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Kleines Mathe-Lexikon
 

Supremum

definiert in: Menge/ Ordinalzahlen

Sei A mit „<partiell geordnet und B eine nichtleere Teilmenge B  A.

Dann heißt B nach oben beschränkt, wenn es ein k  A gibt mit x  k für alle x  B. Ein solches k heißt obere Schranke von B. Existiert für eine nach oben beschränkte Menge B eine obere Schranke k* mit k k für alle oberen Schranken k von B, so heißt k* Supremum (oder obere Grenze) von B in A. In Zeichen: k= sup B.

B heißt nach unten beschränkt, wenn es ein k  A gibt mit x  k für alle x  B. Ein solches k heißt untere Schranke von B. Existiert für eine nach unten beschränkte Menge B eine untere Schranke k* mit k k für alle unteren Schranken k von B, so heißt k* Infimum (oder untere Grenze) von B in A. In Zeichen: k= inf B.

Ist b nach unten und oben beschränkt, so heißt b beschränkt.

Sei M eine beliebige nichtleere Menge reeller Zahlen. Ist M nach oben beschränkt, so besitzt M eine obere Grenze; ist M nach unten beschränkt, so besitzt M eine untere Grenze. Im Falle ihrer Existenz sind sowohl sup M als auch inf M eindeutig bestimmt ( Beweis).

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