dh-Materialien
Kleines Mathe-Lexikon
 

Limeszahl

definiert in: Menge/ Ordinalzahlen

Sei α eine Ordinalzahl. Dann ist s(α), definiert durch s(α=def α  { α }, auch eine Ordinalzahl ( Beweis).

s(α= α  { α } mit α  𝑶 heißt Nachfolgerzahl. Ist eine von 0 verschiedene Ordinalzahl λ keine Nachfolgerzahl, so ist λ eine Limeszahl.

ω ist die kleinste Limeszahl.

Sei m eine nichtleere Menge von Ordinalzahlen. Dann ist m nach oben beschränkt und m das Supremum von m in 𝑶 ( Beweis). Hieraus folgt, dass es zu jeder Menge α von Ordinalzahlen stets eine noch größere gibt: s(sup α) ist größer als jedes Element von α und größer als α.

Ein echter Anfang μ von 𝑶, also eine Menge mit β < α ˄ α  μ  β  μ für alle α,β  μ, ist als Teil von 𝑶 wohlgeordnet und lässt sich stets fortsetzen, das heißt: es gibt bei gegebenem μ immer eine nächste Ordinalzahl ν. Hat μ ein Maximum τ, dann gilt ν = s(τ) (ν ist dann eine Nachfolgerzahl), andernfalls setzt man ν = sup μ (dann ist ν eine Limeszahl).

Alle Alephs sind Limeszahlen ( Beweis).

 Supremum    Symbole    Index


 Home   Back   Top