Ableitung
definiert in: Änderungsrate/ Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Sei f eine auf einer zulässigen Menge M definierte reellwertige Funktion und x0 ∈∈ M. Wenn f in x0 differenzierbar ist, so gibt es eine in x0 stetige Funktion Δ mit
f(x) = f(x0) + (x−x0)·Δ(x) für x∈∈M.
(Eine Menge M ⊂ ℝ heißt zulässig, wenn jedes x ∈∈ M Häufungswert von M ist.)
Der Funktionswert Δ(x0) heißt Ableitung (oder Differentialquotient) von f in x0 und wird mit „f’(x0)“ bezeichnet. Vor allem in der Physik ist auch die Bezeichnung „dfdx(x0)“ üblich.
Ist eine Funktion f auf ganz M differenzierbar, dann heißt die auf M definierte Funktion f’, die jedem x ∈∈ M die Ableitung von f in x zuordnet, Ableitungsfunktion von f auf M (oder kurz: Ableitung von f).
Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über die Ableitungen einiger wichtiger Funktionen.
| f(x) | f’(x) |
| c (Konstante) | 0 |
| x | 1 |
| xn | n·xn-1 |
| 1/x | −1/x2 |
| exp(x) | exp(x) |
| ln(x) | 1/x |
| ax | ax·ln(a) |
| logb(x) | 1/(x·ln(b)) |
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | −sin(x) |
| tan(x) | 1/cos2(x) |
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