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Kleines Mathe-Lexikon
 

Skalarprodukt

definiert in: Vektor/ Skalarprodukt von Vektoren

Die Definition des Skalarprodukts liefert eine Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren. Das Ergebnis des Skalarprodukts zweier Vektoren ist kein Vektor, sondern eine Zahl:

Gegeben seien zwei von o verschiedene, aber ansonsten beliebige Vektoren ab  , die den Winkel α einschließen. Dann heißt

ab = |a|·|b|·cos(α)

das Skalarprodukt von a und b. Ist a = o oder b = o, dann setzt man ab = 0.

zur Definition des Skalarprodukts

Für 0° α < 90° und  270° < α  360° ist ab positiv; für 90° < α < 270° ist ab negativ; ab = 0, wenn α = 90° oder α = 270°.

Hiermit lässt sich der geometrische Sachverhalt, dass zwei geometrische Objekte senkrecht zueinander stehen, auch analytisch ausdrücken:

a b   ab = 0  mit  a, b ǂ o

Außerdem folgt direkt aus der Definition des Skalarprodukts  aa = |a|2 für alle a  , kurz geschrieben:

a2 = a2  für alle  a  

Physikalisch ist das Skalarprodukt überall dort bedeutsam, wo es um die Berechnung von Energiemengen geht und hierbei gerichtete Größen eine Rolle spielen. Zwei Beispiele: Für die Verschiebung eines Körpers um einen gewissen Streckenabschnitt Δs durch eine konstante Kraft F muss insgesamt die Energie Δ= FΔs aufgebracht werden. ändert irgendein sich mit der Geschwindigkeit v gleichförmig bewegtes System seinen Impuls um ΔP, dann nimmt es hierbei den Energiebetrag Δ= vΔP auf.

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