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Kleines Mathe-Lexikon
 

metrischer Raum

definiert in: Zahlen/ Die Menge der reellen Zahlen

Sei M irgendeine Menge. Eine Funktion d: MxM   heißt genau dann Metrik auf M, wenn für alle x, y, z  M  Folgendes gilt:

d(x,y) = 0  ⇔  x = y
d(x,y) = d(y,x)
d(x,y) d(x,z) + d(z,y)

Eine Menge mit einer Metrik (M, d) heißt metrischer Raum. d(x,y) nennt man gewöhnlich den Abstand der Punkte x und y. Die Ungleichung d(x,y)  d(x,z) + d(z,y) heißt Dreiecksungleichung.

und werden mit

d(x,y) =def |y − x|  
für alle
x, y     bzw.  für alle x, y  

zu metrischen Räumen.

Ein metrischer Raum (M, d) heißt vollständig, wenn es zu jeder Cauchyfolge (xn) in M ein x  M gibt, so dass (xn) gegen x konvergiert. Beispielsweise ist ein vollständiger metrischer Raum.

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