untere Schranke
definiert in: Menge/ Ordinalzahlen
Sei A mit „<“ partiell geordnet
und B eine nichtleere Teilmenge B ⊆ A.
Dann heißt B nach oben beschränkt, wenn es ein k ∈∈ A
gibt mit x ≤ k
für alle x ∈∈ B.
Ein solches
k heißt obere Schranke von B. Existiert für eine
nach oben beschränkte Menge B eine obere Schranke k* mit k* ≤ k
für alle oberen Schranken k von B, so heißt k*
Supremum (oder obere Grenze) von B in A. In Zeichen:
k* = sup B.
B heißt nach unten beschränkt, wenn es ein k ∈∈ A
gibt mit x ≥ k
für alle x ∈∈ B.
Ein solches k heißt untere Schranke von B. Existiert für eine
nach unten beschränkte Menge B eine untere Schranke k* mit k* ≥ k
für alle unteren Schranken k von B, so heißt k*
Infimum (oder untere Grenze) von B in A. In Zeichen:
k* = inf B.
Ist b nach unten und oben beschränkt, so heißt b beschränkt.
Sei M eine beliebige nichtleere Menge reeller Zahlen. Ist M nach oben beschränkt, so besitzt M eine obere Grenze; ist M nach unten beschränkt, so besitzt M eine untere Grenze. Im Falle ihrer Existenz sind sowohl sup M als auch inf M eindeutig bestimmt (→ Beweis).
