Bolzanofunktion

beschrieben in in: Bernhard Bolzano

Im Nachlass von Bolzano fand Karel Rychlík etwas, was für die damalige Zeit sensationell war, nämlich Bolzanos erstmalige Konstruktion einer Funktion, die in einem ganzen Intervall stetig, aber dort nirgends differenzierbar ist. Diese Funktion wird heute Bolzanofunktion genannt und wird wie folgt konstruiert: Gegeben seien zwei Punkte A(a|α) und B(b|β), die den Definitionsbereich [a, b] und den Bildbereich [α, β] der Bolzanofunktion bestimmen. Mit A und B hat man eine lineare Funktion B₀ auf [a, b]: B₀(x) = (x − a)·(β − α)/(b − a) + α. Nun wird der Mittelpunkt von AB  mit C bezeichnet und D(d|δ) und E(e|ε) werden in Abhängigkeit von A und B wie folgt definiert:

d = a + 3/8·(b − a)
δ = α + 5/8·(β − α)
e = a + 7/8·(b − a)
ε = β + 1/8·(β − α)

Dann ist durch den Polygonzug ADCEB eine stückweise lineare Funktion auf [a, b] gegeben; diese soll B₁ heißen. Aus B₁ leiten wir B₂ her, „indem wir mit jedem der vier Stücke, in welche der Abstand b − a nach dem vorigen Verfahren zerlegt worden ist, das vornehmen, was wir vorhin mit dem ganzen Abstande thaten, dh. auch jedes dieser Stücke in vier andere zerlegen“ (Functionenlehre, S. 67). Die Bolzanofunktion B ist nun der Grenzwert der Funktionenfolge (B_n)_n∈ℕ:

B(x) = lim n→∞B_n(x).

Die folgende, mit Maple hergestellte Grafik zeigt B₇ auf dem Intervall [2, 10].

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