Maple-Worksheet: Darlehen

Abzahlung eines Darlehens

B(0)	Darlehensbetrag (Schulden zur Zeit t = 0)
t	Zeit in Monaten nach Aufnahme des Darlehens
a	monatliche Zahlrate ( a = Z + b)
p %	Zinssatz p.a.
Z	monatliche Zinsen (Z = k*B(t) mit k = p/1200)
b	monatlicher Abtrag
t_D	gesamte Darlehenszeit
B(t)	Schulden zur Zeit t

> restart; with(plots):

f:= t -> B(t):
diff(f(t), t) = k*f(t) - a;

Lösung dieser Differentialgleichung:

> dsolve(%, B(t));

Zur Zeit t = 0 wird der gesamte Darlehensbetrag geschuldet:

> lsg:= %:

subs({B(t)= B[0], t= 0}, %);

Berechnung der Konstanten _C1:

> _C1:= (solve(%, _C1));

Die zur Zeit t noch bestehenden Schulden B(t):

> B(t):= simplify(rhs(lsg));

Die monatliche Zahlrate a in Abhängigkeit von der gewünschten Darlehenszeit t_D:

> solve(B(t) = 0, a):

a:= subs(t= t[D], %);

a = e^(k*t[D])*B[0]*k/(-1 + e^(k*t[D]))

Beispiel: Darlehen 10.000 EUR; Zinssatz 7%; zurückzuzahlen in insgesamt 8 Jahren

> B[0]:= 10000: # Darlehensbetrag

p:= 7: # Zinssatz p.a.
k:= evalf(p/1200):
t[D]:= 8*12-1: # Darlehenszeit in Monaten
a:= round(a); # monatlicher Zahlbetrag

Diskrete Rechnung in monatlichen Schritten:

> t:= 0: Z:= 0: b:= 0:

b_ges:= 0: Z_ges:= 0:
S:= B[0]:
printf("t S b b_ges Z Z_ges\n");
printf("%3.0f %9.2f %7.2f %9.2f %7.2f %9.2f\n",
       t, S, b, b_ges, Z, Z_ges);
P[1]:= [0, 0]:

while (S > 0) do
  t:= t+1:     # Zeit in Monaten
  Z:= k*S:     # Zinsen im jeweiligen Monat
  b:= a - Z:   # Abtrag im jeweiligen Monat
  if (b > S) then b:= S; fi:
  S:= S - b:   # jeweils noch verbleibende Schulden
  Z_ges:= Z_ges + Z:
  b_ges:= b_ges + b:
  P[t+1]:= [t, Z_ges]:
  printf("%3.0f %9.2f %7.2f %9.2f %7.2f %9.2f\n",
         t, S, b, b_ges, Z, Z_ges);
od:

