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Mathematische Begriffe
 

Reihe

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Summenfolgen und Summen nach oben

Die unendliche Summe aller Folgenglieder einer reellen Zahlenfolge (ak)

k = 0ak

wird Reihe genannt. Die ak heißen Summanden (oder Glieder) dieser Reihe. Die n-ten Partialsummen,

Sn =def nk = 0ak   für alle ,

sind die Glieder der Summenfolge der Reihe k = 0ak. Ist die Summenfolge (Sn) einer Reihe konvergent, so heißt die zugehörige Reihe konvergent. Der Grenzwert von (Sn) wird als Summe der Reihe bezeichnet:

S =lim nSn =lim n nk = 0ak  

Im Fall der Konvergenz schreibt man einfach: S = k = 0ak. Ist eine Reihe nicht konvergent, so heißt sie divergent.

Beginnt die Nummerierung der Summanden einer Reihe nicht bei 0, sondern bei einer natürlichen Zahl i, die größer als 0 ist, so erhält man Reihen der folgenden Form:

k = iak = ai + ai+1 + ai+2 + ...

und die obigen Definitionen gelten entsprechend (man ersetze das jeweilige „k = 0“ durch „k = i“).


S1
Ist A die Summe der konvergenten Reihe k = 0ak, B die der konvergenten Reihe k = 0bk und c eine Konstante, dann gelten die folgenden Rechenregeln

(I)    k = 0ak +k = 0bk  = k = 0(ak + bk= A + B 
(II)    k = 0ak −k = 0bk  = k = 0(ak − bk= A − B 
(III)    k = 0c·ak  = ck = 0ak = c·A.

Die Aussagen folgen sofort aus den Grenzwertsätzen für Folgen, (i), (iv) bzw. (v).


S2
Wenn eine Reihe konvergent ist, so strebt die Folge ihrer Glieder gegen 0.

Beweis:
Sei S =lim nSn = k = 0ak. Mit (Sn) ist auch (Sn+1) konvergent. Beide Folgen, (Sn) und (Sn+1), haben denselben Grenzwert. Also ist nach dem ersten Grenzwertsatz die Folge

(an+1) = (Sn+1)+(−Sn)

eine Nullfolge und damit strebt auch (an) gegen 0.


S3 (Cauchy’sches Konvergenzkriterium für Reihen)
Eine Reihe k = 0ak  konvergiert genau dann, wenn zu jedem ε > 0 eine natürliche Zahl n0 existiert, so dass

|nk = n0+1ak | < ε  für alle> n0.

Beweis:
Es gilt nk = n0+1ak  =  Sn − Sn0.  Nach dem Cauchy’schen Konvergenzkriterium konvergiert k = 0ak und damit (Sn) genau dann, wenn es bei vorgegebenem ε > 0 eine natürliche Zahl N gibt, so dass für alle m,n  N

|Sn − Sm< ε

gilt. Im Fall der Konvergenz von (Sn) existiert also ein solches N. Mit n0 > N folgt für alle> n0

|Sn − Sn0< ε.

Sei nun umgekehrt vorausgesetzt, dass für ein beliebig gewähltes ε > 0 eine natürliche Zahl n0 existiert, so dass für alle> n0

|Sn − Sn0<  ε/2

gilt. Damit hat man für alle n,m > n0

   |Sn − Sm|
= |Sn − Sn0 + Sn0 − Sm|
|Sn − Sn0| + |Sm − Sn0|
< ε/2 + ε/2
= ε
und hieraus folgt die Konvergenz von k = 0ak.

Mit S3 hat man unmittelbar den folgenden Satz:


S4
Gegeben sei die Reihe k = 0ak  und eine beliebige natürliche Zahl n. Dann konvergiert k = 0ak  genau dann, wenn k = nak  konvergiert.


S5
Gegeben sei eine konvergente Reihe k = 0ak  und eine beliebige natürliche Zahl n. Dann gilt

k = 0ak  = nk = 0ak  +k = n+1ak .

Beweis:
Es gilt für beliebige natürliche Zahlen m und n

mk = 1ak+n =m+nk = 0aknk = 0ak .

Lässt man nun m gegen unendlich streben und beachtet S4 und F2(v), dann ergibt sich

k = 1ak+n =k = 0aknk = 0ak

und mit k = n+1ak =k = 1ak+n  folgt die Behauptung.


S6
Die harmonische Reihe k = 11/k ist divergent.

