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Kleines Mathe-Lexikon
 

Ordinalzahl

definiert in: Menge/ Ordinalzahlen

Gemäß des Vorschlags von Wolfgang Rautenberg (1936−2011) kann eine Ordinalzahl wie folgt definiert werden:

Eine Menge a heißt transitiv genau dann, wenn für alle xa  x  a  gilt.

Eine Menge a heißt genau dann Ordinalzahl, wenn a erblich transitiv ist, das heißt, wenn a und jedes Element von a transitiv ist.

Ordinalzahlen werden üblicherweise mit griechischen Buchstaben bezeichnet.

Da alle Elemente von ω transitive Mengen sind ( Beweis) und jedes Element von ω nur Elemente von ω umfasst ( Beweis), folgt sofort, dass alle n  ω und ω selbst Ordinalzahlen sind. Die vonNeumann’schen Zahlen sind die einzigen endlichen Ordinalzahlen; ω ist die erste transfinite Ordinalzahl.

𝑶, die Klasse aller Ordinalzahlen, ist eine echte Klasse ( Beweis). Jedes Element einer Ordinalzahl ist ebenfalls eine Ordinalzahl ( Beweis). Jede Ordinalzahl α umfasst alle diejenigen Elemente von α, die kleiner als α sind ( Beweis):

α  𝑶  α =ξ  s(α) | ξ < α }.

𝑶 ist wohlgeordnet ( Beweis). Dasselbe gilt auch für jede nichtleere Menge von Ordinalzahlen. Darüberhinaus existiert für jede beliebige Menge m eine Relation r, mit der m wohlgeordnet werden kann ( Beweis) und es gibt eine eindeutig bestimmte Ordinalzahl μ mit (m,r (μ,μ)  bzw. mit m  μ ( Beweis). Das bedeutet, dass die Elemente jeder Menge stets mit Hilfe von Ordinalzahlen nummeriert werden können, wobei jedoch im Allgemeinen r nicht bekannt ist.

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