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Kleines Mathe-Lexikon
 

Äquivalenzklasse

definiert in: Äquivalenzrelation/ Quotientenmengen

Sei ~ eine Äquivalenzrelation auf einer nichtleeren Menge M. Dann heißen die zu ~ gehörenden Teilmengen

M(x) = { y M:  x ~ y }

Äquivalenzklassen und die Menge aller dieser Teilmengen − das ist die zu ~ gehörende Zerlegung − wird Quotientenmenge von ~ genannt und mit M/~ bezeichnet.
Die zu einer Äquivalenzrelation ~ auf M gehörenden Äquivalenzklassen M(x) werden oft auch mit dem Symbol [x] gekennzeichnet. x heißt Repräsentant der Äquivalenzklasse [x].

Sei m irgendeine positive natürliche Zahl. Dann hat man mit

~ y  ⇔def  (x − y) wird von m geteilt

eine Äquivalenzrelation auf , der Menge der ganzen Zahlen, definiert ( Beweis).

Die zugehörigen Äquivalenzklassen heißen Restklassen modulo m. Wenn [x] eine solche Restklasse darstellt, dann sind folgende Aussagen gleichwertig:

y [x]
~ y
m | (x − y)
x y mod m

In Worten:

y ist Element der Äquivalenzklasse [x]
x ist äquivalent zu y
m ist ein Teiler von (x−y)
x ist kongruent zu y modulo m

Beispielsweise sind [0] = { ..., −6, −3, 0, 3, 6, ... }, [1] = { ..., −2, 1, 4, 7, ... } und [2] = { ..., −1, 2, 5, ... } die Restklassen modulo 3 und es gilt  0  6 mod 3  oder  −4  5 mod 3.

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