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Kleines Mathe-Lexikon
 

Äquivalenzrelation

definiert in: Äquivalenzrelation/ Zerlegungen von Mengen

Eine Relation ~  M x M auf einer Menge M heißt Äquivalenzrelation auf M, falls ~ transitiv, symmetrisch und reflexiv ist, das heißt, falls für alle x, y, z  M das Folgende gilt:

~ y  und  y ~ z   x ~ z   (Transitivität)
~ y    y ~ x   (Symmetrie)
~ x   (Reflexivität)

Eine Menge M, auf der eine Äqivalenzrelation definiert ist, zerfällt sozusagen von selbst in Teilmengen Mi, und zwar so, dass für je zwei Elemente x und y einer Teilmenge Mi stets x ~ y gilt ( Beweis). Das Umgekehrte ist ebenfalls richtig: Jede Zerlegung einer Menge M induziert in natürlicher Weise eine Äquivalenzrelation auf M ( Beweis).

Sei m irgendeine positive natürliche Zahl. Dann hat man mit

~ y  ⇔def  (x − y) wird von m geteilt

eine Äquivalenzrelation auf der Menge der ganzen Zahlen definiert.

Sei MPf die Menge aller Pfeile in einem dreidimensionalen euklidischen Raum und p, q MPf, dann hat man mit

p ~ q  ⇔def  p und q sind richtungs- und längengleich

eine Äquivalenzrelation auf MPf definiert. Die zugehörigen Äquivalenzklassen heißen Pfeilklassen.

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