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Kleines Mathe-Lexikon
 

Abel’sche Gruppe

verwendet in: Zahlen/ Die Menge der ganzen Zahlen

Sei G eine nichtleere Menge und ▪ eine zweistellige Verknüpfung auf G.

Wenn für alle Elemente a, b, c einer Menge G die folgenden Gesetze gelten, dann nennt man (G,▪) eine Gruppe.

(i)+    a ▪ (b c) = (a ▪ b) c.
(ii)+   Es existiert e  G mit  e ▪ a = a.
(iii)+  Zu jedem a G gibt es ein a*  G  mit a* ▪ a = e.

e heißt das neutrale Element von G. Es ist eindeutig bestimmt. Das jeweilige a* nennt man inverses Element von a (oder kurz: das Inverse von a). Zu jedem a G gibt es genau ein Inverses.

Wenn zusätzlich das Kommutativgesetz

(iv)+  a ▪ b = b ▪ a

gilt, dann ist G eine Abel’sche Gruppe (oder: eine kommutative Gruppe). Versteht man unter einer Gruppe eine algebraische Struktur, dann wird diese unter Verwendung der oben definierten Symbole durch das Quadrupel (G,▪,e,*) bezeichnet.

(,+,0,−) ist eine additive Abel’sche Gruppe; (\{0},·,1,−1) ist eine multiplikative Abel’sche Gruppe.

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