konvergent
definiert in: Änderungsrate/ Folgen
Eine Folge reeller Zahlen (xn) heißt konvergent, falls es eine Zahl x ∈∈ ℝ gibt, so dass (xn − x) eine Nullfolge ist, das heißt: zu jeder positiven Zahl ε ∈∈ ℝ gibt es ein N ∈∈ ℕ, so dass
|xn − x)| < ε für alle n ≥ N.
x heißt Grenzwert der Folge (xn) und man schreibt abkürzend
xn → x (n → ∞)
oder auch
lim n→∞xn = x.
Eine Reihe ∞∑k = 0ak heißt konvergent, wenn ihre Summenfolge
konvergent ist.
Der Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist stets eindeutig bestimmt (→ Beweis). Das Cauchy’sche Konvergenzkriterium besagt, dass eine reelle Zahlenfolge (xn) genau dann konvergent ist, wenn sie eine Cauchyfolge ist (→ Beweis).
→ divergent → Betrag → Grenzwertsätze → Umgebung → Index
