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Kleines Mathe-Lexikon
 

endliche Menge

definiert in: Menge/ Endliche Mengen

Üblicherweise nennt man eine Menge genau dann endlich, wenn man die Elemente dieser Menge mit Hilfe der natürlichen Zahlen abzählen kann. Es ist jedoch durchaus möglich, den Begriff „endliche Menge“ ohne Verwendung der natürlichen Zahlen zu definieren:

Sei a eine Menge, (a) die Potenzmenge von a und u  (a) eine Teilmenge von (a).
u ist ein induktives System in (a) (kurz formuliert: „u:IND(a)“) genau dann, wenn

Ø  u ˄ tu xa\t (t  { x }  u).

Es folgt unmittelbar, dass (a):IND(a) für alle a gilt. Das heißt, es existiert immer mindestens ein induktives System in (a), nämlich (a) selbst.

a ist genau dann eine endliche Menge, falls (a) das einzige induktive System in (a) ist.

Eine Menge a ist genau dann endlich, wenn ein n  ω existiert, so dass n und a gleichmächtig sind ( Beweis).

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