Änderungsrate

Konstant ansteigend

Sieht ein Autofahrer dieses Verkehrsschild, dann heißt es Aufpassen, denn die Straße steigt demnächst steil an. Genauer ausgedrückt: Der Höhenunterschied beträgt 12 Meter bezogen auf 100 Meter in horizontaler Richtung. Dies bedeutet, dass die Straße von der Seite betrachtet so ausschaut:

Anhand dieser Zeichnung erkennt man, dass - mathematisch gesehen - die Darstellung der ansteigenden Straße auf dem Verkehrsschild nicht korrekt ist. Die auf dem Schild dargestellte Steigung beträgt nämlich nicht nur 12/100, sondern ungefähr 4/7, was rund 57% entspricht.

Bezeichnet man den Höhenunterschied mit ∆y und die in horizontaler Richtung zurückgelegte Strecke mit ∆x, dann gilt für die Steigung m:

m = ∆y/∆x.

Das Verhältnis ∆y/∆x gibt an, um wieviele Meter die Höhe bei konstant ansteigender Straße wächst, und zwar relativ zu ∆x. Bei der oben abgebildeten Straße ist m = 6m/50m = 12/100 = 12%.

Lässt sich die Abhängigkeit irgendeiner Größe y von einer anderen Größe x mithilfe einer Geraden beschreiben (man sagt dann: y hängt linear von x ab), dann gilt

y = m·x + c.

Der Steigungsfaktor m gibt an, wie stark sich y in Abhängigkeit von x ändert:
Im folgenden Beispiel ist m = 4/7 und c = 2.

Der Begriff der Steigung lässt sich verallgemeinern:

Diese Definition ist nur dann sinnvoll, wenn sich die Funktionswerte von f innerhalb des Intervalls [a, b] nirgendwo sprunghaft ändern. Mit anderen Worten: die Funktion muss stetig sein.

f(x₁) − f(x₀)/x₁ − x₀ ist gleich der Steigung m der Geraden durch die Punkte (x₀|f(x₀) und (x₁|f(x₁). Durch diese Gerade wird eine lineare Funktion g definiert. Falls nun der Abstand zwischen x₀ und x₁ nicht zu groß ist, kann die Funktion f auf dem Intervall [x₀, x₁] durch die lineare Funktion g näherungsweise ersetzt werden. Diese Approximation ist um so besser, je kleiner (x₁ − x₀) gewählt wird.

Aus  g(x₀) = mx₀ + c  folgt  c = g(x₀) − mx₀.
Also gilt  g(x) = mx + (g(x₀) − mx₀) = m·(x − x₀) + g(x₀) für x ∈∈ [x₀, x₁] und damit hat man

f(x) ≈ m·(x − x₀) + f(x₀) für x ∈∈ [x₀, x₁].

Mal schneller, mal langsamer

Für das zuletzt gezeichnete x-y-Diagramm kann man konkrete Interpretationen (er)finden. Beispielsweise lassen wir zwei Autos auf einer schnurgeraden Straße fahren, die zwei Fahrspuren hat. Beide Autos sollen zur selben Zeit x₀ und an der gleichen Stelle y₀ starten und später (zur Zeit x₁) gleichzeitig an einer bestimmten Stelle y₁ ankommen. Die folgende Zeichnung zeigt beide Autos von oben gesehen zur Startzeit.

Das blaue Auto fährt zunächst langsam los und wird dann immer schneller, das heißt, die Geschwindigkeit des blauen Autos nimmt während der Fahrt zu. Dagegen fährt das schwarze Auto während der gesamten Fahrt gleichförmig, das heißt, die Geschwindigkeit des schwarzen Autos bleibt durchgehend konstant.

Die Änderungsrate y₁ − y₀/x₁ − x₀ liefert in diesem Beispiel sowohl den konstanten Wert der Geschwindigkeit des schwarzen Autos als auch den Wert der Durchschnittsgeschwindigkeit des blauen Autos auf der Fahrt von y₀ nach y₁. Diese Aussage bleibt auch dann richtig, wenn sich die Geschwindigkeit des blauen Autos zwischendurch sehr stark ändert. Wesentlich ist einzig und allein, dass beide Autos zusammen losfahren und zusammen ankommen.