Beweis:
Sei ε = 1/2 und n0   beliebig gewählt. Dann gilt

2n0k = n0+11/k  2n0k = n0+11/2n0  =  1/2.

Mit S3 folgt die Behauptung.

Divergierende Reihe

Am Beispiel der harmonischen Reihe sieht man, dass die Umkehrung vom Satz S2 nicht gilt! Für die Konvergenz einer Reihe ist es nur notwendig, dass die Folge ihrer Summanden gegen 0 strebt, aber nicht hinreichend. Mit anderen Worten: Wenn die Folge der Summanden einer Reihe eine Nullfolge ist, folgt nicht, dass diese Reihe konvergent ist.

Sei x  . Dann heißt

k = 0xk = 1 + x + x2 + x3 + ....

geometrische Reihe.


S7
Die geometrische Reihe konvergiert gegen  1/1 − x , falls |x| < 1 und divergiert, falls |x|  1.

Beweis:
Sei Sn = 1 + x + ... + xn.

Sn lässt sich einfach berechnen, indem die Gleichung  Sn = 1 + x + ... + xn  mit x multipliziert wird und das Ergebnis von der Ursprungsgleichung abgezogen wird:

Sn − x·Sn  = 1 − xn+1   Sn = 1 − xn+1/1 − x.

Sei nun |x| < 1. Dann folgt mit Hilfe der Grenzwertsätze

Sn = 1/1 − x − xn+1/1 − x    1/1 − x (n  ).


S8
Die Euler’sche Reihe

k = 01/k! = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...

ist konvergent. Der Grenzwert dieser Reihe ist irrational.

Beweis:
Monoton steigende und nach oben beschränkte Folgen bzw. monoton fallende und nach unten beschränkte Folgen sind immer konvergent.( Beweis). Nun hat man mit

En =def nk = 01/k! = 1 + 1/1! +  1/2! + 1/3! + ... + 1/n!

erstens eine streng monoton wachsende Summenfolge (En) und zweitens ist die Folge (En) beschränkt. Die untere Schranke su ist 0, die obere Schranke so ist 3, denn es gilt unter Beachtung von S7:

En  1 + 1 + n−1k = 0(1/2)k  = 1 + 1 − 1/2n/1 − 1/2 < 3.

Der Grenzwert der Euler’schen Reihe, die Euler’sche Zahl, wird mit „e“ bezeichnet.
(En) konvergiert recht rasch, die ersten fünfzehn Folgenglieder (mit 10 Dezimalstellen hinter dem Komma hingeschrieben) lauten:

Euler

Angenommen, e ist eine rationale Zahl. Dann gibt es zwei natürliche Zahlen p und q mit e = p/q, wobei p und q hierbei als teilerfremd vorausgesetzt werden dürfen und es folgt q·e   mit q  2 und somit auch q!·e  ℕ.

   q!·e
= q!·(1 + 1/1! + ... + 1/q! + 1/(q+1)! + ...)
= q!·(1 + 1/1! + ... + 1/q!) + R

mit

   R 
=
 q!·(1/(q+1)! + 1/(q+2)! + ...)
= (1/(q+1) + 1/(q+1)(q+2) + ...)
= 1/q+1·(1 + 1/q+2 + 1/(q+2)(q+3) + ...)
< 1/(q+1)·(1 + 1/2 + 1/22 + 1/23 + ...)
= 2/(q+1)
< 1.

Hieraus folgt q!·e   und damit die Irrationalität von e.

Charles Hermite hat 1873 darüberhinaus bewiesen, dass e eine transzendente Zahl ist.

S9
Die Zahlenfolge (en), definiert durch

en = (1 + 1/n)n  für alle *

ist konvergent und es gilt en  e (n → ∞).

Beweis:
Sei im Folgenden stets n ∈ *. Mit dem binomischen Lehrsatz und S8 folgt

   en
=
nk = 0(n_k)·1/nk
= 1 + n/n1·1! + n·(n−1)/n2·2! + ... + n·(n−1)·...·2·1/nn·n!
 1 +  1/1! +  1/2! + 1/3! + ... + 1/n!
< 3.

Demnach ist (en) nach oben beschränkt; außerdem ist (en) monoton wachsend. Mit dem Monotoniekriterium folgt die Konvergenz dieser Folge gegen einen Grenzwert g.

