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Kleines Mathe-Lexikon
 

Peano-Struktur

definiert in: Menge/ vonNeumann’sche Zahlen

In der Sprache der Mengenlehre lauten Peano’s Axiome wie folgt:

(I)*   w ǂ Ø
(II)*  σ (σw inj w)
(III)* ! o  w (o  rng(σ))  
(IV)* tw (ot ˄ xt (σ(x) t t=w)

o heißt Nullmenge, σ wird Nachfolgerfunktion genannt. Sind die Axiome (I)* bis (IV)* gültig, dann sagt man kurz: „(w,σ,o) ist eine Peano-Struktur“.

Je zwei Peano-Strukturen sind isomorph zueinander ( Beweis). Das bedeutet, dass , die Menge aller „gewöhnlichen natürlichen Zahlen, ω, die Menge aller vonNeumann’schen Zahlen oder jede andere Menge, welche den Axiomen (I)* bis (IV)* genügt, dieselbe algebraische Struktur besitzen. Anders ausgedrückt: Die den Peano’schen Axiomen genügende Struktur ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Das Peano’sche Axiomensystem ist also monomorph (oder kategorisch).

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