibt. Gilt a ≼ b und ¬(a  b), so soll „a ≺ b“ geschrieben werden (gesprochen: „b ist mächtiger als a“).

Für alle Mengen a, b und c gilt ( Beweis)

(i)  a ≼ a
(ii)  a ≼ b ˄ b ≼ c a ≼ c
(iii)  a ≼ b ˅ b ≼ a.

Ist a eine Teilmenge von b und b höchstens so mächtig wie a, dann sind a und b äquivalent ( Beweis):

a  ˄ b ≼ a a  b.

Aus diesem (nicht einfach zu beweisenden) Satz folgt für alle Mengen a und b der Äquivalenzsatz ( Beweis):

a ≼ b˄b ≼ a a  b.

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