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Kleines Mathe-Lexikon
 

vonNeumann’sche Zahlen

definiert in: Menge/ vonNeumann’sche Zahlen

Auf Grundlage des Unendlichkeitsaxioms können die natürlichen Zahlen als Mengen repräsentiert werden; es sind dies

Ø, { Ø }, { Ø, { Ø } }, { Ø, { Ø }, { Ø, { Ø } } }, ...,

also die Elemente der Menge ω (vonNeumann’sche Zahlen). Definiert man 0 =def Ø, 1 =def { Ø }, 2 =def { Ø, { Ø } },..., n, s(n=def n  { n }, ... unter Benutzung der „gewöhnlichen“ natürlichen Zahlen 0, 1, 2, ..., n, n+1, ... so gilt für beliebiges n und die Nachfolgermenge n+1

n+1 =01, ..., n }.

Diese mengentheoretische Definition und Beschreibung der natürlichen Zahlen ist sinnvoll, weil man nachweisen kann, dass ω dem Axiomensystem von Peano genügt ( Beweis), dass die Elemente von ω linear angeordnet werden können ( Beweis) und dass und ω strukturgleich sind ( Beweis).

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