Mit Hilfe der oben definierten Änderungsrate y₁ − y₀/x₁ − x₀ kann man also in Bezug auf ein ausgewähltes Intervall [x₀, x₁] die durchschnittliche Änderung der Funktionswerte einer gegebenen Funktion bestimmen.

Momentane Änderungen

Sei irgendeine reellwertige Funktion f auf einem Intervall [a, b] ⊂ ℝ gegeben. Kann man das lokale Änderungsverhalten von f an beliebig gewählten Stellen x₀ ∈∈ [a, b] berechnen? Mit anderen Worten: Gibt es eine Methode, momentane Änderungsraten von f an denjenigen Stellen zu bestimmen, wo f definiert ist?

Möglicherweise ist es besser verständlich, wenn diese Fragestellung physikalisch formuliert wird, so wie es Sir Isaac Newton (1643−1727) getan hat: Gegeben sei ein Körper, der sich nicht gleichförmig bewegt. Gibt es dann eine Methode, die momentane Geschwindigkeit des Körpers zu einem bestimmten Zeitpunkt t₀ zu bestimmen?

Experimentell betrachtet ist die Sache leicht: Man nehme einen Zeitpunkt kurz vor t₀ und einen Zeitpunkt kurz nach t₀, messe die im Zeitintervall ∆t vom bewegten Körper zurückgelegte Strecke ∆s und hat dann mit

v = ∆s/∆t

die gesuchte Geschwindigkeit zur Zeit t₀, und zwar um so genauer, je kleiner ∆t gewählt wird. Dieses Messverfahren ist aber in seiner Genauigkeit begrenzt, denn man kann in der Praxis das Zeitintervall ∆t nicht beliebig klein wählen.

Kann der Prozess des Immer-kleiner-Werdens von ∆t bzw. von ∆s theoretisch weiter geführt werden mit dem Ziel, Momentangeschwindigkeiten nicht nur (mit einer unter Umständen kleinen, aber immer bestehenden Messungenauigkeit) zu messen, sondern (exakt) zu berechnen?

Für Gottfried Wilhelm Leibniz (1646−1716) war die Frage nach der Berechnung einer Momentangeschwindigkeit  gleichbedeutend mit dem Problem, die Steigung der Tangente an einer t-s-Kurve im Punkt (t₀|s₀) zu bestimmen. Die nachfolgende Bildsequenz (die nur bei aktiviertem JavaScript funktioniert) zeigt auf anschauliche Weise, warum das Newton’sche Geschwindigkeitsproblem und das Leibniz’sche Tangentenproblem gleichwertig sind. Im hier dargestellten Beispiel gilt t₀ = 1 und s₀ = 1 (Einheiten müssen uns an dieser Stelle nicht interessieren).

Die Idee, das lokale Änderungsverhalten einer Funktion mit Hilfe eines solchen „Funktionenmikroskops“ zu untersuchen, stammt von Arnold Kirsch. Die sukzessive Vergrößerung des abgebildeten Funktionsgraphen um den Punkt (1|1) herum liefert bei genügend starker Vergrößerung fast die Tangente am Funktionsgraphen im Punkt (1|1)! Das Problem, die momentane Änderungsrate der hier gegebenen Funktion an der Stelle 1 zu bestimmen, läuft also anscheinend darauf hinaus, die Steigung der Tangente an dieser Stelle zu berechnen.

Doch der bloße Augenschein allein kann trügen! Dies zeigt das folgende Beispiel aufeinander folgender Treppenkurven, die allesamt die Länge 2 besitzen. Die Folge dieser Treppenkurve nähert sich augenscheinlich beliebig dicht der Quadratdiagonalen, deren Länge der Quadratwurzel aus 2 entspricht. Es gilt aber

 

Tangentensteigung und Differentialquotient

Sei eine Funktion f auf einem Intervall [a, b] ⊂ ℝ definiert und a < x₀ < b. Wenn die Tangente an der durch y = f(x) definierten Kurve im Punkt P(x₀|f(x₀) in eindeutiger Weise existiert, dann gilt für die Steigung m dieser Tangente:

m =limx → x₀
x ǂ x₀ f(x) − f(x₀)/x − x₀.

