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Kleines Mathe-Lexikon
 

Ableitungsregeln

bewiesen in: Änderungsrate/ Ableitungsregeln

Sei M ⊂ ℝ eine zulässige Menge (das heißt: jedes x  M ist Häufungswert von M), x0  M und k  ℝ. f und g seien zwei auf M definierte und in x0 differenzierbare Funktionen. Dann sind auch f + g, k·f, f·g in x0 differenzierbar und es gilt die Summenregel

(f + g)(x0) = f(x0) + g(x0),

die Faktorregel  (k·f)(x0) =f(x0)  und die Produktregel:

(f·g)(x0) = f(x0g(x0) + f(x0g(x0).

Ist f(x0) ǂ 0, dann ist auch 1/f in x0 differenzierbar und es gilt

(1/f)(x0) =f(x0)/f(x0)2.

Ist g(x0) ǂ 0, dann ist auch f/g in x0 differenzierbar und es gilt die Quotientenregel:

(f/g)(x0) = f(x0g(x0)−f(x0g(x0)/g(x0)2

Seien f: M → ℝ und g: N → ℝ miteinander verkettete Funktionen mit f(M)  N.
Wenn dann f in x0  M und g in f(x0 N differenzierbar sind, dann ist gf in x0 differenzierbar und es gilt die Kettenregel:

(gf)(x0) = g(f(x0))·f(x0)

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