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Kleines Mathe-Lexikon
 

Funktionenreihe

verwendet in: Reihe/ Gleichmäßige Konvergenz

Sei D ein Intervall reeller Zahlen und (fk) eine Folge von auf D definierten reellwertigen Funktionen. Die Funktionenreihe k = 0fk heißt konvergent, wenn die Summenfolge (nk = 0fk)n=0..  punktweise konvergiert.

Falls k = 0fk eine konvergente Funktionenreihe ist, so existiert die eindeutig bestimmte Grenzfunktion s von (nk = 0fk). s heißt auch „Grenzfunktion von k = 0fk“ und man schreibt dann

s =lim nnk = 0fk =k = 0fk.

Eine Funktionenreihe heißt gleichmäßig konvergent, wenn ihre Summenfolge gleichmäßig konvergiert.

Die Funktionenreihe k = 0fk  konvergiert genau dann gleichmäßig auf D, wenn es zu jedem ε > 0 eine natürliche Zahl n0 gibt, so dass für alle n > n0 und für alle x  D

|nk = n0+1fk(x) | < ε 

gilt ( Beweis).

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