Hierbei ist Q(x₁|f(x₁) irgendein von P verschiedener Punkt auf dem Graphen von f. Die hier angegebene Formel besagt, dass die Tangentensteigung m, das heißt die „Steigung des Schaubildes der Funktion f an der Stelle x₀“ um so genauer durch den Differenzenquotienten  f(x₁) − f(x₀)/x₁ − x₀  bestimmt werden kann, je näher der Punkt Q an P heranrückt.

Anders ausgedrückt: Wenn x₁ gegen x₀ strebt, dann strebt der Differenzenquotient gegen die Tangentensteigung m. Für diesen Grenzwert, der Ableitung (oder Differentialquotient) der Funktion f an der Stelle x₀ genannt wird,  gibt es unterschiedliche Bezeichnungen. Heute wird meistens die erstmals von Joseph Louis Lagrange (1736−1813) vorgeschlagene Bezeichnung f’(x₀) oder die von Augustin Louis Cauchy (1789−1857) eingeführte Bezeichnung Df(x₀) verwendet. Leibniz benutzte für den Differentialquotienten die Abkürzung dy/dx (gesprochen: „dy nach dx“), die vor allem in der Physik sehr gebräuchlich ist.

Existiert die Ableitung der Funktion f an jeder Stelle x ∈∈ [a, b], kann man für alle diese x zusammenfassend schreiben:

dy/dx = df(x)/dx = f’(x) = lim h→0 f(x+h) − f(x)/h.

Durch die Zuordnung x ↦ f’(x) für alle x ∈∈ [a, b] wird auf [a, b] die Funktion f’ definiert: die Ableitungsfunktion von f. Das Berechnen der Ableitung einer Funktion f nennt man Differenzieren von f.

Dies alles ist recht anschaulich und nachvollziehbar, doch das Ganze hat einen ganz beträchtlichen Haken: Die  Begriffe „um so genauer“, „strebt gegen“, „beliebig klein“ (und so weiter) sind - so wie sie in diesem Abschnitt benutzt wurden - alles andere als präzise und definiert. Die Schlüsselbegriffe für die Präzisierung der mathematischen Grundlagen dieser Dinge in den nachfolgenden Abschnitten heißen Betrag und Folge.

Das Rechnen mit Beträgen

Die Menge der reellen Zahlen ist mit der auf dieser Menge definierten Relation „≤“ linear geordnet. Das heißt, es gilt für alle x, y, z ∈∈ ℝ:

x ≤ y  und  y ≤ z  ⇒  x ≤ z   (Transitivität)
x ≤ y  und  y ≤ x  ⇒  x = y   (Identitivität)
x ≤ x   (Reflexivität)
x ≤ y  oder  y ≤ x   (Konnexität)

Im Falle dass x ≤ y und x ǂ y schreibt man x < y.

 B1 (Trichotomieeigenschaft der reellen Zahlen)
Für zwei reelle Zahlen x und y gilt genau eine der drei Beziehungen x < y, x = y, x > y.

Aufgrund der Trichotomieeigenschaft der reellen Zahlen ist die folgende Definition sinnvoll:

Eine reelle Zahl x mit x > 0 heißt positiv. Ist x < 0, heißt x negativ.

Einige der für ℝ im Kapitel Zahlen bewiesenen Gesetze und Rechenregeln sollen zur besseren Übersicht hier zusammenfassend hingeschrieben werden:

 B2
Es gelten für alle x, y, x*, y*, z ∈∈ ℝ folgende Regeln:

 B3
Eine reelle Zahl x ist genau dann positiv, wenn (−x) negativ ist. Ebenso ist x genau dann negativ, wenn (−x) positiv ist.

 B4
Für alle x ∈∈ ℝ gilt

|x| ≥ 0.

Üblicherweise schreibt man für das Negative einer reellen Zahl statt (−x) nur −x.

