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Kleines Mathe-Lexikon
 

Cauchyfolge

z.B. definiert in: Zahlen/ Die Menge der rationalen Zahlen

Sei K eine Zahlenmenge. Dann heißt eine Zahlenfolge f:  K  Cauchyfolge, falls Folgendes gilt: Zu jedem positiven ε  K existiert ein N  , so dass gilt:

 |xm − xn)| < ε   für alle  m, n  N.

Auf FC (Menge aller rationalen Cauchyfolgen) ist durch  (f+g)(n) =def f(n) + g(n)  bzw.  (f·g)(n) =def f(n)·g(n)  für alle  eine Addition bzw. eine Multiplikation gegeben. Beide Verknüpfungen sind wohldefiniert ( Beweis). Die auf FC durch

(an) R~ (bndef  (an − bn) ist eine Nullfolge

definierte Relation ist eine Äquivalenzrelation und mit (an) R~ (bn) und (a*n) R~ (b*n) gilt auch (an+bn) R~ (a*n+b*n) und (an·bn) R~ (a*n·b*n). Mit Hilfe dieser Relation kann nach einer Idee von Georg Cantor die Menge der reellen Zahlen definiert werden, samt aller benötigten Rechenoperationen in dieser Zahlenmenge: ist gleich der Menge der Äquivalenzklassen von FC bezüglich der eben definierten Relation R~, kurz geschrieben:

= FC/R~.

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