Addition auf ℙ
definiert in: Vektor/ Pfeile und Pfeilklassen
Will
man eine Pfeilklasse darstellen, so zeichnet man in der
Regel nur einen Repräsentanten dieser Pfeilklasse und schreibt
den Namen dieser Pfeilklasse daneben.
Wird eine Pfeilklasse a durch den Pfeil repräsentiert, der den Anfangspunkt P und den Zielpunkt A hat, so soll dieser Sachverhalt kurz wie folgt ausgedrückt werden:
a = PA→
Seien a und b zwei Pfeilklassen. Dann wird die Summe von a und b wie folgt erklärt:
Für a = PA→ und b = PB→ gilt also a + b = PA→ + AB→ = PB→.
Sei x repräsentiert durch einen Pfeil PX→ mit dem Anfangspunkt P und dem Zielpunkt X. Dann heißt die durch XP→ repräsentierte Pfeilklasse die Gegenpfeilklasse von x. Diese soll mit x* bezeichnet werden.
Mit zwei beliebigen Punkten P und A und a = PA→ folgt a + a* = PP→, mit anderen Worten: |a + a*| = 0.
Diejenige Pfeilklasse, die den Betrag 0 besitzt, heißt Nullpfeilklasse und wird mit o bezeichnet.
Für jede Pfeilklasse a gilt somit a + a* = o. Ferner gilt a + o = a für alle a. Für alle Pfeilklassen a, b und c gelten zudem das Kommutativgesetz a + b = b + a und das Assoziativgesetz a + (b + c) = (a + b) + c (→ Beweis).
