Mādhava-Leibniz-Reihe
beschrieben in: Reihe/ Die Mādhava-Leibniz-Reihe
Im vom indischen Mathematiker und Astronom Nīlakaṇṭ
ha Somayājī um 1500 geschriebenen Werk Tantrasaṅ
graha
findet sich eine von Mādhava etwa 100 Jahre zuvor entdeckte Anleitung zur Berechnung der Zahl π
,
in heutiger Schreibweise:
π
4 = 1 − 13
+ 15
− 17
+ 19
− 111 + −...
Es ist eine der verblüffendsten und schönsten Formeln der Mathematik: π
ist nach dieser
Formel darstellbar mit einer alternierenden und nicht abbrechenden Summe aller Bruchzahlen mit ungeraden Nennern. Die Folge der Partialsummen der Mādhava-Reihe
1, 1 − 13, 1 − 13 + 15, 1 − 13 + 15 − 17, ...
konvergiert leider recht langsam, wie das folgende Diagramm und auch die Tabelle einiger Näherungswerte von π
zeigen.
n | 4·Sn | 4·S(n)π |
1 | 2,666666667 | 0,8488263632 |
10 | 3,232315809 | 1,028878077 |
100 | 3,151493401 | 1,003151506 |
1000 | 3,142591654 | 1,000317992 |
10000 | 3,141692644 | 1,000031828 |
100000 | 3,141602653 | 1,000003183 |
1000000 | 3,141593654 | 1,000000318 |
Hierbei ist
Sn = n∑k = 0 (−1)k12k+1.
Auch Gottfried Wilhelm Leibniz hat die Reihe von Mādhava gefunden und 1682 in der Zeitschrift Acta Eruditorum veröffentlicht. Deshalb spricht man heute von der „Mādhava-Leibniz-Reihe“.
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