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Kleines Mathe-Lexikon
 

Potenzmenge

definiert in: Menge/ Zermelo-Fraenkel’sches Axiomensystem

Nach dem Potenzmengenaxiom gibt es zu jeder Menge m eine Menge, die alle Teilmengen von m enthält:

m pm e (e  m  e  pm)

Gemäß des Aussonderungsaxioms lässt sich dann aus pm eine (nach dem Extensionalitätsaxiom eindeutige) Menge bilden, die nur die Teilmengen von m enthält:

(m) =defe  pme m }.

(m) heißt Potenzmenge von m.

Da Ø keine Elemente hat, gilt Ø  m bzw. Ø  (m) für jede Menge m.

Zu jeder Menge m gibt es genau eine Potenzmenge (m). Deshalb kann man den Ausdruck „(m)“ auf zweierlei Art interpretieren: einerseits kann „(m)“ als Bezeichnung der Menge { e  pm | e  m } gesehen werden, andererseits kann man „“ als Operator betrachten und „(m)“ als Bild unter der Potenzmengenoperation, die eine existierende Menge m auf ihre Potenzmenge abbildet.

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