Konvergenzkriterien
vorgestellt in: Reihe/ Konvergenzkriterien
Das Cauchy’sche Konvergenzkriterium besagt, dass eine reelle Zahlenfolge (xn) genau dann konvergent ist, wenn sie eine Cauchyfolge ist (→ Beweis). Aufgrund dieses Kriteriums ist es möglich, die Konvergenz einer reellen Zahlenfolge zu beweisen, ohne ihren Grenzwert kennen zu müssen.
Aus dem Konvergenzkriterium von Cauchy folgt das Cauchy’sche Konvergenzkriterium für Reihen: Eine
Reihe ∞∑k = 0ak
konvergiert genau dann, wenn zu jedem ε > 0
eine natürliche Zahl n0 existiert, so dass für alle n > n0
|n∑k = n0+1ak | < ε gilt
(→ Beweis).
Seien
∞∑k = 0ak
und ∞∑k = 0bk
zwei Reihen mit ak,bk ≥ 0 für alle k ∈∈ ℕ. Gilt dann
ak ≤ bk für
fast alle k (das heißt: ak > bk für
höchstens endlich viele k), so heißt ∞∑k = 0ak
eine Minorante der Reihe ∞∑k = 0bk und
∞∑k = 0bk
eine Majorante von ∞∑k = 0ak .
Majorantenkriterium:
Jede Minorante einer konvergenten Reihe konvergiert. Dieses Kriterium folgt
aus dem Monotoniekriterium (→ Beweis).
Aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der geometrischen Reihe folgt
das Quotientenkriterium:
Sei ∞∑k = 0ak
eine Reihe mit lauter positiven Summanden. Wenn es eine Zahl q mit 0 < q < 1
gibt, so dass
ak+1ak ≤ q für fast alle k,
so konvergiert die Reihe. Gilt dagegen
ak+1ak ≥ 1
für fast alle k, so ist die Reihe divergent. (→ Beweis).
Das Wurzelkriterium lautet: Sei ∞∑k = 0ak
eine Reihe mit lauter nichtnegativen Summanden. Wenn es eine Zahl q mit 0 < q < 1
gibt, so dass k√ak ≤ q für fast alle k,
so konvergiert die Reihe. Gilt dagegenk√ak ≥ 1 für fast alle k,
so ist die Reihe divergent. (→ Beweis).
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