Cauchyfolge
z.B. definiert in: Zahlen/ Die Menge der rationalen Zahlen
Sei K eine Zahlenmenge. Dann heißt eine Zahlenfolge f: ℕ → K Cauchyfolge, falls Folgendes gilt: Zu jedem positiven ε ∈∈ K existiert ein N ∈∈ ℕ, so dass gilt:
|xm − xn)| < ε für alle m, n ≥ N.
Auf FC (Menge aller rationalen Cauchyfolgen) ist durch (f+g)(n) =def f(n) + g(n) bzw. (f·g)(n) =def f(n)·g(n) für alle n ∈∈ ℕ eine Addition bzw. eine Multiplikation gegeben. Beide Verknüpfungen sind wohldefiniert (→ Beweis). Die auf FC durch
(an) R~ (bn) ⇔def (an − bn) ist eine Nullfolge
definierte Relation ist eine Äquivalenzrelation und mit (an) R~ (bn) und (a*n) R~ (b*n) gilt auch (an+bn) R~ (a*n+b*n) und (an·bn) R~ (a*n·b*n). Mit Hilfe dieser Relation kann nach einer Idee von Georg Cantor die Menge der reellen Zahlen definiert werden, samt aller benötigten Rechenoperationen in dieser Zahlenmenge: ℝ ist gleich der Menge der Äquivalenzklassen von FC bezüglich der eben definierten Relation R~, kurz geschrieben:
ℝ = FC/R~.
→ Betrag → Konvergenzkriterien → Index
