Funktionenreihe
verwendet in: Reihe/ Gleichmäßige Konvergenz
Sei D ein Intervall reeller
Zahlen und (fk) eine
Folge von auf D definierten
reellwertigen Funktionen. Die Funktionenreihe ∞
∑k = 0fk heißt konvergent,
wenn die Summenfolge
(
n∑k = 0fk)
n=0..∞
punktweise konvergiert.
Falls ∞
∑k = 0fk eine konvergente Funktionenreihe
ist, so existiert die eindeutig bestimmte Grenzfunktion s von
(
n∑k = 0fk)
.
s heißt auch „Grenzfunktion von ∞
∑k = 0fk“
und man schreibt dann
s =lim n→
∞
n∑k = 0fk =∞
∑k = 0fk.
Eine Funktionenreihe heißt gleichmäßig konvergent, wenn ihre Summenfolge gleichmäßig konvergiert.
Die Funktionenreihe ∞
∑k = 0fk
konvergiert genau dann gleichmäßig auf D, wenn es zu jedem ε > 0
eine natürliche Zahl n0 gibt, so dass für alle n > n0
und für alle x ∈∈ D
|
n∑k = n0+1fk(x) |
< ε
gilt (→ Beweis).