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Kleines Mathe-Lexikon
 

Grenzwertsätze

bewiesen in: Änderungsrate/ Folgen

Seien (xn) und (yn) zwei konvergente Zahlenfolgen mit xn  x und yn  y (n  ∞). Dann sind auch die Folgen (xn + yn) und (xn·yn) konvergent und es gilt 

(i)     (xn + yn) x + y  (n )
(ii)     (xn·yn) x·y  (n ).

Falls xn ǂ 0 für alle n   und x ǂ 0, so ist auch die Folge (1/xn) konvergent und es gilt

(iii)    (1/xn) 1/x (n ).

Nimmt man in (ii) für (xn) die konstante Folge (cn= c, c, c, ..., welche trivialerweise gegen c konvergiert, dann folgt sofort die Konvergenz der Folge (c·yn) und es ist

(iv)     (c·yn) c·y  (n ).

Setzt man c = −1, dann folgt aus (iv) zusammen mit (i) noch

(v)     (xn − yn) x − y  (n ).

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