Es gilt
   en
=
2 + n·(n−1)/n2·2! + ... + n·(n−1)·...·2·1/nn·n!
= 2 + 1/2!(1−1/n) + ... + 1/n!(1−1/n)·...·(1 − n−1/n)
= nk = 0 (1/k!·(1 − 1/n)·...·(1 − k−1/n))
= k = 0 (1/k!·(1 − 1/n)·...·(1 − k−1/n)),
denn (1 − 1/n)·...·(1 − k−1/n) = 0 für alle k mit k > n.
Also hat man en k = 01/k! = e für alle *.
Sei nun n ∈ * beliebig, aber fest gewählt und m > n. Mit

S(a,b) =def bk = a (1/k!·(1 − 1/m)·...·(1 − k−1/m))

hat man

em = S(0,n) + S(n+1,m).

Somit gilt

 S(0,n) em e.

   ergibt   nk = 0 (1/k!) g e.
Mit n   folgt e  g  e  und damit die Behauptung.

Das nachfolgende Diagramm illustriert das sehr unterschiedliche Konvergenzverhalten der Folgen (En) (rot) und (en) (blau):

konvergente Folgen


Achilleus und die Schildkröte nach oben

Von Zenon, einem antiken Philosophen des fünften vorchristlichen Jahrhunderts, der in Elea lebte, stammt die folgende Erzählung: Achilleus und eine Schildkröte beabsichtigen, einen Wettlauf zu veranstalten. Unter der Voraussetzung, dass Achilleus der Schildkröte zu Beginn einen gewissen Vorsprung gewährt, argumentiert Zenon nun, dass die langsamere Schildkröte vom schnelleren Achilleus niemals eingeholt werden wird, denn „das Verfolgende muss nämlich zuvor dort ankommen, von wo das Fliehende losgelaufen ist, und so muss das Fliehende immer etwas voraus sein“ (zitiert nach Aristoteles’ Physik, VI. Buch, 9. Kapitel). Dies soll mit der folgenden Zeichnung veranschaulicht werden, wobei hierbei willkürlich angenommen wurde, dass Achilleus (rot) doppelt so schnell ist wie die Schildkröte (grün):

Zenon und die Schildkröte

Zur Startzeit t0 laufen beide mit jeweils konstanter Geschwindigkeit los. Wenn Achilleus zur Zeit t1 am Startort der Schildkröte eintrifft, ist die Schildkröte bereits eine bestimmte Strecke voraus gelaufen, und zwar hat sie innerhalb der Zeitspanne t1 − t0 genau die halbe Strecke zurückgelegt im Vergleich zu Achilleus, wenn dieser - wie in diesem Beispiel vorausgesetzt - doppelt so schnell ist als seine Konkurrentin. Und so geht das fortlaufend weiter, denn immer, wenn Achilleus innerhalb einer Zeitspanne tk+1 − tk eine gewisse Strecke zurückgelegt hat, wird die Schildkröte ihm jeweils um die Hälfte dieser Strecke voraus sein.

Nun wird auch Zenon während seines Lebens, höchstwahrscheinlich mehrfach, wahrgenommen haben, dass ein Läufer einen langsameren Läufer bei einem nicht zu großen Vorsprung stets einholt. Dies kann man mit den physikalischen Gesetzen der gleichförmigen Bewegung auch nachrechnen: Der Startzeitpunkt t0 sei gleich 0, d sei der Abstand zwischen Achilleus und der Schildkröte beim Start und x(t) die von der Zeit t abhängige Position von Achilleus bzw. der Schildkröte. Ist vA die Geschwindigkeit von Achilleus und vS die der Schildkröte, dann gilt xA = vA·t und xS = d + vS·t. Für die Position x*, an welcher Achilleus die Schildkröte einholt, gilt vA·t* = d + vS·t* und hieraus ergibt sich nach wenigen Rechenschritten

x* = d·vA/vA − vS.

Für die speziellen Positionen xk = x(tk) des Achilleus im obigen Beispiel ist für k = 1,2,3,...

xk+1 − xk = 1/2·(xk − xk−1).

Allgemein gilt

xk+1 − xk = vS/vA·(xk − xk−1).

Das bedeutet, dass sich gemäß der Argumentation von Zenon die Laufstrecke des Achilleus als Reihe darstellen lässt:

d + vS/vA·d + (vS/vA)2·d + (vS/vA)3·d + ... .

