Erzwungene Schwingungen
Erzwungene Schwingung eines Federpendels mit Reibung;
die Reibungskraft sei proportional zur Geschwindigkeit des Pendelkörpers;
m = Masse des Pendelkörpers, K = Federkonstante:
a:= t -> diff (x(t),t,t):
DGL:= m*a(t) + R*v(t) + K*x(t) = F[0]*cos(omega*t):
DGL;
Lösung der Differentialgleichung DGL für v(0) = 0 und x(0) = 0
> x(t):= rhs(dsolve({DGL, D(x)(0)= 0, x(0)= 0}, x(t)));
Zahlenbeispiel mit Schaubild:
t = 0..60*Pi,
color = [red, blue]);
Nach dem Einschwingvorgang schwingt das Federpendel sinusförmig (rot),
aber phasenverschoben zur erzeugenden Schwingung (blau).
Also ist es vernünftig,
x(t) = x0 sin(ωt + Φ) zu schreiben:
s:= t -> x0*sin(omega*t + phi):
v:= t -> D(s)(t):
a:= t -> D(v)(t):
DGL:= m*a(t) + R*v(t) + K*s(t) = F[0]*cos(omega*t):
DGL;
Diese Gleichung liefert mit zwei verschiedenen Werten von t gl1 und gl2:
Eliminieren von Φ und die hierdurch gelieferte Gleichung gl:
Auflösen der Gleichung gl nach x0 :
x0:= unapply(x0(R, omega), (R, omega)):
Die Amplitude x0 der erzwungenen Schwingung in Abhängigkeit von ω für verschiedene Dämpfungen:
x0(2.3,omega),
x0(1.3,omega),
x0(0.8,omega),
x0(0.4,omega),
x0(0.2,omega)],
omega = 0..1.6,
color = [red, blue, maroon, navy, orange]);
Berechnung der Resonanzstelle:
> simplify(subs(R = 0, %[2]));
Dies entspricht der Eigenfrequenz des Federpendels:
v:= t -> D(s)(t):
a:= t -> D(v)(t):
DGL:= m*a(t) + K*s(t) = 0: DGL;
dsolve({DGL, D(s)(0) = 0, s(0) = x0}, s(t));