t	S	b	b_ges	Z	Z_ges
0	10000.00	0.00	0.00	0.00	0.00
1	9921.33	78.67	78.67	58.33	58.33
2	9842.21	79.13	157.79	57.87	116.21
3	9762.62	79.59	237.38	57.41	173.62
4	9682.57	80.05	317.43	56.95	230.57
5	9602.05	80.52	397.95	56.48	287.05
6	9521.06	80.99	478.94	56.01	343.06
7	9439.60	81.46	560.40	55.54	398.60
8	9357.67	81.94	642.33	55.06	453.67
9	9275.25	82.41	724.75	54.59	508.25
10	9192.36	82.89	807.64	54.11	562.36
11	9108.98	83.38	891.02	53.62	615.98
12	9025.12	83.86	974.88	53.14	669.12
13	8940.76	84.35	1059.24	52.65	721.76
14	8855.92	84.85	1144.08	52.15	773.92
15	8770.58	85.34	1229.42	51.66	825.58
16	8684.74	85.84	1315.26	51.16	876.74
17	8598.40	86.34	1401.60	50.66	927.40
18	8511.56	86.84	1488.44	50.16	977.56
19	8424.21	87.35	1575.79	49.65	1027.21
20	8336.35	87.86	1663.65	49.14	1076.35
21	8247.98	88.37	1752.02	48.63	1124.98
22	8159.09	88.89	1840.91	48.11	1173.09
23	8069.69	89.41	1930.31	47.59	1220.69
24	7979.76	89.93	2020.24	47.07	1267.76
25	7889.31	90.45	2110.69	46.55	1314.31
26	7798.33	90.98	2201.67	46.02	1360.33
27	7706.82	91.51	2293.18	45.49	1405.82
28	7614.78	92.04	2385.22	44.96	1450.78
29	7522.19	92.58	2477.81	44.42	1495.19
30	7429.07	93.12	2570.93	43.88	1539.07
31	7335.41	93.66	2664.59	43.34	1582.41
32	7241.20	94.21	2758.80	42.79	1625.20
33	7146.44	94.76	2853.56	42.24	1667.44
34	7051.13	95.31	2948.87	41.69	1709.13
35	6955.26	95.87	3044.74	41.13	1750.26
36	6858.83	96.43	3141.17	40.57	1790.83
37	6761.84	96.99	3238.16	40.01	1830.84
38	6664.29	97.56	3335.71	39.44	1870.29
39	6566.16	98.12	3433.84	38.88	1909.16
40	6467.46	98.70	3532.54	38.30	1947.46
41	6368.19	99.27	3631.81	37.73	1985.19
42	6268.34	99.85	3731.66	37.15	2022.34
43	6167.90	100.43	3832.10	36.57	2058.90
44	6066.88	101.02	3933.12	35.98	2094.88
45	5965.27	101.61	4034.73	35.39	2130.27
46	5863.07	102.20	4136.93	34.80	2165.07
47	5760.27	102.80	4239.73	34.20	2199.27
48	5656.87	103.40	4343.13	33.60	2232.87
49	5552.87	104.00	4447.13	33.00	2265.87
50	5448.26	104.61	4551.74	32.39	2298.26
51	5343.05	105.22	4656.95	31.78	2330.05
52	5237.21	105.83	4762.79	31.17	2361.21
53	5130.76	106.45	4869.24	30.55	2391.76
54	5023.69	107.07	4976.31	29.93	2421.69
55	4916.00	107.70	5084.00	29.30	2451.00
56	4807.67	108.32	5192.33	28.68	2479.67
57	4698.72	108.96	5301.28	28.04	2507.72
58	4589.13	109.59	5410.87	27.41	2535.13
59	4478.90	110.23	5521.10	26.77	2561.90
60	4368.03	110.87	5631.97	26.13	2588.03
61	4256.51	111.52	5743.49	25.48	2613.51
62	4144.33	112.17	5855.67	24.83	2638.33
63	4031.51	112.82	5968.49	24.18	2662.51
64	3918.03	113.48	6081.97	23.52	2686.03
65	3803.88	114.14	6196.12	22.86	2708.88
66	3689.07	114.81	6310.93	22.19	2731.07
67	3573.59	115.48	6426.41	21.52	2752.59
68	3457.44	116.15	6542.56	20.85	2773.44
69	3340.61	116.83	6659.39	20.17	2793.61
70	3223.09	117.51	6776.91	19.49	2813.09
71	3104.89	118.20	6895.11	18.80	2831.89
72	2986.01	118.89	7013.99	18.11	2850.01
73	2866.42	119.58	7133.58	17.42	2867.42
74	2746.14	120.28	7253.86	16.72	2884.14
75	2625.16	120.98	7374.84	16.02	2900.16
76	2503.48	121.69	7496.52	15.31	2915.48
77	2381.08	122.40	7618.92	14.60	2930.08
78	2257.97	123.11	7742.03	13.89	2943.97
79	2134.14	123.83	7865.86	13.17	2957.14
80	2009.59	124.55	7990.41	12.45	2969.59
81	1884.31	125.28	8115.69	11.72	2981.31
82	1758.31	126.01	8241.69	10.99	2992.31
83	1631.56	126.74	8368.44	10.26	3002.56
84	1504.08	127.48	8495.92	9.52	3012.08
85	1375.85	128.23	8624.15	8.77	3020.85
86	1246.88	128.97	8753.12	8.03	3028.88
87	1117.15	129.73	8882.85	7.27	3036.15
88	986.67	130.48	9013.33	6.52	3042.67
89	855.43	131.24	9144.57	5.76	3048.43
90	723.42	132.01	9276.58	4.99	3053.42
91	590.64	132.78	9409.36	4.22	3057.64
92	457.08	133.55	9542.92	3.45	3061.08
93	322.75	134.33	9677.25	2.67	3063.75
94	187.63	135.12	9812.37	1.88	3065.63
95	51.72	135.91	9948.28	1.09	3066.72
96	0.00	51.72	10000.00	0.30	3067.03

Die zur Zeit t bisher insgesamt gezahlten Zinsbeträge (Z_ges):

> t:= 't': Z_ges:= 'Z_ges':

plot({seq(P[i], i = 1..97)},
  x = 0..96,
  style = point,
  symbol = CROSS,
  color = red,
  labels = [t, Z_ges]);

Z_ges in Abhängigkeit von t