Mit S7 und S1(III) folgt

d ·k = 0(vS/vA)k = x*,

eine Formel, die mitnichten das Paradoxon des Zenon erledigt, sondern dessen paradoxe Aussage, der schnellere Achilleus könne (entgegen aller Erfahrung) die langsamere Schildkröte nie einholen, nur auf eine andere - eben formale - Art darstellt. Es ist paradox, dass eine Reihe, die aus unendlich vielen Summanden besteht, einem endlichen Wert gleichgesetzt werden kann! Mit den Worten des Mathematikers und Philosophen Hermann Weyl formuliert: Wenn die Strecke x* wirklich aus unendlich vielen Teilstrecken von der Länge (vS/vA)k·d, k= 0,1,2,... „als ‚abgehackten‛ Ganzen besteht, so widerstreitet es dem Wesen des Unendlichen, des ‚Unvollendbaren‛, daß Achilleus sie alle schließlich durchlaufen hat“ (Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft, 8. Auflage, S.61).


Konvergenzkriterien nach oben

Bevor die Summe einer konvergenten Reihe berechnet werden kann, muss zunächst immer erst die Konvergenz der jeweiligen Reihe nachgewiesen werden. Dieser Nachweis gelingt oft mit Hilfe der in diesem Abschnitt vorgestellten Kriterien.

Seien k = 0ak und k = 0bk zwei Reihen mit ak,bk  0 für alle ℕ. Gilt dann ak  bk für fast alle k (das heißt: ak > bk für höchstens endlich viele k), so heißt k = 0ak eine Minorante der Reihe k = 0bk und k = 0bk eine Majorante von k = 0ak .


K1 (Majorantenkriterium)
Jede Minorante einer konvergenten Reihe konvergiert.

Beweis:
Sei k = 0ak eine Reihe mit lauter nichtnegativen Summanden und einer konvergenten Majoranten k = 0bk. Dann gibt es ein κ  ℕ, so dass ak  bk für alle> κ.
Also gilt für alle n mit n > κ

nk = κ+1ak  nk = κ+1bk  k = 0bk = S.

Demnach ist die nach Voraussetzung monoton wachsende Folge (nk = 0ak)n=0..  durch  S +κk = 0ak nach oben beschränkt. Mit dem Monotoniekriterium folgt die Behauptung.


K2 (Quotientenkriterium)

Sei k = 0ak  eine Reihe mit lauter positiven Summanden. Wenn es eine Zahl q mit 0 < q < 1 gibt,  so dass

ak+1/ak für fast alle k,

so konvergiert die Reihe. Gilt dagegen

ak+1/ak für fast alle k,

so ist die Reihe divergent.

Beweis:
Gegeben sei die Reihe k = 0ak  mit lauter positiven Summanden und der Eigenschaft, dass

ak+1/ak < 1  für alle k mit k κ

mit einer gewissen natürlichen Zahl κ. Dann gilt für jede natürliche Zahl m, dass

aκ+m aκ·qm,

was sich mit vollständiger Induktion über m zeigen lässt: Der Induktionsanfang ist mit aκ+0 aκ·q0 klar und mit aκ+m aκ·qm folgt

aκ+m+1 aκ+m·q aκ·qm·q = aκ·qm+1.

Somit ist die Reihe m = 0aκ·qm  Majorante von m = 0aκ+m. Mit S7 und K1 folgt die Konvergenz von m = 0aκ+m und damit auch die Konvergenz von k = 0ak.
Im Fall, dass ak+1/ak für alle k mit k  κ, ist (ak) keine Nullfolge. Mit S2 folgt die Divergenz von k = 0ak.


K3 (Wurzelkriterium)

Sei k = 0ak  eine Reihe mit lauter nichtnegativen Summanden. Wenn es eine Zahl q mit 0 < q < 1 gibt,  so dass

kak für fast alle k,

so konvergiert die Reihe. Gilt dagegen

kak für fast alle k,

so ist die Reihe divergent.

Beweis:

Gegeben sei die Reihe k = 0ak  mit lauter nichtnegativen Summanden und der Eigenschaft, dass

kak < 1  für fast alle k.

Aus kak q folgt ak  qk und damit hat k = 0ak  eine konvergente Majorante, nämlich k = 0qk.

Aus kak 1 folgt ak 1, womit die zweite Behauptung folgt.

