Abbildung
Definition in: Funktion/ Entwicklung des Funktionsbegriffs
Seien X und Y irgendwelche Mengen und
R ⊆ { (x;y): x ∈∈ X und y ∈∈ Y }
eine Relation zwischen X und Y mit den folgenden Eigenschaften:
(1) Zu jedem x ∈∈ X gibt es ein y ∈∈ Y,
so dass (x;y) ∈∈ R gilt (Linksvollständigkeit
von R).
(2) Aus x = x* folgt y = y* für alle (x;y), (x*,y*) ∈∈ R (Rechtseindeutigkeit von R).
Dann nennt man das Tripel f = (X, Y, R) eine Abbildung (oder Funktion) von X nach Y und schreibt dafür
f: X → Y.
X heißt Definitionsmenge von f, Y Zielmenge von f.
Im Rahmen der Mengenlehre wird der Begriff der Funktion anders definiert:
Ist f eine Relation zwischen a und b und gilt für alle x ∈∈ a und für alle y, y* ∈∈ b
(x; y) ∈∈ f ˄ (x; y*) ∈∈ f ⇀
y = y*,
so nennt man f eine Funktion. Die Klasse aller
Funktionen sei mit „𝑭“ bezeichnet.
Anstatt „f ∈∈ 𝑭 ˄ dom(f) =
a ˄ rng(f) ⊆
b“ wird „f: a → b“
geschrieben (man sagt: „f ist eine Funktion von a nach b“).
Ist (x; y) ∈∈ f
bzw. x f y, dann schreibt man (wie gewohnt) „y = f(x)“
und nennt y das Bild von x unter f
und x Urbild von y unter f.
Aus mengentheoretischer Sicht ist also jede Funktion eine Menge,
präziser: eine Teilmenge des kartesischen Produktes zweier Mengen im
Gegensatz zur obigen Definition einer Funktion als Tripel. Da Ø Teilmenge
von jeder Menge ist, ist auch Ø eine Funktion (die leere Funktion). Es ist
dom(Ø) = Ø, rng(Ø) = Ø und f: Ø → b mit beliebiger Menge b.
Der Begriff Abbildung wird innerhalb der Mengenlehre meistens synonym mit dem Begriff Operation gebraucht.
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