Peano’sche Axiome

beschrieben in: Vollständige Induktion/ Die Peano’schen Axiome

Peano hat im Rahmen der Formulario Matematico seine Axiome wie folgt formuliert (a.a.O. S.27, II. ARITHMETICA, §1):

^·0	N₀ ε Cls
^·1	0 ε N₀
^·2	a ε N₀ .`⊃`. a`+` ε N₀
^·3	s ε Cls . 0 ε s : x ε s .`⊃`x. x`+` ε s :`⊃`. N₀ `⊃` s
^·4	a, b ε N₀ . a`+` `═` b`+` .`⊃`. a `═` b
^·5	a ε N₀ .`⊃`. a`+╺═` 0

^·0	N₀ ε Cls
^·1	0 ε N₀
^·2	a ε N₀ .`⊃`. a`+` ε N₀
^·3	s ε Cls . 0 ε s : x ε s .`⊃`x. x`+` ε s :`⊃`. N₀ `⊃` s
^·4	a, b ε N₀ . a`+` `═` b`+` .`⊃`. a `═` b
^·5	a ε N₀ .`⊃`. a`+╺═` 0

Peano schreibt: „N₀ vale « numero », et es nomen commune de 0,1,2, etc.“ (N₀ bedeutet „Zahl“ und ist der gemeinsame Name von 0, 1, 2, usw.) Übersetzt bedeuten seine sechs Axiome:

(0) Die Gesamtheit aller natürlichen Zahlen ist eine Klasse.
(1) 0 ist eine natürliche Zahl.
(2) Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger und dieser ist wieder eine natürliche Zahl.
(3) Enthält eine Menge S die Zahl 0 und mit jeder natürlichen Zahl auch stets deren Nachfolger, so enthält S alle natürlichen Zahlen.
(4) Sind die Nachfolger zweier natürlicher Zahlen a und b einander gleich, so sind auch a und b einander gleich.
(5) Kein Nachfolger einer natürlichen Zahl ist gleich der Zahl 0.

Unter Verwendung heutiger mathematischer Begriffe sieht das Axiomensystem von Peano etwa so aus:

(I) ℕ ist eine nichtleere Menge.
(II) Es gibt eine injektive Abbildung succ: ℕ → ℕ.
(III) Genau ein Element in ℕ hat kein Urbild unter succ. Dieses Element soll „0“ heißen.
(IV) Sei M eine Teilmenge von ℕ mit den folgenden zwei Eigenschaften:
        (i) 0 ∈∈ M
        (ii) m ∈∈ M ⇒ succ(m) ∈∈ M.
      Dann folgt: M = ℕ.

In der Sprache der Mengenlehre lauten Peano’s Axiome wie folgt:

(I)* w ǂ Ø
(II)* ∃σ (σ: w _inj→ w)
(III)* ∃! o ∈∈ w (o ∉∉ rng(σ))
(IV)* ∀t⊆w (o∈∈t ˄ ∀x∈∈t (σ(x) ∈∈ t) ⇀ t = w)

Sind die Axiome (I)* bis (IV)* gültig, dann sagt man kurz: „(w,σ,o) ist eine Peano-Struktur“.

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