Sei x irgendeine positive reelle Zahl. Dann konvergiert die Exponentialreihe für x

k = 0xk/k!,

was man mit dem Quotientenkriterium nachweisen kann: Für alle k > x gilt nämlich

ak+1/ak = xk+1/(k+1)!·k!/xk = x/k+1 < x/x+1 < 1.

Diese Argumentation setzt voraus, dass es immer möglich ist, zu jeder reellen Zahl x eine natürliche Zahl zu finden, die größer als x ist. Dies ist aber der Fall, denn die reellen Zahlen sind archimedisch angeordnet.

Die folgenden Diagramme zeigen das Verhalten der Summandenfolge (ak)k=0..  bzw. der Summenfolge (nk = 0ak)n=0..  für x = 11.

Summandenfolge
Summenfolge

Sei (ak) eine monoton fallende Folge positiver reeller Zahlen. Dann heißt

k = 0(−1)kak

eine alternierende Reihe.

K4 (Leibnizkriterium)
Eine alternierende Reihe konvergiert genau dann, wenn die Folge ihrer Summanden eine Nullfolge ist.

Beweis:
Wenn k = 0(−1)kak  konvergiert, so folgt lim k(−1)kak = 0  wegen S2.

Sei nun umgekehrt ((−1)kak) eine Nullfolge. Dann konvergiert nach dem Monotoniekriterium auch (ak) gegen 0. Die Reihe k = 0(−1)kak  lässt sich durch geeignete Zusammenfassung ihrer Glieder auf zwei verschiedene Arten aufschreiben:

(a0 − a1) + (a2 − a3) + (a4 − a5) + ...
a0 − (a1 − a2) − (a3 − a4) − (a5 − a6) − ...

Nach Voraussetzung ist (ak) monoton fallend. Es ergeben sich also nach dieser Idee zwei Teilfolgen der Summenfolge der gegebenen Reihe, nämlich die monoton steigende Folge (S2k−1)k=1..  und die Folge  (S2k)k=0.., welche monoton fällt. Wegen S2k−1 < S2k < S0 für k=1,2,... ist die erste Teilfolge nach oben beschränkt, wegen S2k > S2k+1 S1 für k=0,1,... ist die zweite Teilfolge nach unten beschränkt. Somit sind beide Teilfolgen konvergent und es gilt
  lim kS2k −lim kS2k−1 
=
lim k(S2k − S2k−1
=
lim ka2k 
=
 0.
Die Konvergenz der Summenfolge (Sk)k=0.. ist damit bewiesen:

S = lim kSk = lim kS2k = lim kS2k−1

Aus K4 folgt zum Beispiel, dass die alternierende harmonische Reihe  k = 1(−1)k+11/k  konvergiert. Die Konvergenz ist allerdings sehr schlecht, wie das folgende Diagramm zeigt:

alternierend


Absolute und bedingte Konvergenz nach oben

Eine Reihe k = 0ak heißt absolut konvergent, wenn die Reihe  k = 0|ak| konvergiert.

A1
Eine absolut konvergente Reihe konvergiert.

Sei  k = 0ak  absolut konvergent, dann konvergiert  k = 0|ak|. Es gibt also nach dem Cauchy’schen Konvergenzkriterium zu jedem ε > 0 eine natürliche Zahl n0, so dass

nk = n0+1|ak= |nk = n0+1|ak| < ε  für alle> n0.

Mit  |nk = n0+1ak |   nk = n0+1|ak|   folgt die Behauptung.

A2
Werden in einer absolut konvergenten Reihe beliebig viele Glieder umgeordnet, so ist auch die neu entstehende Reihe absolut konvergent und die Summen beider Reihen haben denselben Wert.

Beweis:
Sei k = 0ak  eine absolut konvergente Reihe und k = 0bk  eine Reihe, die genau dieselben Summanden wie die erstgenannte Reihe besitzt, allerdings in einer anderen Reihenfolge. Die Summenfolge vonk = 0ak  soll (An), die Summenfolge der zweiten Reihe (Bn) heißen.

Sei nun ε > 0 beliebig gewählt, dann gibt es nach dem Cauchy’schen Konvergenzkriterium für Reihen, angewandt auf k = 0|ak|, eine natürliche Zahl u, so dass

mk = u+1|ak< ε  für alle> u.

In Abhängigkeit von u wähle man nun eine genügend große natürliche Zahl n0, so dass jeder Summand von Au auch Summand von Bn0 ist (Bedingung 1).