 B5
Sei ε eine positive reelle Zahl. Dann gilt für alle x ∈∈ ℝ

|x| ≤ ε  ⇔  −ε ≤ x ≤ ε.

Aus dem vorstehenden Satz folgt auch

|x| < ε  ⇔  −ε < x < ε.

 B6
Für alle x, y ∈∈ ℝ gilt

|xy| = |x|·|y| und
|x + y| ≤ |x| + |y|.

Folgen

Eine Funktion f: ℕ → ℝ nennt man eine Zahlenfolge. Das n-te Folgenglied einer solchen Zahlenfolge wird mit „x_n“, die gesamte Folge mit „(x_n)“ oder genauer mit „(x_n)_n=0..∞“ bezeichnet.

 F1
Der Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist stets eindeutig bestimmt.

Das Cauchy’sche Konvergenzkriterium besagt, dass eine reelle Zahlenfolge (x_n) genau dann konvergent ist, wenn sie eine Cauchyfolge ist (→ Beweis). Damit wird die Menge der reellen Zahlen zu einem vollständigen metrischen Raum.

 F2 (Grenzwertsätze für Folgen)
Seien (x_n) und (y_n) zwei konvergente Zahlenfolgen mit x_n → x und y_n → y (n → ∞). Dann sind auch die Folgen (x_n + y_n) und (x_n·y_n) konvergent und es gilt 

(i)     (x_n + y_n) → x + y  (n → ∞)
(ii)     (x_n·y_n) → x·y  (n → ∞).

Falls x_n ǂ 0 für alle n ∈∈ ℕ und x ǂ 0, so ist auch die Folge (1/x_n) konvergent und es gilt

(iii)    (1/x_n) → 1/x (n → ∞).

Nimmt man in (ii) für (x_n) die konstante Folge (c_n) = c, c, c, ..., welche trivialerweise gegen c konvergiert, dann folgt sofort die Konvergenz der Folge (c·y_n) und es ist

(iv)     (c·y_n) → c·y  (n → ∞).

Setzt man c = −1, dann folgt aus (iv) zusammen mit (i) noch

(v)     (x_n − y_n) → x − y  (n → ∞).

Der Begriff der Konvergenz einer Folge wird möglicherweise etwas anschaulicher mithilfe der Begriffe Umgebung und Häufungswert.

 F3
Die Zahlenfolge (x_n) konvergiert genau dann gegen x, wenn in jeder Umgebung von x fast alle Glieder der Folge liegen, das heißt: alle Folgenglieder mit höchstens endlich vielen Ausnahmen.

Aus F3 folgt unmittelbar

 F4
Jede Teilfolge einer gegen x konvergenten Zahlenfolge (x_n) ist ebenfalls konvergent und strebt auch gegen x.

Wegen Q14 ist die Folge (1/n)_n∈∈ℕ* eine Nullfolge. Also ist 0 nach F3 Häufungswert von (1/n) und zudem auch Häufungswert der Menge { 1/n: n ∈∈ ℕ* }. Ein Häufungswert einer Folge (x_n) muss nicht zwingend auch Häufungswert der zugehörigen Menge { x_n } sein, was das Beispiel x_n = (−1)ⁿ zeigt: Die so definierte Folge hat die zwei Häufungswerte 1 und −1, die zweielementige Menge { 1, −1 } hat natürlich keinen Häufungswert.

Nach dem fundamentalen Satz von Bolzano-Weierstraß (→ Beweis) enthält jede beschränkte reelle Zahlenfolge mindestens eine konvergente Teilfolge. Ist eine reelle Zahlenfolge (x_n) beschränkt, so besitzt diese demnach mindestens einen Häufungswert. Enthält (x_n) mehrere Häufungswerte, so heißt der größte unter ihnen Limes superior (in Zeichen: „lim sup x_n“ oder „lim x_n“), der kleinste Limes inferior (in Zeichen: „lim inf x_n“ oder „lim x_n“).

Es gilt also

 F5
Eine Zahlenfolge (x_n) ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist und genau einen Häufungswert hat. Dieser Häufungswert ist dann notwendigerweise der Grenzwert dieser Folge.

