gleichmäßig konvergent
definiert in: Reihe/ Gleichmäßige Konvergenz
Sei D ein Intervall reeller Zahlen und (fk) eine Folge von auf D definierten reellwertigen Funktionen. Eine Funktionenfolge (fk) konvergiert auf D gleichmäßig gegen ihre Grenzfunktion g, wenn es zu jedem ε > 0 eine natürliche Zahl k0 gibt, so dass für alle k ≥ k0 und für alle x ∈∈ D
|fk(x) − g(x)| < ε
gilt.
Die hier formulierte Bedingung ist leicht zu verwechseln mit der im Zusammenhang mit der gewöhnlichen punktweisen Konvergenz formulierten Bedingung. Man beachte, dass hier die Existenz einer Zahl k0 gefordert wird, welche nur vom vorgegebenen ε abhängt; dort aber ist k0 von ε und vom zuvor gewählten x abhängig. Bei gleichmäßiger Konvergenz gilt die Ungleichung
|fk(x) − g(x))| < ε
für alle x ∈∈ D gleichermaßen, bei punktweiser Konvergenz gilt diese Ungleichung für das jeweils gewählte (also für das punktuelle) x ∈∈ D, in beiden Fällen natürlich nur für diejenigen k, welche größer oder gleich k0 sind.
Konvergiert eine Funktionenfolge (fk) auf D gleichmäßig gegen g und sind alle fk in x0 ∈∈ D stetig, so ist auch g in x0 stetig (→ Beweis).
