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Kleines Mathe-Lexikon
 

Peano’sche Axiome

beschrieben in: Vollständige Induktion/ Die Peano’schen Axiome

Peano hat im Rahmen der Formulario Matematico seine Axiome wie folgt formuliert (a.a.O. S.27, II. ARITHMETICA, §1):

·0  N0 ε Cls
·1  0 ε N0
·2  a ε N0 .. a+ ε N0
·3  s ε Cls . 0 ε s : x ε s .x. x+ ε s :. N0  s
·4  a, b ε N0 . a+ b+ .. a b
·5  a ε N0 .. a+╺═ 0
·0  N0 ε Cls
·1  0 ε N0
·2  a ε N0 .. a+ ε N0
·3  s ε Cls . 0 ε s : x ε s .x. x+ ε s :. N0  s
·4  a, b ε N0 . a+ b+ .. a b
·5  a ε N0 .. a+╺═ 0

Peano schreibt: „N0 vale « numero », et es nomen commune de 0,1,2, etc.“ (N0 bedeutet „Zahl“ und ist der gemeinsame Name von 0, 1, 2, usw.) Übersetzt bedeuten seine sechs Axiome:

(0) Die Gesamtheit aller natürlichen Zahlen ist eine Klasse.
(1) 0 ist eine natürliche Zahl.
(2) Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger und dieser ist wieder eine natürliche Zahl.
(3) Enthält eine Menge S die Zahl 0 und mit jeder natürlichen Zahl auch stets deren Nachfolger, so enthält S alle natürlichen Zahlen.
(4) Sind die Nachfolger zweier natürlicher Zahlen a und b einander gleich, so sind auch a und b einander gleich.
(5) Kein Nachfolger einer natürlichen Zahl ist gleich der Zahl 0.

(0) Die Gesamtheit aller natürlichen Zahlen ist eine Klasse.
(1) 0 ist eine natürliche Zahl.
(2) Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger und dieser ist wieder eine natürliche Zahl.
(3) Enthält eine Menge S die Zahl 0 und mit jeder natürlichen Zahl auch stets deren Nachfolger, so enthält S alle natürlichen Zahlen.
(4) Sind die Nachfolger zweier natürlicher Zahlen a und b einander gleich, so sind auch a und b einander gleich.
(5) Kein Nachfolger einer natürlichen Zahl ist gleich der Zahl 0.

Unter Verwendung heutiger mathematischer Begriffe sieht das Axiomensystem von Peano etwa so aus:

(I)   ℕ ist eine nichtleere Menge.
(II)  Es gibt eine injektive Abbildung succ  .
(III) Genau ein Element in hat kein Urbild unter succ. Dieses Element soll „0“ heißen.
(IV) Sei M eine Teilmenge von mit den folgenden zwei Eigenschaften:
        (i)  0  M
        (ii) m  M  succ(m)  M.
      Dann folgt: M = .

(I)   ℕ ist eine nichtleere Menge.
(II)  Es gibt eine injektive Abbildung succ  .
(III) Genau ein Element in hat kein Urbild unter succ. Dieses Element soll „0“ heißen.
(IV) Sei M eine Teilmenge von mit den folgenden zwei Eigenschaften:
        (i)  0  M
        (ii) m  M  succ(m)  M.
      Dann folgt: M = .

In der Sprache der Mengenlehre lauten Peano’s Axiome wie folgt:

(I)*   w ǂ Ø
(II)*  σ (σw inj w)
(III)* ! o  w (o  rng(σ))  
(IV)* tw (ot ˄ xt (σ(x) t t=w)

(I)*   w ǂ Ø
(II)*  σ (σw inj w)
(III)* ! o  w (o  rng(σ))  
(IV)* tw (ot ˄ xt (σ(x) t t=w)

Sind die Axiome (I)* bis (IV)* gültig, dann sagt man kurz: „(w,σ,o) ist eine Peano-Struktur.

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