Stetigkeit und Differenzierbarkeit

 D1
Sei M ⊂ ℝ und x₀ ein Häufungswert von M, g ∈∈ ℝ und f eine auf M definierte reellwertige Funktion. Dann konvergiert f(x) genau dann gegen g für x gegen x₀, wenn für jede Zahlenfolge (x_n), die gegen x₀ konvergiert, die Folge (f(x_n)) gegen g strebt.

Sei M ⊂ ℝ, x₀ ein Häufungswert von M und f eine auf M definierte reellwertige Funktion. Dann ist f offenbar genau dann stetig in x₀, wenn f(x) → f(x₀) (x → x₀).

Mit dem eben bewiesenen Satz folgt unmittelbar

 D2 (Folgenkriterium)
Sei M ⊂ ℝ und f eine auf M definierte reellwertige Funktion. Dann ist f in x₀ ∈∈ M genau dann stetig, wenn für jede Folge von Zahlen aus M, die gegen x₀ konvergiert, auch die Folge (f(x_n)) gegen f(x₀) konvergiert, das heißt, wenn für alle Folgen (x_n)

lim n→∞f(x_n) = f (lim n→∞x_n )

gilt.

Die konstante Funktion f_c und die Funktion f_x, definiert durch f_x(x) = x für alle x ∈∈ ℝ, sind nach dem Folgenkriterium trivialerweise stetig.

 D3
Die Summe, die Differenz und das Produkt zweier stetiger Funktionen sind wieder stetig. Der Quotient zweier stetiger Funktionen ist überall dort stetig, wo der Nenner verschieden von 0 ist. 

Aufgrund der Stetigkeit von f_c und f_x folgt mit D3 unmittelbar

 D4
Ganzrationale Funktionen sind auf ganz ℝ stetig.

 D5 (Satz vom Minimum und Maximum)
Sei f eine auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] definierte Funktion. Wenn f auf [a, b] stetig ist, so besitzt f dort einen größten und einen kleinsten Wert.

Das Folgenkriterium ermöglicht in Verbindung mit dem überaus nützlichen Instrument der Intervallschachtelung den folgenden wichtigen Satz zu beweisen:

 D6 (Nullstellensatz von Bolzano)
Ist eine reellwertige Funktion f auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b] ⊂ ℝ definiert und dort überall stetig, und haben f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen, dann existiert mindestens ein n ∈∈ ]a, b[  mit f(n) = 0.

Es ist leicht einzusehen, dass der eben bewiesene Nullstellensatz äquivalent ist zum Zwischenwertsatz:

 D7 (Zwischenwertsatz)
Ist eine reellwertige Funktion f auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b] ⊂ ℝ definiert und dort überall stetig, ist ferner m irgendein Wert zwischen f(a) und f(b), so nimmt f den Wert m in dem Intervall mindestens einmal an.

Die Funktion Δ ist durch die Bedingungen (D1) und (D2) eindeutig bestimmt.

Eine Funktion Δ, die nur die Eigenschaft (D2) hat, lässt sich immer finden. Das heißt, dass im Hinblick auf die Differenzierbarkeit einer Funktion f in x₀ die Stetigkeit von Δ in x₀ die wesentliche Forderung ist! So wie die Stetigkeit ist auch die Differenzierbarkeit von f eine lokale Eigenschaft. Stimmen zwei Funktionen f₁ und f₂ in einer Umgebung von x₀ überein, so ist entweder keine der beiden in x₀ differenzierbar oder aber beide sind dort differenzierbar und es gilt f₁’(x₀) = f₂’(x₀).

Falls eine Funktion Δ mit den Eigenschaften (D1) und (D2) existiert, so konvergiert der Differenzenquotient

Δ(x) = f(x) − f(x₀)/x − x₀  mit  x ǂ x₀

wegen der Stetigkeit von Δ in x₀ aufgrund des Folgenkriteriums gegen f’(x₀), wenn x gegen x₀ strebt. Als Formel geschrieben:

limx → x₀
x ǂ x₀ f(x) − f(x₀)/x − x₀ = f’(x₀).

