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Kleines Mathe-Lexikon
 

Konvergenzkriterien

vorgestellt in: Reihe/ Konvergenzkriterien

Das Cauchy’sche Konvergenzkriterium besagt, dass eine reelle Zahlenfolge (xn) genau dann konvergent ist, wenn sie eine Cauchyfolge ist ( Beweis). Aufgrund dieses Kriteriums ist es möglich, die Konvergenz einer reellen Zahlenfolge zu beweisen, ohne ihren Grenzwert kennen zu müssen.

Aus dem Konvergenzkriterium von Cauchy folgt das Cauchy’sche Konvergenzkriterium für Reihen: Eine Reihe k = 0ak  konvergiert genau dann, wenn zu jedem ε > 0 eine natürliche Zahl n0 existiert, so dass für alle> n0  |nk = n0+1ak | < ε  gilt ( Beweis).

Seien k = 0ak und k = 0bk zwei Reihen mit ak,bk  0 für alle ℕ. Gilt dann ak  bk für fast alle k (das heißt: ak > bk für höchstens endlich viele k), so heißt k = 0ak eine Minorante der Reihe k = 0bk und k = 0bk eine Majorante von k = 0ak .


Majorantenkriterium: Jede Minorante einer konvergenten Reihe konvergiert. Dieses Kriterium folgt aus dem Monotoniekriterium ( Beweis).

Aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der geometrischen Reihe folgt das Quotientenkriterium: Sei k = 0ak  eine Reihe mit lauter positiven Summanden. Wenn es eine Zahl q mit< q < 1 gibt, so dass ak+1/ak q  für fast alle k, so konvergiert die Reihe. Gilt dagegen ak+1/ak 1  für fast alle k, so ist die Reihe divergent. ( Beweis).

Das Wurzelkriterium lautet: Sei k = 0ak  eine Reihe mit lauter nichtnegativen Summanden. Wenn es eine Zahl q mit< q < 1 gibt, so dass kak q  für fast alle k, so konvergiert die Reihe. Gilt dagegenkak 1  für fast alle k, so ist die Reihe divergent. ( Beweis).

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