Potenzmenge
definiert in: Menge/ Zermelo-Fraenkel’sches Axiomensystem
Nach dem Potenzmengenaxiom gibt es zu jeder Menge m eine Menge, die alle Teilmengen von m enthält:
∀
m
∃
pm
∀
e (e ⊆
m ⇀
e ∈∈ pm)
Gemäß des Aussonderungsaxioms lässt sich dann aus pm eine (nach dem Extensionalitätsaxiom eindeutige) Menge bilden, die nur die Teilmengen von m enthält:
℘
(m) =
def
{ e ∈∈ pm | e
⊆
m }.
℘
(m) heißt Potenzmenge von m.
Da Ø keine Elemente hat, gilt Ø ⊆
m
bzw. Ø ∈∈ ℘
(m)
für jede Menge m.
Zu jeder Menge m gibt es genau eine
Potenzmenge ℘
(m). Deshalb kann man
den Ausdruck „℘
(m)“ auf zweierlei Art
interpretieren: einerseits kann „℘
(m)“ als Bezeichnung der Menge
{ e ∈∈ pm | e ⊆
m }
gesehen werden, andererseits kann man „℘
“
als Operator betrachten und „℘
(m)“
als Bild unter der Potenzmengenoperation, die eine existierende Menge m auf ihre Potenzmenge abbildet.