Mathematische Begriffe

So wie Handwerker gepflegte Werkzeuge benötigen, um sinnvoll arbeiten zu können, brauchen Mathematiker sorgfältig definierte Begriffe, mit denen es möglich ist, mathematische Aussagen präzise zu formulieren und neue Gesetzmäßigkeiten herzuleiten.

Anhand ausgewählter Begriffe kann man auf diesen Seiten mathematische Arbeits- und Denkweisen studieren und grundlegende Beweisverfahren kennenlernen.

Algorithmus

Stichworte: Abakus, Schickard’sche Rechenmaschine, Darstellung von Zahlen, Stellenwertsystem, imperatives Programmieren, Turingmaschine

Änderungsrate

Stichworte: Steigungsfaktor, momentane Änderungsrate, Tangentenproblem, Differentialquotient, Rechnen mit Beträgen, Folgen, Stetigkeit, Differenzierbarkeit

Äquivalenzrelation

Stichworte: Transitivität, Symmetrie, Reflexivität, Zerlegung, Quotientenmenge, Äquivalenzklasse, Repräsentant, Restklassen, Pfeilklassen

Funktion

Stichworte: Schaubild, Proportionalität, Funktionsgleichung, quadratische Funktion, exponentielle Funktion, Parameter, Polarkoordinaten, Relation, Abbildung

Menge

Stichworte: Nicht-axiomatische Mengenlehre, Verknüpfungstafeln, Antinomien, Zermelo-Fraenkel’sche Axiome, vonNeumann’sche Zahlen, endliche Mengen, Ordinalzahlen, fundierte Strukturen, vonNeumann’sche Hierarchie

Rückkopplung

Stichworte: Selbstähnlichkeit, Folge, Konvergenz, Iteration

Vektor

Stichworte: Skalare und gerichtete Größen, Pfeilklassen, K-Vektorräume, Ortsvektoren, Skalarprodukt, Normalenvektoren, Euklidische Vektorräume, Kreuzprodukt, skalare Felder, Vektorfelder

Verhältnis

Stichworte: Säulendiagramme, Prozentrechnung, Brechung, harmonische Punkte, musikalische Intervalle, Proportionen, der goldene Schnitt, Pentagramm, Lucas-Folgen

Vollständige Induktion

Stichworte: Peano’sche Axiome, geordnete Menge, Ordnungsrelation, 2-stellige Operation, Addition, Multiplikation, Dezimalzahlen, geometrische Reihe, Euler’sche Reihe, Binomischer Lehrsatz, Ungleichung von Bernoulli, Turm von Hanoi

Wahrscheinlichkeit

Stichworte: Ereignis, Häufigkeit, Zufallsexperiment, Venn-Diagramm, Kolmogorow'sche Axiome, Additionssatz, Multiplikationssatz, Kombinatorik, Binomialkoeffizient, Lotto, Zufallsvariablen

Zahlenmengen

Stichworte: Natürliche Zahlen, ganze Zahlen, irrationale Zahlen, algebraische Struktur, Trichotomie, Cauchyfolge, metrischer Raum, Vollständigkeit, Intervallschachtelung, transzendente Zahlen, komplexe Zahlen

Alle Kapitel beginnen mit einer anschaulich gehaltenen Einführung in das jeweilige Thema. Der Schwierigkeitsgrad der einzelnen Seiten ist sehr unterschiedlich: das Kapitel Wahrscheinlichkeit ist vielleicht das anschaulichste von allen; die Kapitel Zahlenmengen und Menge sind sicherlich die anspruchsvollsten. In den zuletzt genannten Kapiteln werden Dinge abgehandelt, die in der Regel auch Gegenstand einführender Vorlesungen im Mathematikstudium sind. Alle Kapitel können unabhängig voneinander gelesen werden.

Die Herleitungen und Beweise sind kleinschrittig ausformuliert, so dass auch AnfängerInnen der Mathematik - Geduld und Hartnäckigkeit vorausgesetzt - alles gut nachvollziehen und verstehen können. Wo es sich anbietet, finden sich historische Bezüge und es gibt an den entsprechenden Stellen Verweise auf mathematische Originalliteratur.

Wenn die folgende Liste lesbar dargestellt wird, dann werden auch alle anderen Seiten korrekt angezeigt.

Mathematische Symbole

ℕ	Menge der natürlichen Zahlen
ℤ	Menge der ganzen Zahlen
ℚ	Menge der rationalen Zahlen
ℝ	Menge der reellen Zahlen
ℂ	Menge der komplexen Zahlen

∈∈	ist Element von Beispiel: 0 ∈∈ ℕ
∉∉	ist kein Element von Beispiel: 1/2 ∉∉ ℤ
⊂	ist eine echte Teilmenge von Beispiel: {0,1,2} ⊂ ℕ
∪	vereinigt mit Beispiel: {0,1} ∪ {1,2} = {0,1,2}
∩	geschnitten mit Beispiel: {a,b,c} ∩ {b,d} = {b}
\	ohne Beispiel: ℕ \ {0} = ℕ*

=	gleich Beispiel: 3! = 1·2·3 = 6
ǂ	ungleich Beispiel: 1/3 ǂ 0,3
≈	ungefähr gleich Beispiel: π ≈ 355/113
<	kleiner als Beispiel: 1/5 < 1/4
>	größer als Beispiel: 0 > −1
≤	kleiner als oder gleich Beispiel: (−∞, 0] = {x ∈∈ ℝ: x ≤ 0}
≥	größer als oder gleich Beispiel: [0, ∞) = {x ∈∈ ℝ: x ≥ 0}
\|	ist Teiler von Beispiel: 2 \| 6
`∤`	ist kein Teiler von Beispiel: 2 `∤` 7

`∧`	und
`∨`	oder
⇒	daraus folgt Beispiel: x < −2 ⇒ x² > 4
⇔	ist äquivalent zu Beispiel: \|x\| = 1 ⇔ (x = 1 `∨` x = −1)

→	strebt gegen Beispiel: 1/n → 0 (n → ∞)
↦	wird abgebildet auf Beispiel: x ↦ f(x)