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Kleines Mathe-Lexikon
 

Kreuzprodukt

definiert in: Vektor/ Kreuzprodukt von Vektoren

Gegeben seien zwei von o verschiedene, aber ansonsten beliebige Vektoren ab  , die den Winkel α einschließen.

Rechtssystem [a, b, axb]

Dann sei axb definiert durch folgende Eigenschaften:

(i)     axb  a und axb  b
(ii)   [abaxb] ist ein Rechtssystem (siehe Abb.)
(iii) |axb= |a|·|b|·|sin(α)|

axb heißt Kreuzprodukt (oder Vektorprodukt) von a und b.

Ist a = o oder b = o, dann setzt man axb = o.

Nach dieser Definition ist axb ein Normalenvektor der durch a und b festgelegten Ebene und der Betrag von axb entspricht dem Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms. So wie Orthogonalität mit Hilfe des Skalarproduktes analytisch beschreibbar ist, lässt sich mit Hilfe des Kreuzproduktes Parallelität analytisch beschreiben, denn es gilt nach Definition wegen (iii)

a || b   axb = o  mit  a, b ǂ o

Ferner gelten für alle abc   und alle t   die folgenden Rechenregeln ( Beweis):
(K1) axb =  bxa
(K2) ax(b + c) = axb + axc (Distributivgesetz)
(K3) ax(t·b) = t·(axb) (gemischt assoziatives Gesetz)

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