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Kleines Mathe-Lexikon
 

Isomorphismus

definiert in: Menge/ Relationen und Funktionen

Seien A = (a,f,r,c) und B = (b,g,s,d) algebraische Strukturen. Dann ist ψ genau dann ein Isomorphismus von A auf B (in Zeichen: „ψ B“),  wenn Folgendes gilt:

ψa bij b
xa (ψ(f(x)) = g(ψ(x))), falls f,g einstellig
x,ya (ψ(f(xy)) = g(ψ(x); ψ(y))), falls f,g zweistellig
x,ya (x r y  ψ(xs ψ(y))
ψ(c= d

Wenn ein Isomorphismus von A auf B existiert, dann sagt man „A und B sind isomorph“ (in Zeichen: „A  B“).

Sind A = (a,f,r,c) und B = (b,g,s,d) algebraische Strukturen und ψ B, so existiert ψ1 und es gilt ψ1b bij a. Darüberhinaus gilt ψ1 A ( Beweis).

Sind zwei Strukturen A und B isomorph, so haben diese also völlig gleiche strukturelle Eigenschaften. Man sagt dann: „A und B sind bis auf Isomorphie gleich“. Gilt ein Satz für Elemente aus a bezüglich f bzw. r, so ist der gleiche Satz für Elemente aus b bezüglich g bzw. s ebenfalls gültig. Das Umgekehrte ist natürlich auch richtig.

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