Potenzmenge
definiert in: Menge/ Zermelo-Fraenkel’sches Axiomensystem
Nach dem Potenzmengenaxiom gibt es zu jeder Menge m eine Menge, die alle Teilmengen von m enthält:
∀m
∃pm
∀e (e ⊆ m ⇀ e ∈∈ pm)
Gemäß des Aussonderungsaxioms lässt sich dann aus pm eine (nach dem Extensionalitätsaxiom eindeutige) Menge bilden, die nur die Teilmengen von m enthält:
℘(m) =def
{ e ∈∈ pm | e
⊆ m }.
℘(m) heißt Potenzmenge von m.
Da Ø keine Elemente hat, gilt Ø ⊆ m
bzw. Ø ∈∈ ℘(m)
für jede Menge m.
Zu jeder Menge m gibt es genau eine
Potenzmenge ℘(m). Deshalb kann man
den Ausdruck „℘(m)“ auf zweierlei Art
interpretieren: einerseits kann „℘(m)“ als Bezeichnung der Menge
{ e ∈∈ pm | e ⊆ m }
gesehen werden, andererseits kann man „℘“
als Operator betrachten und „℘(m)“
als Bild unter der Potenzmengenoperation, die eine existierende Menge m auf ihre Potenzmenge abbildet.