Sei nun n n0. Dann lässt sich eine natürliche Zahl v mit v > n so bestimmen, dass man zu jedem Summanden bk mit u+1  k  n ein aκ mit u+1  κ  v finden kann, so dass bk = aκ (Bedingung 2).

Aufgrund der Bedingung 1 folgt

An − Bn =nk = 0(ak − bk=nk = u+1(ak − bk).

Jeder Summand von An − Bn ist entweder von der Form „ak“ oder aber (wegen Bedingung 2) von der Form  „−aκ“ mit u+1  κ  v. Somit gilt

|An − Bn vk = u+1|ak< ε.

Also ist |An − Bn< ε für alle n n0, gleichbedeutend mit lim n(An − Bn= 0.  Aufgrund der Grenzwertsätze gilt schließlich

  lim nBn 
=lim nAn −lim n(An − Bn)
=lim nAn.

Die Anwendung der gesamten vorstehenden Argumentationskette auf die Reihen k = 0|ak| und k = 0|bk| liefert als Ergebnis, dass auch k = 0bk  absolut konvergiert.

Der Wert der Summe einer bedingt konvergenten Reihe (also einer konvergenten, aber nicht absolut konvergenten Reihe) ist von der Reihenfolge der Summanden nicht unabhängig! Zum Beispiel gilt

1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + 1/5 − 1/6 + 1/7 − 1/8 + ... = 0,693147...
1 + 1/3 − 1/2 + 1/5 + 1/7 − 1/4 + 1/9 + 1/11 − 1/6 + ... = 1,03972...

Die Ungleichheit beider Summenwerte lässt sich nachweisen, ohne diese numerisch kennen zu müssen:

Teilfolgen einer konvergenten Folge (xn) sind ebenfalls konvergent und streben gegen den Grenzwert von (xn). Also kann man die Summanden einer konvergenten Reihe durch Klammerungen beliebig gruppieren, ohne dass sich am Wert der Summe dieser Reihe etwas ändert, sofern nur die gegebene Reihenfolge der Summanden nicht angetastet wird. So wird zum Beispiel aus

=k = 1(−1)k+11/k

durch sukzessive Klammerung von jeweils zwei aufeinander folgenden Summanden

(i)   S =k = 1(1/2k−11/2k).

und wenn jeweils vier aufeinander folgende Summanden geklammert werden, erhält man

(ii)   S =k = 1(1/4k−31/4k−2 + 1/4k−11/4k)

Aus (i) folgt mit S1(III)

(iii)   S/2 =k = 1(1/4k−21/4k)

und aus (ii) und (iii) ergibt sich mit S1(I)

3/2=k = 1(1/4k−3 + 1/4k−11/2k),

eine Reihe, die die gleichen Summanden wie die Ausgangsreihe besitzt, nur eben in einer veränderten Reihenfolge.


Gleichmäßige Konvergenz nach oben

In diesem Abschnitt sei D stets ein Intervall reeller Zahlen, k eine natürliche Zahl und (fk) eine Folge von auf D definierten reellwertigen Funktionen.

Eine Funktionenfolge (fk) heißt (punktweise) konvergent auf D, wenn für jedes D die Zahlenfolge (fk(x)) konvergiert.

Falls (fk) eine konvergente Funktionenfolge ist, so existiert zu jedem x  D der eindeutig bestimmte Grenzwert von (fk(x)) und deswegen auch g, die Grenzfunktion von (fk), auf D definiert durch

g(x) =deflim kfk(x),

und man schreibt dann

g =lim kfk.

Eine Funktionenfolge (fk) ist also genau dann (punktweise) konvergent auf D mit der Grenzfunktion g, wenn es zu jedem D und zu jedem ε > 0 eine natürliche Zahl k0 gibt, so dass für alle k0

|fk(x) − g(x)| < ε 

gilt.

Die Vermutung liegt nahe, dass sich gemeinsame Eigenschaften der Glieder einer konvergenten Funktionenfolge automatisch auf die Grenzfunktion dieser Funktionenfolge übertragen. Diese Vermutung erweist sich als falsch, wie das folgende Beispiel zeigt: Mit

fk(x) =def xk  für  k = 1, 2, 3, ...

hat man eine konvergente Funktionenfolge auf dem Intervall [0, 1]. Alle fk sind stetig auf [0, 1], aber die Grenzfunktion g mit g(x) = 0 für 0  x < 1 und g(x) = 1 für x = 1 ist offensichtlich nicht stetig.

