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Kleines Mathe-Lexikon
 

Mādhava-Leibniz-Reihe

beschrieben in: Reihe/ Die Mādhava-Leibniz-Reihe

Im vom indischen Mathematiker und Astronom Nīlakaṇṭha Somayājī um 1500 geschriebenen Werk Tantrasagraha findet sich eine von Mādhava etwa 100 Jahre zuvor entdeckte Anleitung zur Berechnung der Zahl π, in heutiger Schreibweise:

π/4 =  1 − 1/3 + 1/51/7 + 1/91/11 + −...

Es ist eine der verblüffendsten und schönsten Formeln der Mathematik: π ist nach dieser Formel darstellbar mit einer alternierenden und nicht abbrechenden Summe aller Bruchzahlen mit ungeraden Nennern. Die Folge der Partialsummen der Mādhava-Reihe

1, 1 − 1/3, 1 − 1/3 + 1/5, 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7, ...

konvergiert leider recht langsam, wie das folgende Diagramm und auch die Tabelle einiger Näherungswerte von π zeigen.

Madhava-Reihe 


n 4·Sn 4·S(n)/π
1 2,666666667 0,8488263632
10 3,232315809 1,028878077
100 3,151493401 1,003151506
1000 3,142591654 1,000317992
10000 3,141692644 1,000031828
100000 3,141602653 1,000003183
1000000 3,141593654 1,000000318

Hierbei ist

Sn = nk = 0 (−1)k1/2k+1.

Auch Gottfried Wilhelm Leibniz hat die Reihe von Mādhava gefunden und 1682 in der Zeitschrift Acta Eruditorum veröffentlicht. Deshalb spricht man heute von der „Mādhava-Leibniz-Reihe“.

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