Menge
ausführlich behandelt im Kapitel Mathematische Begriffe/Menge
In naiver Weise können Mengen auf verschiedene Weise dargestellt werden: eine Menge verschiedenfarbiger Kugeln etwa durch ein Bild,
die Menge aller Primzahlen zwischen 0 und 20 in aufzählender Form,
M2 = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 }
oder die Menge bestimmter Objekte durch deren Eigenschaft:
M3 = { x ∈∈ M2 | x < 10 }.
In der Menge M3 sind all diejenigen Elemente aus M2 enthalten, die kleiner als 10 sind.
Das sogenannte Komprehensionsprinzip besagt, dass man auf solche Art immer Mengen bilden kann, und zwar unabhängig sowohl von der Art der betrachteten Objekte als auch von zumindest logisch formulierten Eigenschaften. Der sogenannten „naiven“ Mengenlehre liegt insbesondere dieses Komprehensionsprinzip zugrunde.
Bereits Georg Cantor war sich bewusst, dass man nur bestimmte Objekte zu einer Menge zusammenfassen darf. Mit anderen Worten: das Komprehensionsprinzip kann nicht allgemeingültig sein! Cantor formulierte 1895: „Unter einer ‚Menge‛ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objecten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‚Elemente‛ von M genannt werden) zu einem Ganzen.“ (Math. Annalen Bd. 46, S. 481).
Wäre es möglich, jede Art von Mengen zuzulassen, gäbe es etwa auch die Menge aller Mengen. Unter der Annahme, dass diese Menge tatsächlich existiert, erhält man allerdings logische Widersprüche.
Ernst Zermelo hat 1907 mit seinen Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre eine axiomatisch begründete Theorie entwickelt, und zwar in der Weise, dass „man die Prinzipien einmal eng genug einschränkt, um alle Widersprüche auszuschließen, gleichzeitig aber auch weit genug ausdehnt, um alles Wertvolle dieser Lehre beizubehalten.“ (Math. Annalen Bd. 65, S. 261). Spätere Ergänzungen von Zermelos Prinzipien durch Fraenkel und Skolem führten schließlich zum Zermelo-Fraenkel’schen Axiomensystem mit Auswahlaxiom (Axiom of Choice), in der mathematischen Literatur abgekürzt mit ZFC.
Auf die Frage, was Mengen „eigentlich“ sind, liefert ZFC keine Antwort. Mit ZFC ist es lediglich möglich, Aussagen darüber zu formulieren, dass gewisse mathematische Objekte Mengen sind und welche mengentheoretische Eigenschaften sie haben. Das hört sich sehr schwach an, und dennoch stellt ZFC insbesondere die Basis dafür dar, sowohl die fundamentalen Begriffe der Mathematik mengentheoretisch zu definieren und zu verstehen als auch Grundlagenfragen der Mathematik im Rahmen der Mengenlehre zu diskutieren.
Die Grundlage einer Theorie über Mengen muss nicht zwangsläufig das Axiomensystem von Zermelo, Fraenkel und Skolem sein. Beispielsweise kann eine solche Theorie auch unter der Voraussetzung der Neumann-Bernays-Gödel’schen Axiome (NBG) entwickelt werden. ZFC und NBG sind insofern gleichwertig, als sich alle Sätze über Mengen, die mit ZFC herleitbar sind, auch aus NBG folgern lassen. Und umgekehrt: alle Sätze der auf NBG basierenden Theorie sind auch mit Hilfe von ZFC beweisbar.