Es wird sich herausstellen, dass sich die Stetigkeit nur dann auf die Grenzfunktion überträgt, wenn die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert.

Eine Funktionenfolge (fk) konvergiert auf D gleichmäßig gegen ihre Grenzfunktion g, wenn es zu jedem ε > 0 eine natürliche Zahl k0 gibt, so dass für alle k0 und für alle D

|fk(x) − g(x)| < ε 

gilt.

Die hier formulierte Bedingung ist leicht zu verwechseln mit der oben im Zusammenhang mit der gewöhnlichen punktweisen Konvergenz hingeschriebenen Bedingung. Man beachte, dass hier die Existenz einer Zahl k0 gefordert wird, welche nur vom vorgegebenen ε abhängt; oben aber ist k0 von ε und vom zuvor gewählten x abhängig. Bei gleichmäßiger Konvergenz gilt die Ungleichung |fk(x) − g(x))| < ε für alle D gleichermaßen, bei punktweiser Konvergenz gilt diese Ungleichung für das jeweils gewählte (also für das punktuelle) x  D, in beiden Fällen natürlich nur für diejenigen k, welche größer oder gleich k0 sind.

G1
Konvergiert eine Funktionenfolge (fk) auf D gleichmäßig gegen g und sind alle fk in x0  D stetig, so ist auch g in x0 stetig.

Sei ε > 0 vorgegeben. Nach Voraussetzung gibt es eine natürliche Zahl k0, so dass für alle k0 und für alle D

|fk(x) − g(x)| < ε/3

gilt. Alle fk sind in x0  D stetig, also auch fk0. Somit gibt es eine Umgebung U von x0, so dass für jedes U  D

|fk0(x) − fk0(x0)| < ε/3

ist. Aufgrund der Regeln, die für Absolutbeträge in  gelten, gilt für alle U  D:

   |g(x) − g(x0)|
= |g(x) − fk0(x) + fk0(x) − fk0(x0) + fk0(x0) − g(x0)|
 |g(x)−fk0(x)| + |fk0(x)−fk0(x0)| + |fk0(x0)−g(x0)|
< ε/3 + ε/3 + ε/3 
= ε.

Hiermit folgt die Stetigkeit von g in x0.

Die Definitionen und Aussagen über Funktionenfolgen gelten in entsprechender Weise auch für Funktionenreihen:

Eine Reihe k = 0fk heißt konvergent, wenn die Summenfolge (nk = 0fk)n=0.. punktweise konvergiert. Falls k = 0fk eine konvergente Funktionenreihe ist, so existiert die eindeutig bestimmte Grenzfunktion s von (nk = 0fk). s heißt auch „Grenzfunktion von k = 0fk“ und man schreibt dann

s =lim nnk = 0fk =k = 0fk.

Eine Funktionenreihe heißt gleichmäßig konvergent, wenn ihre Summenfolge gleichmäßig konvergiert.

Gemäß der Definition der gleichmäßigen Konvergenz für Funktionenfolgen konvergiert eine Reihe k = 0fk  genau dann gleichmäßig auf D gegen s, wenn es zu jedem ε > 0 eine natürliche Zahl n0 gibt, so dass für alle n0 und für alle D

|s(x) − nk = 0fk(x) | < ε 

gilt. Wenn eine Funktionenreihe k = 0fk  gleichmäßig auf D gegen s konvergiert und alle fk in x0  D stetig sind, so ist wegen G1 ihre Grenzfunktion s ebenfalls in x0 stetig.


G2 (Cauchy-Kriterium für die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe)
Die Funktionenreihe k = 0fk  konvergiert genau dann gleichmäßig auf D, wenn es zu jedem ε > 0 eine natürliche Zahl n0 gibt, so dass für alle> n0 und für alle D

|nk = n0+1fk(x) | < ε 

gilt.

Beweis:
“: Es sei vorausgesetzt, dass k = 0fk gleichmäßig gegen s konvergiert. Sei ε > 0, aber ansonsten beliebig vorgegeben. Dann gibt es eine natürliche Zahl n0, so dass für alle n0 und für alle D

|s(x) − nk = 0fk(x) | < ε

gilt. Hiermit folgt für alle n, die größer als n0 sind:
   |nk = n0+1fk(x) |
= |nk = 0fk(x) −n0k = 0fk(x) |
= |nk = 0fk(x) − s(x) + s(x) −n0k = 0fk(x) |
 |s(x) −nk = 0fk(x) | + |s(x) −n0k = 0fk(x) |
< ε/2 + ε/2
= ε.

