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Kleines Mathe-Lexikon
 

Abbildung

Definition in: Funktion/ Entwicklung des Funktionsbegriffs

Seien X und Y irgendwelche Mengen und

R  { (x;y): x  X und y  Y }

eine Relation zwischen X und Y mit den folgenden Eigenschaften:

(1) Zu jedem x  X gibt es ein y  Y, so dass (x;y)  R gilt (Linksvollständigkeit von R).
(2) Aus x = x* folgt y = y* für alle (x;y), (x*,y*)  R (Rechtseindeutigkeit von R).

Dann nennt man das Tripel f = (X, Y, R) eine Abbildung (oder Funktion) von X nach Y und schreibt dafür

f: X Y.

X heißt Definitionsmenge von f, Y Zielmenge von f.

Im Rahmen der Mengenlehre wird der Begriff der Funktion anders definiert:

Ist f eine Relation zwischen a und b und gilt für alle x  a und für alle y, y*  b

(x; y f ˄ (x; y* f y = y*,

so nennt man f eine Funktion. Die Klasse aller Funktionen sei mit „𝑭“ bezeichnet.

Anstatt „f  𝑭 ˄ dom(f) = a ˄ rng(f) b“ soll abkürzend „fa  b“ geschrieben werden (man sagt: „f ist eine Funktion von a nach b“). Ist (xy f bzw. x f y, dann schreibt man (wie gewohnt) „y = f(x)“ und nennt y das Bild von x unter f und x Urbild von y unter f.

Aus mengentheoretischer Sicht ist also jede Funktion eine Menge, präziser: eine Teilmenge des kartesischen Produktes zweier Mengen im Gegensatz zur obigen Definition einer Funktion als Tripel. Da Ø Teilmenge von jeder Menge ist, ist auch Ø eine Funktion (die leere Funktion). Es ist dom(Ø) = Ø, rng(Ø) = Ø und f: Ø  b mit beliebiger Menge b.

Der Begriff Abbildung wird innerhalb der Mengenlehre meistens synonym mit dem Begriff Operation gebraucht.

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