Das ist die Formel, die oben bereits auf anschauliche Art vorgestellt wurde.

Ist c irgendeine konstante reelle Zahl, so ist unmittelbar klar, dass c’ = 0 und (c·x)’ = c.

 D8
Sei M ⊂ ℝ zulässig und f eine auf M definierte Funktion. Wenn f in x₀ ∈ M differenzierbar ist, dann ist f auch in x₀ stetig.

Demzufolge kann eine in x₀ nicht stetige Funktion dort auch nicht differenzierbar sein.

Aus der Differenzierbarkeit einer Funktion lässt sich auf die Stetigkeit der Funktion schließen (das wurde soeben bewiesen); die Umkehrung gilt dagegen nicht! Zum Beispiel ist die Betragsfunktion, die jeder rellen Zahl x ihren Absolutbetrag zuordnet, zwar in 0 stetig, aber dort nicht differenzierbar.  Die auf einem Intervall [a, b] definierte Bolzanofunktion ist dort überall stetig, aber sogar nirgendwo differenzierbar.

Eine differenzierbare Funktion f  kann oft (aber nicht immer!) mehrmals differenziert werden. Man schreibt dann

f⁽⁰⁾ = f,
f⁽¹⁾ = f’,
f⁽²⁾ = f’’, ...
f⁽ⁿ⁾ = f^(n-1)’  für n ≥ 1.

 D9 (Satz von Rolle)
Sei f eine auf [a, b] stetige und auf (a, b) differenzierbare Funktion. Wenn zudem  f(a) = f(b) = c  gilt, so gibt es mindestens ein x₀ ∈∈ (a, b) mit f’(x₀) = 0.

 D10 (Summen-, Faktor- , Produkt- und Quotientenregel)
Sei M ⊂ ℝ zulässig, x₀ ∈∈ M und k ∈∈ ℝ. f und g seien zwei auf M definierte und in x₀ differenzierbare Funktionen. Dann sind auch f + g, k·f, f·g in x₀ differenzierbar und es gilt:

(f + g)’(x₀) = f’(x₀) + g’(x₀),
(k·f)’(x₀) = k·f’(x₀),
(f·g)’(x₀) = f’(x₀)·g(x₀) + f(x₀)·g’(x₀).

Ist f(x₀) ǂ 0, dann ist auch 1/f in x₀ differenzierbar und es gilt

(1/f)’(x₀) = − f’(x₀)/f(x₀)².

Ist g(x₀) ǂ 0, dann ist auch f/g in x₀ differenzierbar und es gilt:

(f/g)’(x₀) = f’(x₀)·g(x₀)−f(x₀)·g’(x₀)/g(x₀)²

 D11 (Kettenregel)
Seien f: M → ℝ und g: N → ℝ miteinander verkettete Funktionen mit f(M) ⊂ N.
Wenn dann f in x₀ ∈∈ M und g in f(x₀) ∈∈ N differenzierbar sind, dann ist g◦f in x₀ differenzierbar und es gilt:

(g◦f)’(x₀) = g’(f(x₀))·f’(x₀)

 D12
Sei f: ℝ → ℝ eine Potenzfunktion, das heißt

f(x) = a·xⁿ für x ∈∈ ℝ

mit a ∈∈ ℝ und n ∈∈ ℕ*. Dann gilt

f’(x) = a·n·x⁽ⁿ⁻¹⁾ für x ∈∈ ℝ.

 D13 (Mittelwertsätze der Differentialrechnung)
(I) Sei f eine auf [a, b] stetige und auf (a, b) differenzierbare Funktion. Dann gibt es mindestens ein x₀ ∈∈ (a, b) mit

f’(x₀) = f(b) − f(a)/b − a.

(II) Seien f und g zwei auf [a, b] stetige und auf (a, b) differenzierbare Funktionen. Für jedes x ∈∈ (a, b) sei g’(x) ǂ 0. Dann ist g(b) ǂ g(a) und es gibt mindestens ein x₀ ∈∈ (a, b) mit

f(b) − f(a)/g(b) − g(a) = f’(x₀)/g’(x₀).