“: Sei angenommen, dass es zu einer beliebigen positiven Zahl  ε/4  eine natürliche Zahl n0 gibt, so dass für alle> n0 und für alle D

(*)   |nk = n0+1fk(x) | <  ε/4

gilt. Dann konvergiert die Reihe k = 0fk  gemäß S3 punktweise gegen eine Grenzfunktion s und es ist „nur“ noch zu zeigen, dass diese Reihe auch gleichmäßig konvergiert. Man betrachte hierzu die Folge (hm), definiert durch

hm =def |n+mk = n+1fk(x) |.

Wegen (*) lässt sich hm wie folgt abschätzen:

    hm
= |n+mk = n0+1fk(x)  − nk = n0+1fk(x) |
 |n+mk = n0+1fk(x) | + |nk = n0+1fk(x) |
< ε/2.

Mit S5 folgt k = 1fk+n(x) =k = 0fk(x) −nk = 0fk(x)  und damit

k = n+1fk(x) = s(x) −nk = 0fk(x).

Die auf definierte Betragsfunktion ist überall stetig, also liefert das Folgenkriterium

lim mhm(x) = |s(x) −nk = 0fk(x) |.

Es folgt |s(x) −nk = 0fk(x) |  ε/2, was zu beweisen war.


Eine Reihe k = 0fk  konvergiert absolut auf D, wenn k = 0|fk(x)|  für alle D konvergiert.

G3
Eine absolut konvergente Reihe konvergiert und eine sowohl absolut als auch gleichmäßig konvergente Reihe konvergiert gleichmäßig.

Wegen

|nk = n0+1fk(x) |   nk = n0+1| fk(x) 

ergeben sich beide Aussagen unmittelbar aus dem Vorhergehenden.

Es folgen ein paar Beispiele für gleichmäßig konvergente und für nur punktweise konvergente Funktionenreihen.

Beispiel 1.
Die geometrische Reihe konvergiert auf dem offenen Intervall (−1, 1) punktweise und nach S7 gilt

k = 0xk = 1/1 − x.

Jedoch konvergiert k = 0xk dort nicht gleichmäßig: Man wähle zwei natürliche Zahlen n0 und b beliebig aus, wobei b nur größer als 0 sein muss. Es gilt

k = n0+1xk = xn0+1·k = 0xk = xn0+1/1 − x.

Sei nun ε = 1/b, m = n0+1 und x* = 1/mb, dann folgt

|k = n0+1x*k| = 1/b · 1/1 − x* > 1/b.

Allerdings konvergiert k = 0xk gleichmäßig auf jedem abgeschlossenen Intervall [−r, r] sofern 0 < r < 1, denn dann gilt für jedes n und unabhängig von x

|k = n+1xk| rn+1/1 − r.

Weil (rn+1/1 − r) eine Nullfolge ist, folgt mit G2 die gleichmäßige Konvergenz von k = 0xk.

Beispiel 2.
Die Summenfolge (nk = 0x/(1+x2)k) ist nicht gleichmäßig konvergent.

nicht gleichmäßig konvergente Summenfolge

Beispiel 3.
Die Summenfolge (nk = 0x2/k2+x2) konvergiert in jedem abgeschlossenen reellen Intervall gleichmäßig, konvergiert aber auf ganz nur punktweise.

gleichmäßig konvergente Summenfolge


G4 (Weierstraß’sches Majorantenkriterium)
Sei k = 0ak  eine konvergente Reihe mit lauter nichtnegativen Summanden und k = 0fk  eine Reihe von auf D definierten Funktionen. Wenn dann für jedes x  D und fast alle k  |fk(x)|  ak  gilt, so konvergiert k = 0fk  absolut und gleichmäßig auf D.

Beweis:
Sei ε > 0 beliebig vorgegeben. Dann gibt es nach Voraussetzung eine natürliche Zahl n0, so dass für jedes D und für alle> n0

nk = n0+1ak < ε  und  |fn(x)|  an

gilt. Also ist

nk = n0+1|fk(x)|   nk = n0+1ak < ε

und deshalb folgt mit dem Cauchy’schen Konvergenzkriterium, dass k = 0|fk(x)|, also auch k = 0fk, gleichmäßig konvergiert.


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